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Die '''Lippmann-Schwinger-Gleichung''' (nach [[Bernard Lippmann]] und [[Julian Schwinger]]) verwendet man in der [[Quantenmechanik|quantenmechanischen]] [[Störungstheorie (Quantenmechanik)|Störungstheorie]] und speziell in der [[Streutheorie]].<ref>{{Literatur|Autor=Bernard Lippmann und [[Julian Seymour Schwinger|Julian Schwinger]] |Titel= Variational principles for scattering processes. I|Sammelwerk=Physical Review|Band=79|Nummer=3|Jahr=1950|Seiten=469-480|DOI=10.1103/PhysRev.79.469}} Gleichung 1.84 auf S. 475.</ref> Sie hat die Form einer [[Integralgleichung]] für die gesuchte [[Wellenfunktion]] <math>\psi</math> und ist eine Alternative zur direkten Lösung der [[Schrödingergleichung]], wobei die [[Randbedingungen]] in der Definition der verwendeten [[Greensche Funktion|Greenschen Funktion]]en stecken.

== In der quantenmechanischen Störungstheorie==
Allgemein wird in der Störungstheorie der [[Hamiltonoperator]] <math>H</math> zerlegt in den „freien Hamiltonoperator“ <math>H_0</math>, zu dem eine Lösung bekannt ist, und einen als kleine Störung behandelten Teil ([[Potential (Physik)|Potential]]) <math>V</math>:

:<math>H = H_0 + V</math>

[[Eigenfunktion]]en <math>|\phi_0 \rangle</math> des freien Hamiltonoperators erfüllen die Gleichung

:<math> \left( E - H_0 \right) |\phi_0 \rangle = 0</math>

wobei <math>E</math> der zugehörige [[Eigenwert]] ist.

Als „freie [[Greensche Funktion]]“ bezeichnet man einen [[Operator (Mathematik)|Operator]] <math>G_0</math>, für den gilt:

:<math> G_0 \left( E - H_0 \right) |\phi_0 \rangle = |\phi_0 \rangle</math>

Dieser Operator ist also gewissermaßen eine [[Umkehrfunktion]] zum freien Hamiltonoperator. Eine mathematisch korrekte Darstellung erfordert die Betrachtung von <math>G_0</math> als [[Distribution (Mathematik)|Distribution]].

Nun werden in analoger Weise die unbekannten Eigenfunktionen <math>|\psi \rangle</math> des vollständigen Hamiltonoperators sowie seine Greensche Funktion <math>G</math> definiert.

Damit gilt die Lippmann-Schwinger-Gleichung:

:<math style = "border: 1px black; border-style: solid; padding: 1em">|\psi \rangle = |\phi _0\rangle + G_0 V |\psi \rangle</math>

Diese Gleichung wird üblicherweise [[Iteration|iterativ]] gelöst, wobei die Beschränkung auf die erste nicht[[trivial]]e Ordnung als [[Bornsche Näherung]] bezeichnet wird.

== In der Streutheorie ==
Die Lippmann-Schwinger-Gleichung findet entsprechend vor allem in der Streutheorie Anwendung. Hierbei wird berechnet, wie sich die Wellenfunktion eines [[Teilchen]]s bei der [[Streuung (Physik)|Streuung]] an einem Potential V ändert, wobei als freier Hamiltonoperator der kinetische Anteil für ein [[freies Teilchen]] verwendet wird:

:<math>\hat H_0 = \frac{\hat{\mathbf{p}}^2}{2m}</math>

mit dem [[Impulsoperator]] <math>\hat \mathbf{p}</math>.

Zur Herleitung der Lippmann-Schwinger-Gleichung für ein [[Stationärer Zustand (Quantenmechanik)|stationäres]] Streuproblem geht man von der Schrödingergleichung aus:

:<math>\left[ - \frac{\hbar^2}{2m}\Delta + V(\vec{r}) \right] \psi_k = E_k \psi_k</math>

mit
* der [[kinetische Energie|kinetischen Energie]] <math> E_{k} = \frac{\hbar^2 \vec{k}^2}{2 m} </math> eines freien Teilchens
* seiner Einschußrichtung <math> \frac{\vec{k}}{k}</math>
* seiner Streurichtung <math>\frac{\vec{k^{\prime}}}{k} = \frac{\vec{r}}{r} = \vec{n}</math>
wobei zu beachten ist, dass es sich um eine elastische Streuung handelt, d. h. der [[Vektor#Länge/Betrag eines Vektors|Betrag]] des Impulsvektors wird nicht geändert: <math>k^{\prime} = k</math> und für alle Vektoren <math>|\vec{v}| = v</math>.

Umgestellt und mit der Forderung <math>E \ge 0</math> ergibt sich:

:<math>\left[ \Delta + k^2 \right] \psi_k= \frac{2m}{\hbar^2}V(\vec{r})\psi_k =: U(\vec r) \psi_k</math>

Dies lässt sich mit der Methode der Greenschen Funktionen lösen:

:<math>\begin{align}
\left[ \Delta + k^2 \right] \phi_0 = 0 \quad & \Rightarrow \quad \phi_0 = \frac{1}{(2\pi)^{3/2}}e^{i\vec{k}\vec{r}}\\
\left[ \Delta + k^2 \right] G(\vec{r}) = \delta{(\vec{r})} \quad & \Rightarrow \quad G(\vec{r}) = -\frac{1}{4\pi} \frac{e^{ikr}}{r}\\
\psi_k(\vec{r}) = \phi_0 & + \int d^3\vec{r}^{\prime} G(\vec{r}-\vec{r}^{\prime}) \cdot U(\vec{r}^{\prime}) \psi_k(\vec{r}^{\prime})\\
\end{align}</math>

Daraus ergibt sich die Lippmann-Schwinger-Gleichung der Streutheorie:

:<math style="border: 1px black; border-style: solid; padding: 1em"> \psi_k(\vec{r}) = \frac{1}{(2\pi)^{3/2}}e^{i\vec{k}\cdot\vec{r}} - \frac{2m}{4\pi\hbar^2}\int d^3\vec{r}^{\prime} \cdot \frac{e^{ik|\vec{r} - \vec{r}^{\prime}|}} {|\vec{r} - \vec{r}^{\prime}|} V(\vec{r}^{\prime}) \psi_k(\vec{r}^{\prime})</math>

Hier wurde explizit die [[Ortsdarstellung]] gewählt.

Diese Gleichung lässt sich [[Iteration|iterativ]] lösen, indem man auf der rechten Seite <math>\psi_k(\vec r)</math> durch die bis dahin gewonnene Lösung ersetzt und als [[Startwert]] der Iteration etwa wählt:

:<math>\psi_k^{(0)}(\vec r) = \phi_0(\vec r)</math>

Die erste Iteration

:<math> \psi_k^{(1)}(\vec{r}) = \frac{1}{(2\pi)^{3/2}}e^{i\vec{k}\vec{r}} - \frac{2m}{4\pi\hbar^2}\int d^3\vec{r}^{\prime} \cdot \frac{e^{ik|\vec{r} - \vec{r}^{\prime}|}} {|\vec{r} - \vec{r}^{\prime}|} V(\vec{r}^{\prime}) \frac{1}{(2\pi)^{3/2}}e^{i\vec{k}\vec{r}^{\prime}}</math>

ist dann die bereits oben erwähnte [[Bornsche Näherung]] in Ortsdarstellung.

== Einzelnachweise ==
<references/>

[[Kategorie:Quantenmechanik]]
[[Kategorie:Streutheorie]]

Lippmann-Schwinger-Gleichung - Versionsgeschichte

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