imported>Christian1985: /* Lipschitz-Raum */ link

2026-03-25T17:14:17Z

Lipschitz-Raum: link

Neue Seite

[[Datei:Lipschitz Visualisierung.gif|mini|Für eine lipschitzstetige Funktion existiert ein Doppelkegel (weiß), dessen Ursprung entlang des Graphen bewegt werden kann, sodass der Graph stets außerhalb des Doppelkegels bleibt]]

Die '''Lipschitzstetigkeit''', auch '''Dehnungsbeschränktheit''', ist ein Begriff aus dem [[Mathematisches Teilgebiet|mathematischen Teilgebiet]] der [[Analysis]]. Es handelt sich um eine Eigenschaft einer [[Funktion (Mathematik)|Funktion]], daher spricht man meist von '''lipschitzstetigen Funktionen''' (beziehungsweise von '''Lipschitz-stetigen Funktionen'''). Die Lipschitzstetigkeit ist eine Verschärfung der [[Stetige Funktion|Stetigkeit]]. Benannt ist diese Eigenschaft nach dem Mathematiker [[Rudolf Lipschitz]].

Anschaulich gesprochen kann sich eine lipschitzstetige Funktion nur beschränkt schnell ändern: Alle [[Sekante]]n einer Funktion haben eine [[Steigung]], deren [[Betragsfunktion|Betrag]] nicht größer ist als die '''Lipschitzkonstante'''. Die Menge aller lipschitzstetigen Funktionen wird '''Lipschitz-Raum''' genannt.<ref>[[Walter Rudin]]: ''Functional Analysis.'' McGraw-Hill, New York 1991. ISBN 0070542368, S. 41, 420.</ref> Verallgemeinerungen der Lipschitzstetigkeit sind die [[Hölderstetigkeit]], die lokale Lipschitzstetigkeit sowie die [[lokale Hölderstetigkeit]].

== Definition ==

Eine Funktion <math>f\colon\R\rightarrow\R</math> heißt lipschitzstetig, wenn eine Konstante <math>L\in\mathbb{R}_{\geq 0}</math> existiert, sodass
:<math>|f(x_1)-f(x_2)|\le L \cdot |x_1-x_2|</math>
für alle <math>x_1, x_2 \in \R</math> gilt.

Dies ist ein Spezialfall der folgenden, allgemeinen Definition.

Seien <math>(X,d_X)</math> und <math>(Y,d_Y)</math> [[Metrischer Raum|metrische Räume]].
Eine [[Funktion (Mathematik)|Funktion]] <math>f\colon X\rightarrow Y</math> heißt ''lipschitzstetig,'' falls es eine reelle Zahl <math>L</math> gibt, sodass
:<math>\forall x_1,x_2 \in X : d_Y(f(x_1),f(x_2)) \le L \cdot d_X(x_1,x_2)</math>
erfüllt ist. <math>L</math> wird ''Lipschitzkonstante'' genannt und es gilt stets <math>L \geq 0</math>. Anschaulich gesprochen ist der Betrag der Steigung von <math>f</math> nach oben durch <math>L</math> beschränkt. Ist eine Funktion lipschitzstetig, so sagt man auch, sie erfülle die ''Lipschitzbedingung''.

{{Anker|Lokale Lipschitzstetigkeit}} Eine Abschwächung der Lipschitzstetigkeit ist die lokale Lipschitzstetigkeit. Eine Funktion <math>f\colon X\rightarrow Y</math> heißt ''lokal lipschitzstetig'', wenn es um jeden Punkt in <math>X</math> eine Umgebung gibt, sodass die Einschränkung von <math>f</math> auf diese Umgebung lipschitzstetig ist. Eine Funktion, die nur auf einer Teilmenge <math>A\subset X</math> definiert ist, heißt lipschitz- oder lokal lipschitzstetig, wenn sie lipschitz- oder lokal lipschitzstetig bezüglich der metrischen Räume <math>(A,d_X|_A)</math> und <math>(Y,d_Y)</math> ist.

