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Die '''liouvillesche Formel''' (benannt nach [[Joseph Liouville]] (1809–1882)) ist eine Identität, welche die [[Determinante (Mathematik)|Determinante]] der [[Fundamentalsystem (Mathematik)|Fundamentalmatrix]] eines [[Lineare gewöhnliche Differentialgleichung|linearen gewöhnlichen Differentialgleichungssystems]] erster Ordnung mit der [[Spur (Mathematik)|Spur]] der Koeffizientenmatrix verknüpft. Mit Hilfe der liouvilleschen Formel kann man beispielsweise die [[abelsche Identität]] leicht beweisen.

== Aussage ==

Sei <math>J \subset \mathbb{R}</math> ein Intervall, <math>A \colon J \rightarrow \mathbb{R}^{n \times n}</math> stetig und <math>\Phi</math> eine ''Matrixlösung'' von
: <math>\ y'(x) = A(x)y(x)\ ,</math>
das heißt <math>\Phi \colon J \rightarrow \mathbb{R}^{n\times n}</math> ist differenzierbar mit <math>\Phi'(x) = A(x)\Phi(x)</math>. Dann gilt für alle <math>x,\, x_0 \in J</math> die liouvillesche Formel
: <math>
\det \Phi(x) = \det \Phi(x_0) \cdot \exp\left(\int_{x_0}^x {\rm Spur}(A(\xi)){\rm d} \xi \right)\ .
</math>

== Folgerungen ==

* Insbesondere ist <math>\Phi(x)</math> entweder für alle <math>x \in J</math> eine reguläre Matrix oder für kein <math>x \in J</math>. Im ersteren Fall nennt man <math>\Phi</math> eine ''Fundamentalmatrixlösung'' oder kurz ''Fundamentalmatrix''. Gilt zudem <math>\Phi(x_0) = I</math>, so heißt <math>\Phi</math> die ''Hauptfundamentalmatrixlösung'' in <math>x_0</math>.
* Sei <math>A \in \mathbb{R}^{n \times n}</math> eine feste Matrix. Im Spezialfall <math>\Phi(x) := e^{xA}</math> der [[Matrixexponential|Matrixexponentialfunktion]] erhält man aus der liouvilleschen Formel
::<math>\det(e^{xA}) = e^{x\cdot\textrm{Spur}(A)}\ ,</math>
: da <math>\Phi</math> Hauptfundamentalmatrixlösung für <math>y'(x) = Ay(x)</math> in <math>0</math> ist.

== Literatur ==
* Carmen Chicone: ''Ordinary Differential Equations with Applications.'' 2. Auflage. (''Texts in Applied Mathematics'', 34) Springer-Verlag, 2006, ISBN 0-387-30769-9.

== Weblinks ==

{{Wikibooks|Beweisarchiv: Gewöhnliche Differentialgleichungen: Lineare Theorie: Liouville'sche Formel|Beweis der Liouvilleschen Formel|suffix=-}}

[[Kategorie:Theorie gewöhnlicher Differentialgleichungen]]
[[Kategorie:Satz (Mathematik)]]

Liouvillesche Formel - Versionsgeschichte

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