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'''Littles Gesetz''' (auch '''Littles Theorem''', '''Satz von Little''' oder '''Formel von Little''') ist eine bedeutende, 1961 von [[John D. C. Little]] formulierte und bewiesene [[Gesetzmäßigkeit]] in der [[Warteschlangentheorie]].

== Allgemeines ==
Außerhalb der [[Rechtswissenschaft]] (hier gibt es formale [[Gesetz]]e) spricht man in den übrigen [[Wissenschaft]]en von einem Gesetz oder einer Gesetzmäßigkeit, wenn aus einer [[Theorie]] orts-, zeit- und kulturunabhängige allgemeingültige [[Aussage (Logik)|Aussagen]] abgeleitet werden, die weltweit dauerhaft, aber nicht immer ausnahmslos, gelten. [[Naturgesetz]]e sind in der [[Naturwissenschaft]] dagegen ausnahmslos geltende Regeln für den Ablauf des Geschehens.<ref>Max Apel/Peter Ludz, ''Philosophisches Wörterbuch'', 1958, S. 110</ref> Das Gesetz von Little gilt ausnahmslos.

Littles Gesetz beschreibt in [[Produktionsprozess]]en jeder Art (von der [[Automobilhersteller|Automobilherstellung]] bis zur [[Abfertigung (Transport)|Abfertigung]] von Kunden am [[Schalter (Abfertigung)|Schalter]]) den Zusammenhang zwischen der Anzahl der [[Produkt (Wirtschaft)|Produkte]], [[Person]]en und [[Dienstleistung]]en, die einen Produktionsprozess durchlaufen sollen und der Zeit, die zu ihrer Abfertigung oder Fertigstellung benötigt wird.

== Geschichte ==
John D. C. Little stellte seine Thesen erstmals 1954 in einem Aufsatz vor, ohne sie zunächst zu beweisen.<ref>Alan Cobham/John D. C. Little, ''Priority Assignment in Waiting Line Problems'', in: Operations Research. 2 (1), 1954, S. 70–76</ref> [[Philip M. Morse]] forderte 1958 seine Leser auf, eine Situation zu nennen, in der diese [[These]]n nicht gelten.<ref>Philip M. Morse, ''Queues, inventories, and maintenance: The analysis of operational system with variable demand and supply'', 1958, S. 1 ff.</ref> Little veröffentlichte daraufhin im Juni 1961 mit seinem Aufsatz auch die Beweise für die Gültigkeit seiner Theorie.<ref>John D. C. Little, ''A Proof of the Queuing Formula <math>L = \lambda \cdot W</math>'', in: Operations Research 9 (3), 1961, S. 383–387; {{JSTOR|167570}}</ref> Hierin erläuterte er an einem Weinkeller, wie viele Weinflaschen ankommen ({{enS|arrivals}}), einige Zeit in diesem Lagersystem verweilen und zwecks [[Verbrauch]] den Keller wieder verlassen ({{enS|departures}}).

== Inhalt ==
Littles Gesetz geht in seiner [[Theorie]] von den Annahmen aus, dass sich die [[Arbeitsbedingungen (Betriebsverfassungsgesetz)|Arbeitsbedingungen]] nicht ändern, [[Technologie]]n gleich bleiben und das [[Personal]] unverändert bleibt. Die „anstehende Arbeit“ ({{enS|work in process}}, <math>WIP</math>) können [[Kunde]]n sein, [[Auftragseingang|Auftragseingänge]], [[Barauszahlung]]en, [[Lieferung]]en, [[Rechnung]]en oder [[Partei (Recht)|Gerichtsparteien]], die auf ihren [[Gerichtsprozess]] warten. [[Durchsatz]] ({{enS|throughput}}) ist die Rate im Produktionsprozess (Kunden oder Auftragseingänge pro Tag, Liter Bier pro Stunde oder Barauszahlungen pro Monat).<ref>[https://books.google.de/books?id=ngaSDwAAQBAJ&pg=PA76&dq=Littles+Gesetz&hl=de&sa=X&ved=2ahUKEwjxiOH6-b32AhWlneAKHd_YDagQ6AF6BAgHEAE#v=onepage&q=Littles%20Gesetz&f=false John Bicheno, ''Die Service System Toolbox'', 2019, S. 76]</ref>

Das Gesetz besagt, dass die durchschnittliche Anzahl von Kunden in einem stabilen System ([[Unternehmen]], [[Behörde]]) und einem bestimmten Zeitraum gleich dem Produkt der durchschnittlichen Ankunftsrate und ihrer durchschnittlichen Verweildauer im System ist.<ref>[https://books.google.de/books?id=E0iHDwAAQBAJ&pg=PT311&dq=littles+gesetz+formel&hl=de&sa=X&ved=2ahUKEwif4OWhyLf2AhXZQvEDHUhLAHYQ6AF6BAgAEAE#v=onepage&q=littles%20gesetz%20formel&f=false Doug Rose, ''Das agile Unternehmen für Dummies'', 2019, o. S.]</ref> Auf die [[Arbeit (Philosophie)#Spätes 20. und 21. Jahrhundert|Arbeitswelt]] übertragen bedeutet dies, dass sich der [[Arbeitsvolumen|Arbeitsanfall]] zu stauen beginnt, wenn mehr [[Aufgabe (Pflicht)|Arbeitsaufgaben]] hinzukommen als Arbeiten erledigt werden.