== Eigenschaften ==

Lipschitzstetige Funktionen sind lokal lipschitzstetig (wähle ganz <math>X</math> als Umgebung und stets <math>L</math> als Lipschitzkonstante). Lokal lipschitzstetige Funktionen sind stetig (wähle <math>\delta=\varepsilon/ L</math> in der <math>\varepsilon</math>-<math>\delta</math>-Definition der Stetigkeit), und entsprechend sind lipschitzstetige Funktionen [[Gleichmäßige Stetigkeit|gleichmäßig stetig]]. Daher ist Lipschitzstetigkeit „stärker“ als gleichmäßige Stetigkeit. Die Umkehrung gilt im Allgemeinen nicht, so ist z. B. die Funktion <math>f\colon[0,1]\rightarrow\R,~x\mapsto\sqrt x</math> zwar [[Hölderstetigkeit|hölderstetig]] mit Exponenten <math>1/2</math> und daher gleichmäßig stetig, jedoch nicht lipschitzstetig (siehe Beispiel).

Nach dem [[Satz von Rademacher]] ist eine lipschitzstetige Funktion [[fast überall]] [[Differenzierbarkeit|differenzierbar]]. Es gibt jedoch auch Funktionen, die zwar differenzierbar, aber nicht lipschitzstetig sind, z. B. <math>f\colon\R\rightarrow\R,~x\mapsto x^2</math>. Eine differenzierbare Funktion <math>f\colon (a,b)\rightarrow\R</math> mit <math>a,b\in\R\cup\{\pm\infty\}</math> ist genau dann lipschitzstetig, wenn ihre erste Ableitung beschränkt ist.

== Beispiele ==
* Für eine lipschitzstetige Funktion <math>f\colon(X,d_X)\rightarrow (Y,d_Y)</math> ist der Quotient
::<math>\frac{d_Y(f(x_1),f(x_2))}{d_X(x_1,x_2)}</math>
:mit <math>x_1\neq x_2 \in X</math> durch jede Lipschitzkonstante von <math>f</math> [[Beschränktheit|nach oben beschränkt]]. Für lokal lipschitzstetige Funktionen ist der Quotient auf hinreichend kleinen Umgebungen beschränkt.
:Daher ist die Funktion <math>f\colon [0,1]\to\R</math> mit <math>x\mapsto\sqrt x</math> wegen
::<math>\frac{|f(x_1)-f(0)|}{|x_1-0|}=\frac 1{\sqrt x_1}\,\xrightarrow{x_1\searrow 0}\,\infty</math>
:zwar stetig und sogar gleichmäßig stetig, jedoch nicht lokal lipschitzstetig und folglich auch nicht lipschitzstetig.

* Für die Funktion <math>g\colon[a,b]\to\R</math> mit <math>g(x) = x^2</math> folgt mit
::<math>L:=\max_{x_1,x_2 \in [a,b]}(|x_1+x_2|)=2\max{(|a|,|b|)}</math>,
:dass <math>|g(x_1)-g(x_2)|=|x_1^2-x_2^2|=|x_1+x_2|\cdot|x_1-x_2|\leq L\cdot |x_1-x_2|</math>.
:Das heißt, <math>L</math> ist eine Lipschitzkonstante für diese Funktion auf dem Intervall <math>\left[a,b\right]</math>.
:Weil für <math>g</math> der Quotient gleich <math>|x_1+x_2|</math> ist, folgt, dass <math>g</math> nur für einen beschränkten Definitionsbereich lipschitzstetig ist, für einen unbeschränkten jedoch nicht. Die ebenfalls durch <math>g(x)=x^2</math> definierte Funktion <math>g\colon\R\to\R</math> ist deshalb nicht lipschitzstetig.

* Die [[Betragsfunktion]] <math>h\colon \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}</math>, definiert als
::<math>h(x) = |x|</math>,
:ist wegen der [[Umgekehrte Dreiecksungleichung|umgekehrten Dreiecksungleichung]] <math>\bigl||x_1|-|x_2|\bigr| \leq |x_1-x_2|</math> lipschitzstetig mit <math>L = 1</math>, aber sie ist (an der Stelle <math>x=0</math>) nicht differenzierbar.

== Anwendung ==

Lipschitzstetigkeit ist ein wichtiges Konzept in der Theorie [[Gewöhnliche Differentialgleichung|gewöhnlicher Differentialgleichungen]], um Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen zu beweisen (siehe [[Satz von Picard-Lindelöf]]). Selbstabbildungen mit einer Lipschitzkonstante kleiner als eins nennt man [[Kontraktion (Mathematik)|Kontraktionen]]. Diese sind wichtig für den [[Fixpunktsatz von Banach]].

