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2025-07-13T13:39:00Z

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Bei der '''Linearisierung''' – ein Begriff aus der [[Mathematik]] – werden nichtlineare [[Funktion (Mathematik)|Funktionen]] oder nichtlineare [[Differentialgleichung]]en durch [[lineare Funktion]]en oder durch lineare Differentialgleichungen [[Approximation|angenähert]]. Die Linearisierung wird angewandt, da lineare Funktionen oder [[Lineare gewöhnliche Differentialgleichung|lineare Differentialgleichungen]] einfach berechnet werden können und die Theorie umfangreicher als für nichtlineare Systeme ausgebaut ist.

== Tangente ==
[[Datei:Tangenten.png|Tangenten an <math>f(x) = \sin(x)</math>:<br />blau <math>x_0 = 0,</math><br />grün <math>x_0 = \tfrac{3 \cdot \pi}4</math>|mini]]
Das einfachste Verfahren zur Linearisierung ist das Einzeichnen der [[Tangente]] in den Graphen. Daraufhin können die Parameter der Tangente abgelesen werden, und die resultierende lineare Funktion ([[Punktsteigungsform]] der Geraden)

:<math>y_t = f(x_0) + \frac{\mathrm df}{\mathrm dx} \bigg| _{x_{0}} \cdot (x-x_0)</math>

approximiert die Originalfunktion um den Punkt <math>x_0</math>. Dabei ist <math>\tfrac{\mathrm df}{\mathrm dx} \bigg| _{x_{0}}</math> der Anstieg im Punkt <math>x_0</math>.

Wenn die Funktion in analytischer Form vorliegt, kann die Gleichung der Tangente direkt angegeben werden.

Der relative Fehler der Approximation ist

:<math>F(x)=\bigg| \frac{f(x)-y_t(x)}{f(x)} \bigg|</math>

Für die Funktion <math>f(x)=\sin (x)</math> gilt beispielsweise:

:<math>y(x)=\sin (x_0) + \cos (x_0) \cdot (x-x_0)</math>

Die Bestimmung der Tangente entspricht der Bestimmung des [[Taylor-Formel#Annäherung durch Tangente|linearen Gliedes]] als ersten Teil des [[Taylor-Formel#Annäherung durch Polynome vom Grad n|Taylorpolynoms]] der zu approximierenden Funktion.

== Anwendungen ==
Anwendung findet die Linearisierung unter anderem in der [[Elektrotechnik]] und der [[Regelungstechnik]] zur näherungsweisen Beschreibung nichtlinearer [[System]]e durch [[Lineares System (Systemtheorie)|lineare Systeme]].

Das Ergebnis einer Netzwerkanalyse ist unter Umständen ein nichtlineares Gleichungssystem. Dies kann unter gewissen Voraussetzungen in ein [[lineares Gleichungssystem]] überführt werden. Nicht die einzige, aber die einfachste Methode der Linearisierung ist die Linearisierung in einem [[Arbeitspunkt]] (kurz „AP“). Nur diese ist in den folgenden Abschnitten beschrieben.

=== Linearisierung der Multiplikation ===
In einem [[Signalflussplan]] lassen sich [[Komplexes System|komplexe Systeme]] durch ein Blockbild darstellen, das zur qualitativen Visualisierung von mathematischen Modellen dient. [[Datei:Linearisierung multiply.svg|gerahmt|Eine Multiplikation im Signalflussplan ersetzt durch eine Addition <math>\Delta y = \Delta x_1 \cdot x_{2,\text{AP}} + \Delta x_2 \cdot x_{1,\text{AP}}</math><br />(Arbeitspunkte <math>x_{1,\text{AP}}</math>, <math>x_{2,\text{AP}}</math> und <math>y_\text{AP}</math> wurden zur übersichtlicheren Darstellung weggelassen)]]
Befindet sich in diesem [[Signalflussplan]] eine Multiplikationsstelle, so lässt sich diese durch Linearisierung in eine Additionsstelle umwandeln.