Der [[Bestandsgröße|Bestand]] <math>L</math> erhöht sich, wenn sich bei gleichbleibendem [[Durchsatz]] <math>\lambda</math> die mittlere [[Durchlaufzeit]] <math>W</math> erhöht:<ref>[https://books.google.de/books?id=b1O3tvUc2kwC&pg=PA643&dq=Littles+Gesetz+lexikon&hl=de&sa=X&ved=2ahUKEwjX2evRw7f2AhUPxGEKHezdDu8Q6AF6BAgIEAE#v=onepage&q=Littles%20Gesetz%20lexikon&f=false Peter Klaus/Winfried Krieger/Michael Krupp (Hrsg.), ''Gabler Lexikon Logistik'', 2012, S. 643]</ref>
:<math>L = \lambda \cdot W</math>.
Verringern sich umgekehrt Bestände, können weniger [[Arbeitsmittel]] (wie [[Werkzeug]]e, [[Aktenordner]]) verloren gehen, die [[Arbeitsumgebung]] bleibt übersichtlich ([[Werkstatt]], [[Schreibtisch]]), und umso weniger Zeit wird mit [[Suchverfahren|Suchen]] verbracht.

Obwohl dies intuitiv sinnvoll erscheint, ist es ein beachtenswertes Ergebnis: Es impliziert, dass dieses Verhalten vollkommen unabhängig von den benutzten [[Wahrscheinlichkeitsverteilung]]en ist und somit keine Annahmen über die Verteilung der Ankunftszeiten oder die [[Warteschlangentheorie#Systematik|Abfertigungsdisziplin]] getroffen werden müssen.

Eine Modifizierung des Gesetzes von Little ist die Beziehung zwischen [[Durchlaufzeit]] <math>DLZ</math> (beispielsweise durch eine [[Produktionsanlage]]), der Anzahl der durchlaufenden Stücke (oder Personen) <math>WIP</math> und dem Durchsatz <math>\lambda</math>:
:<math>DLZ = \frac{\text{WIP}}{\lambda}</math>.
Gibt es beispielsweise einen [[Auftragsbestand]] von 60 [[Auftrag|Aufträgen]] und einen Durchsatz von 5 Aufträgen pro [[Arbeitstag]], dann beträgt die Durchlaufzeit 12 Tage (<math> \frac{\text{60}}{\text{5}} = 12</math>). Für die Abarbeitung des Auftragsbestands werden 12 Tage benötigt, vorausgesetzt, es gibt während der Durchlaufzeit keine weiteren [[Auftragseingang|Auftragseingänge]].

== Anwendung ==
Littles Gesetz findet im Arbeitsalltag breite Anwendungsmöglichkeiten. Überall dort, wo ein Durchsatz vorhanden ist ([[Kunde]]n, [[Rohstoff]]e, [[Werkstoff]]e), spielt Littles Gesetz eine Rolle. Es gilt für [[Build-to-Order|Auftragsfertigung]], [[Fließbandfertigung]], [[Kanban]], [[Lieferkette]]n, [[Logistik]], [[Massenproduktion]], [[Netzwerk]]e, [[Serienfertigung]], [[Stapelverarbeitung]], [[Transportsystem]]e, [[Verbrauchsfolgeverfahren]] oder [[Warteschlange]]n ([[Callcenter]], [[Kasse]]n, [[Schalter (Abfertigung)|Schalter]], [[Verkehrsstau]]s, [[Warteliste]]n, [[Wartezimmer]]). Generell können Bestände bei konstantem Durchsatz nur dann gesenkt werden, wenn die Durchlaufzeit im gleichen Maße reduziert wird. Die Länge der Wartezeit, also ihr [[Erwartungswert]], wird mit Hilfe von Littles Gesetz berechnet. Es zählt zu den zentralen Grundlagen der Warteschlangentheorie.<ref>[https://books.google.de/books?id=Xu5sDQAAQBAJ&pg=PA157&dq=littles+gesetz+warteschlangentheorie&hl=de&sa=X&ved=2ahUKEwijr8jXlL72AhUBTd8KHVYoB5wQ6AF6BAgBEAE#v=onepage&q=littles%20gesetz%20warteschlangentheorie&f=false Klaus Leopold, ''Kanban in der Praxis'', 2017, S. 157]</ref>

Die [[John Kingman|Kingman-Gleichung]] erweitert die [[Variable (Mathematik)|Variablen]] der [[Wartezeit (Produktion)|Wartezeit]] (Ankunftsvariation, Prozessvariation und [[Auslastung]]), so dass Littles Gesetz mit der Gleichung verbunden ist.<ref>John Bicheno, ''Die Service System Toolbox'', 2019, S. 76</ref>

== Literatur ==
* Dieter Arnold/Kai Furmans, ''Materialflusslehre in Logistiksystemen''. 5., erweiterte Auflage. Berlin, Heidelberg: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-45659-9.

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Betriebswirtschaftslehre]]
[[Kategorie:Planung und Organisation]]
[[Kategorie:Satz (Stochastik)]]
[[Kategorie:Verwaltung]]
[[Kategorie:Wahrscheinlichkeitsrechnung]]

[[fr:Loi de Little]]

Littles Gesetz - Versionsgeschichte

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