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Eine '''Linearform''' ist ein [[mathematisches Objekt|Objekt]] aus dem [[Teilgebiete der Mathematik|mathematischen Teilgebiet]] der [[Lineare Algebra|linearen Algebra]]. Es handelt sich dabei um eine [[lineare Abbildung]] von einem [[Vektorraum]] in den zugrundeliegenden [[Körper (Algebra)|Körper]].

Im Kontext der [[Funktionalanalysis]], das heißt im Falle eines [[Topologischer Vektorraum|topologischen]] <math>\R</math>- oder <math>\Complex</math>-Vektorraums, sind die betrachteten Linearformen meistens [[Stetiges lineares Funktional|stetige lineare Funktionale]].

== Definition ==
Es sei <math>K</math> ein Körper und <math>V</math> ein <math>K</math>-Vektorraum. Eine Abbildung <math>f \colon V \to K</math> heißt ''Linearform'', wenn für alle Vektoren <math>x,y \in V</math> und Skalare <math>\alpha \in K</math> gilt:

# <math>f(x+y) = f(x) + f(y)</math> (Additivität);
# <math>f(\alpha x) = \alpha f(x)</math> (Homogenität).

Die Menge aller Linearformen über einem gegebenen Vektorraum <math>V</math> bildet dessen [[Dualraum]] <math>V^*</math> und damit selbst wieder in natürlicher Weise einen <math>K</math>-Vektorraum.

== Eigenschaften ==
Allgemeine Eigenschaften für Linearformen sind zum Beispiel:
* Wie jede lineare Abbildung sind sie durch ihre Werte für eine beliebige [[Basis (Vektorraum)|Basis]] von <math>V</math> vollständig bestimmt.
* Sie sind entweder trivial (überall identisch <math>0_K</math>) oder [[Surjektivität|surjektiv]].
* Haben zwei von ihnen gleiche [[Kern (Algebra)|Kern]]e, so unterscheiden sie sich nur durch die [[Skalarmultiplikation|Multiplikation]] mit einem Skalar.

Speziell für lineare Funktionale gilt außerdem:
* Sie sind genau dann [[Stetige Funktion|stetig]] wenn ihr Kern [[Abgeschlossene Menge|abgeschlossen]] ist.
* Ihr [[absoluter Betrag]] ist stets eine [[Halbnorm]] auf <math>V</math>.
* Lineare Funktionale <math>\mathbb{K}^n \to \mathbb{K}</math> sind genau die Abbildungen <math>x \mapsto \langle v,x \rangle</math>, wobei <math>v \in \mathbb{K}^n</math> einen Vektor und <math>\langle \cdot,\cdot \rangle</math> das [[Standardskalarprodukt]] bezeichnen.

== Linearform als Tensor ==
Eine Linearform <math>f</math> ist ein [[Kontravarianz (Physik)|kovarianter]] [[Tensor]] erster Stufe; man nennt sie deshalb manchmal auch [[1-Form]]. 1-Formen bilden die Grundlage für die Einführung von [[Differentialform]]en.

== Verwandte Begriffe ==
Gilt speziell <math>K = \Complex</math> und ändert man die zweite Bedingung in <math>f(\alpha x) = \overline \alpha f(x)</math> ab, wobei <math>\overline \alpha</math> das [[Komplexe Konjugation|komplex Konjugierte]] von <math>\alpha</math> bezeichnet, erhält man eine [[Semilinearform]].

Eine Abbildung, die linear oder semilinear in mehr als einem Argument ist, ist eine [[Sesquilinearform]], eine [[Bilinearform]], oder allgemein eine [[Multilinearform]].

== Literatur ==
* {{EoM
| Titel = Linear form
| Autor =
| Url = http://eom.springer.de/L/l059210.htm
}}

* {{Literatur
|Autor=[[Gerd Fischer (Mathematiker)|Gerd Fischer]]
|Titel=Lineare Algebra
|TitelErg=Eine Einführung für Studienanfänger
|Auflage=16., überarbeitete und erweiterte
|Verlag=[[Vieweg+Teubner]]
|Ort=Wiesbaden
|Datum=2008
|Seiten=280–281
|ISBN=978-3-8348-0428-0}}
* {{Literatur
|Autor=[[Harro Heuser]]
|Titel=Funktionalanalysis
|TitelErg=Theorie und Anwendung
|Reihe=Mathematische Leitfäden
|Auflage=4.
|Verlag=[[B. G. Teubner]]
|Ort=Wiesbaden
|Datum=2006
|ISBN=978-3-8351-0026-8
|Online=[https://mathscinet.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=RT&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Heuser%2C%20Harro&s5=&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=3&mx-pid=2380292 MR2380292]}}
* {{Literatur
|Autor=Eberhard Oeljeklaus, [[Reinhold Remmert]]
|Titel=Lineare Algebra I
|Reihe=Heidelberger Taschenbücher
|BandReihe=150
|Verlag=Springer Verlag
|Ort=Berlin (u. a.)
|Datum=1974
|ISBN=3-540-06715-9
|Online=[http://www.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Oeljeklaus&s5=&s6=&s7=&s8=All&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=44&mx-pid=366944 MR0366944]}}
* [[Walter Rudin]]: ''Functional Analysis'', 2nd Ed., McGraw-Hill Inc., New York, 1991
* {{Literatur|Autor=[[Dirk Werner (Mathematiker)|Dirk Werner]]|Verlag=Springer-Verlag Berlin Heidelberg|Ort=Berlin|Jahr=2005|ISBN=3-540-21381-3|Titel=Funktionalanalysis|TitelErg=5., erw. Auflage}}

[[Kategorie:Lineare Algebra]]
[[Kategorie:Funktionalanalysis]]
[[Kategorie:Lineare Abbildung]]

Linearform - Versionsgeschichte

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