In der [[Partielle Differentialgleichung|Theorie partieller Differentialgleichungen]] werden [[Lipschitz-Gebiet]]e betrachtet. Diese haben die Eigenschaft, dass ihr Rand, der [[Lipschitz-Rand]] genannt wird, lokal durch eine lipschitzstetige Funktion beschrieben werden kann.

Die Störanfälligkeit von Neuronalen Netzen (beispielsweise im Kontext von [[Adversarial Example]]s) kann durch die Größe der Lipschitzkonstante plausibilisiert werden<ref>{{Literatur |Autor=Shayan Aziznejad, Michael Unser |Titel=Deep Spline Networks with Control of Lipschitz Regularity |Sammelwerk=ICASSP 2019 - 2019 IEEE International Conference on Acoustics, Speech and Signal Processing (ICASSP) |Verlag=IEEE |Datum=2019-05 |DOI=10.1109/icassp.2019.8682547 |Online= |Abruf=}}</ref>.

== Lipschitz-Raum ==
Ist <math> X \subseteq \mathbb{R} </math> (oder allgemeiner <math> \left( X,\, d_X \right) </math> ein metrischer Raum), so wird die Menge der reellwertigen lipschitzstetigen Funktionen auf <math>X</math> gelegentlich mit <math> \operatorname{Lip}\left(X\right) </math> bezeichnet.

Für <math>X \subseteq \mathbb{R}</math> (oder allgemeiner für <math> X \subseteq \mathbb{R}^n </math> mit der [[Euklidischer Abstand|euklidischen Metrik]]) ist jede [[Affine Abbildung|affin-lineare Funktion]] lipschitzstetig. Auf einem allgemeinen metrischen Raum sind immerhin alle [[konstante Funktion|konstanten Funktionen]] lipschitzstetig. Insbesondere ist <math> \operatorname{Lip}\left(X\right) </math> nicht leer und enthält die konstante [[Nullfunktion]].

Sind <math> f,\,g \in \operatorname{Lip}\left(X\right) </math> und <math>\lambda \in \R</math>, so gilt <math> \lambda \, f \in \operatorname{Lip}\left(X\right) </math> sowie <math> f + g \in \operatorname{Lip}\left(X\right) </math>. Damit ist <math> \operatorname{Lip}\left(X\right) </math> ein reeller [[Vektorraum]], ein [[Funktionenraum]].

Ist die Menge <math>X</math> zudem noch [[Beschränktheit|beschränkt]], so gilt außerdem für das [[Punktweises Produkt|punktweise Produkt]] <math> f \cdot g \in \operatorname{Lip}\left(X\right) </math>. Damit wird <math> \operatorname{Lip}\left(X\right) </math> zu einer [[Algebra über einem Körper|Funktionenalgebra]].

== Siehe auch ==
* [[Satz von Kirszbraun]] über die Fortsetzbarkeit lipschitzstetiger Funktionen
*[[Bilipschitz-Äquivalenz]]: Eine bijektive, lipschitzstetige Abbildung zwischen metrischen Räumen mit lipschitzstetigem Inversen.

== Literatur ==
*Harro Heuser: ''Lehrbuch der Analysis – Teil 1'', 6-te Auflage, Teubner 1989, ISBN 3-519-42221-2, S. 136, 212
*Konrad Königsberger: ''Analysis 1''. 2-te Auflage, Springer 1992, ISBN 3-540-55116-6, S. 80
* Wolfgang Walter: ''Analysis 1''. 7-te Auflage, Springer 2004, ISBN 978-3-540-35078-1, S. 44, 45

== Weblinks ==
{{Wikibooks|Mathe für Nicht-Freaks: Lipschitz-Stetigkeit}}
* [https://encyclopediaofmath.org/wiki/Lipschitz_condition ''Lipschitz condition''] in der [[Encyclopaedia of Mathematics]] (abgerufen am 2. Dezember 2009)
* {{PlanetMath|id=LipschitzCondition |title=Lipschitz condition}}

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Analysis]]

Lipschitz-stetige Funktion - Versionsgeschichte

imported>Christian1985: /* Lipschitz-Raum */ link