Im Folgenden bezeichnen wir mit <math>y</math> das Produkt zweier Zahlen <math>x_1</math> und <math>x_2</math>:

:<math>y = x_1 \cdot x_2</math>
Im Arbeitspunkt können wir die [[Multiplikation]] linearisieren, indem wir <math>x_1</math> als Summe des Arbeitspunkts und der Differenz <math>\Delta x_1=x_1-x_{1,\text{AP}}</math> schreiben:
:<math>y = ( x_{1,\text{AP}} + \Delta x_1 ) \cdot ( x_{2,\text{AP}} + \Delta x_2 )</math>
Wir können dieses Produkt nach dem [[Distributivgesetz]] ausmultiplizieren. Es ergibt sich die Summe:
:<math>y = x_{1,\text{AP}} \cdot x_{2,\text{AP}} + x_{1,\text{AP}} \cdot \Delta x_2 + x_{2,\text{AP}} \cdot \Delta x_1 + \Delta x_1 \cdot \Delta x_2</math>
Wir nehmen nun an, dass das Verhältnis der Abweichungen vom Arbeitspunkt <math>\Delta x_i</math> und dem Arbeitspunkt selber klein ist:

<math>\frac{\Delta x_i}{x_{i,\text{AP}}}\ll x_{i,\text{AP}}</math> und somit auch das Produkt <math>e_y = \Delta x_1 \cdot \Delta x_2</math> klein ist. Die '''linearisierte Multiplikation''' lautet also:

:<math>y \approx x_{1,\text{AP}} \cdot x_{2,\text{AP}} + x_{1,\text{AP}} \cdot \Delta x_2 + x_{2,\text{AP}} \cdot \Delta x_1</math>

==== Beispiel ====
Wähle die Zahlen:

:<math>x_1=2{,}4;\ x_2=110 \Rightarrow y = x_1 \cdot x_2 = 264.</math>
Nun stellt sich, die Frage, wie die Arbeitspunkte zu wählen sind. Um die Rechnung zu vereinfachen, runden wir <math>2{,}4</math> auf <math>2</math> ab und <math>110</math> auf <math>100</math> ab:
Wähle also: <math>x_{1,\text{AP}} = 2;\ x_{2,\text{AP}} = 100 \Rightarrow \Delta x_1 = 0{,}4;\ \Delta x_2 = 10.</math>
Das linearisierte Produkt ist also
:<math>\Rightarrow y \approx 2 \cdot 100 + 2 \cdot 10 + 100 \cdot 0{,}4 = 260 </math>
mit dem Fehler <math>e_y = 0{,}4 \cdot 10 = 4</math>.

=== Linearisierung der Division ===
[[Datei:Signalflussplan division.svg|mini|450px|Linearisierung einer Division dargestellt im Signalflussplan]]
Wir betrachten nun den Quotienten <math>y </math> zweier Zahlen <math>x_1 </math> und <math>x_2 </math>:
:<math>y=\frac{x_1}{x_2}</math>

Analog wie zur Multiplikation entwickeln wir <math>x_i=x_{i,\text{AP}}+\Delta x_i </math> um den Arbeitspunkt <math>x_\text{AP} </math>. Damit können wir den Quotienten wie folgt schreiben:
:<math>y=\frac{x_{1,\text{AP}}+\Delta x_1}{x_{2,\text{AP}}+\Delta x_2}</math>
Ausklammern der Arbeitspunkte liefert für Division:

:<math>y=\frac{x_{1,\text{AP}} }{x_{2,\text{AP}} }\cdot \frac{1+\frac{\Delta x_1 }{ x_{1,\text{AP}}} }{ 1+\frac{ \Delta x_2 }{ x_{2,\text{AP}}} }</math>

Wir wollen nun den Zähler und den Nenner des Bruches linearisieren. Dazu verwenden wir die [[geometrische Reihe]]. Für eine Nullfolge <math>q^k </math> gilt:
:<math>\sum_{k=0}^{n}q^k=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}</math>

Hierbei ist entsprechend <math>q=-\tfrac{ \Delta x_2 }{ x_{2,\text{AP}}}</math> mit <math>\vert q \vert \ll 1</math> zu wählen.

