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2024-01-11T12:49:37Z

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Die '''Linsengleichung''', auch '''Abbildungsgleichung''' genannt, gibt bei einer [[Optische Abbildung|optischen Abbildung]] mittels einer [[Linse (Optik)|Linse]] die Beziehung zwischen [[Gegenstandsweite]] <math>g</math>, [[Bildweite]] <math>b</math> und [[Brennweite]] <math>f</math> an. Sie lautet:<ref>[[Alfred Recknagel]]: Elementarphysik (Elektrik Optik), P.E. Blank Verlag, Weimar, 1953, S. 265.</ref>
: <math>\frac{1}{b} + \frac{1}{g} = \frac{1}{f}</math>.

== Geometrische Herleitung ==

Für eine [[dünne Linse]], deren objekt- und bildseitige [[Hauptebene (Optik)|Hauptebenen]] zusammenfallen, lässt sich die Linsengleichung wie folgt herleiten:

[[Bild:Sammellinse Skizze.svg|mini|hochkant=2|Bezeichnungen an der dünnen Linse]]
Durch Anwendung des [[Strahlensatz|Strahlensatzes der Geometrie]] auf den [[Mittelpunktsstrahl]] und die sich mit ihm im Mittelpunkt der Linse kreuzende [[Optische Achse (Optik)|optische Achse]] erhält man für den [[Abbildungsmaßstab]] ''A'' die Beziehung
: <math>A = \frac{B}{G} = \frac{b}{g},</math>
wobei ''G'' die Größe des abzubildenden Gegenstandes (Objektes) und ''B'' die des Bildes ist. Die Gegenstandsweite oder Objektweite, also der [[Abstand]] zwischen Hauptebene der Linse und Objekt, ist hier mit ''g'' bezeichnet und die Bildweite, also der Abstand zwischen Hauptebene und Bild, mit ''b''.

Wendet man den [[Strahlensatz]] auf den bildseitigen [[Brennpunktstrahl]] und die sich mit ihm im [[Fokus|Brennpunkt]] kreuzende optische Achse an, so erhält man
: <math>\frac{B}{G} = \frac{b-f}{f}.</math>
''f'' ist in diesem Fall die bildseitige Brennweite der Linse.

Die linken Seiten der 1. und 2. Gleichung sind gleich, also müssen auch deren rechten Seiten gleich sein, das ergibt
: <math>\frac bg = \frac{b-f}f = \frac bf -1.</math>
Addition von 1 und [[Division (Mathematik)|Division]] durch ''b'' ergibt weiter
: <math>\frac{1}{b} + \frac{1}{g} = \frac{1}{f}</math>
Diese Beziehung wird '''Linsengleichung''' oder '''Abbildungsgleichung''' genannt. Eine äquivalente Formulierung ist die [[newtonsche Abbildungsgleichung]].

Die Linsengleichung ist auch für dicke Linsen und Systeme aus mehreren Linsen gültig, deren Hauptebenen im Allgemeinen nicht zusammenfallen. Dann bezeichnet ''g'' den Abstand zwischen Objekt und objektseitiger Hauptebene und ''b'' den Abstand zwischen Bild und bildseitiger Hauptebene.

== Gleichungen für gewünschte Vergrößerung ==
Sucht man die Bild- und Gegenstandsweiten zu einer [[Vergrößerung (Optik)|Vergrößerung]] <math>A</math> (Verhältnis von Bild- und Gegenstandsgröße), so gilt
: <math>A = \frac{b}{g}</math>,
: <math>b = (A+1) \cdot f</math>,
: <math>g = \left(\frac{1}{A} + 1\right) \cdot f.</math>
Um zum Beispiel eine vierfache Vergrößerung zu erhalten, hat man ''<math>b = 5f</math>'' und ''<math>g = \tfrac{5}{4} f</math> ''.

== Gleichungen bei unbekannter Bildweite ==
Folgende Gleichungen sind anwendbar, wenn die Bildweite ''b'' – zum Beispiel bei Kameras – nicht bekannt ist.

Um ein gewünschtes Blickfeld ''G'' über die Entfernung ''g'' auf die [[Bildsensor]]größe ''B'' abzubilden, wird eine Brennweite
: <math>f = \frac{B}{G+B} \cdot g</math>
benötigt. Für eine gegebene Brennweite ''f'' wird auf die Sensorgröße ''B'' das Blickfeld ''G'' im Abstand ''g'' bestimmt mit
: <math>G = \left(\frac{g}{f} - 1\right) \cdot B.</math>

== Brechkraft und Vergenz ==
Der Kehrwert der Brennweite ist die [[Brechkraft]] <math>D</math> und gleich der Summe der Kehrwerte von Bild- und Gegenstandsweite, wie die Linsengleichung in folgender, oben hergeleiteter Form zeigt:
: <math>\frac{1}{b} + \frac{1}{g} = \frac{1}{f} = D</math>

Die [[Internationales Einheitensystem|SI]]-Einheit <math>\mathrm m^{-1} = 1/\mathrm m</math> der Brechkraft heißt [[Dioptrie]].

Kehrwerte besonderer Weiten/Längen werden in der [[Geometrische Optik|geometrischen Optik]] [[Vergenz (Optik)|Vergenzen]] genannt. So wie die Brechkraft einer Einzellinse lässt sich auch die von dünnen benachbarten Linsen näherungsweise einfach als Summe von Vergenzen – den Brechkräften der Einzellinsen – ausdrücken:
: <math>\frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2} = \frac{1}{f}</math>

Ebenso ist die Brechkraft beim Brillenträger näherungsweise die Summe der des Auges und der der Brille.

== Literatur ==
* Douglas C. Giancoli: ''Physik.'' Band 10, 3. Auflage, Pearson Education, München 2006, ISBN 978-3-8273-7157-7.

== Einzelnachweise ==
<references />

== Weblinks ==
* {{Webarchiv |url=https://research.uni-leipzig.de/mqf/poeppl/praes_OP_kap_1_4.pdf |wayback=20160211163550 |text=''Optische Abbildungen mit Linsen.''}}. In: ''research.uni-leipzig.de.'' Abgerufen am 29. Januar 2023.

[[Kategorie:Paraxiale Optik]]

Linsengleichung - Versionsgeschichte

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