Einsetzen liefert die Linearisierung
:<math>\frac{1}{1+\frac{\Delta x_2}{x_{2,\text{AP}}} }\approx 1-\frac{\Delta x_2}{x_{2,\text{AP}}}</math>

Analog lässt sich der Nenner des obigen Bruchs linearisieren. Die '''linearisierte Division''' lässt sich schreiben durch:
:<math>y\approx \frac{x_{1,\text{AP}}}{x_{2,\text{AP}}} \cdot \left(1+\frac{\Delta x_1}{x_{1,\text{AP}}}-\frac{\Delta x_2}{x_{2,\text{AP}}}\right)</math>

== Linearisieren gewöhnlicher Differentialgleichungen ==
Ein bekanntes Beispiel für die Linearisierung einer nichtlinearen Differentialgleichung ist das [[Mathematisches Pendel|Pendel]]. Die Gleichung lautet:

:<math>\ddot y(t)+D\cdot \dot y(t)+\omega ^2\sin(y(t))=0</math>

Der nichtlineare Teil ist <math>\sin(y)</math>. Dieser wird für kleine Schwankungen um einen Arbeitspunkt <math>y_0</math> approximiert durch:
:<math>\sin (y) \approx \sin (y_0) + \cos (y_0) \cdot (y-y_0)</math>

Mit dem Arbeitspunkt <math>y_0=0</math> gilt:
:<math>\sin(y) \approx y</math> und damit die linearisierte Differenzialgleichung
:<math>\ddot y(t)+D\cdot \dot y(t)+\omega ^2\cdot y(t)=0</math>.

Diese linearisierten Differentialgleichungen sind meist deutlich einfacher zu lösen. Für ein mathematisches Pendel (wähle <math>D=0 </math>) lässt sich die Gleichung durch einfache Exponentialfunktionen lösen, wobei die nicht-linearisierte nicht analytisch lösbar ist. Weitere Details über das Linearisieren von Differentialgleichungen sind in dem Artikel über die [[Zustandsraumdarstellung]] beschrieben.

== Tangentialebene ==
[[Datei:Linear tanget.svg|mini|Darstellung als Signalflussplan]]
Soll eine gegebene Funktion <math>f(x_1, x_2)</math> in einem Punkt <math>x_{10}, x_{20}</math> linearisiert werden, wird sich der [[Taylor-Formel]] bedient. Das Ergebnis entspricht der [[Tangentialebene]] in diesem Punkt.

Für die Funktion <math>f(x_1, x_2)</math> gilt in der Umgebung des Punktes <math>x_{10}, x_{20}</math>:

:<math>y = \underbrace{f(x_{10}, x_{20})}_{=\text{const.}}+\underbrace {\frac{\partial f(x_1,x_2)}{\partial x_1}\bigg| _{x_{10},x_{20}}\cdot (x_1-x_{10})+\frac{\partial f(x_1,x_2)}{\partial x_2}\bigg| _{x_{10},x_{20}}\cdot (x_2-x_{20})}_{= \Delta y}</math>

Beispiel:

:<math>f(x_1, x_2)=x_1 \cdot x_2</math>

ergibt die Tangentialebene

:<math>y=\underbrace{x_{10}\cdot x_{20}}_{=\text{const.}} + \underbrace{x_{20}\cdot(x_1-x_{10})+x_{10}\cdot (x_2-x_{20})}_{= \Delta y}</math>

== Weblinks ==
{{Wikibooks|Linearisierung von resistiven Sensoren}}
* Skript der {{Webarchiv | url=http://www.iemw.tuwien.ac.at/riedling/Linearisierung.pdf | wayback=20060723104452 | text=TU Wien}}
* Skript der [http://www.eeh.ee.ethz.ch/lehre/vorlesungen/nus/slides/nus1_vorlesung_181007.pdf ETH Zürich]

{{Normdaten|TYP=s|GND=4199872-8}}

[[Kategorie:Analysis]]

Linearisierung - Versionsgeschichte

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