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2024-12-23T09:38:45Z

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In der [[Systemtheorie]] ist ein '''lineares System''' ein Modell für einen hinreichend gut isolierten Teil der Natur, in dem alle auftretenden Funktionen [[lineare Abbildung]]en sind.

Ein lineares System besteht aus inneren [[Zustandsgröße (Systemtheorie)|Zustandsgröße]]n und einer Dynamik, die die zeitliche Entwicklung dieser Zustandsgrößen beschreibt. Weiterhin gibt es beobachtbare Größen, die aber nur Funktionen der inneren Zustandsgrößen sind und den inneren Zustand nicht eindeutig charakterisieren. Von außerhalb des isolierten Bereichs gibt es Wechselwirkungen, die zwar als schwach angenommen werden, aber dennoch die innere Dynamik modifizieren.

Beispielsweise lässt sich ein lineares [[Differentialgleichung #Systeme_von_Differentialgleichungen|Differentialsystem]] (also ein System mit kontinuierlicher Zeit, unendlichen [[Wertebereich]]en und stetigen Systemoperatoren) darstellen als

:<math>\begin{align}
\dot x(t) &=A(t)x(t)+B(t)u(t)\\
y(t) &=C(t)x(t)+D(t)u(t),
\end{align}</math>

mit
* dem inneren Zustand <math>x(t)</math>
* den äußeren Einflüssen <math>u(t)</math>
* den von außen beobachtbaren Signalen <math>y(t)</math>
* den zeitabhängigen [[Matrix (Mathematik)|Matrizen]] <math>A</math>, <math>B</math>, <math>C</math>, <math>D</math> passender Dimension; insbesondere muss <math>A</math> [[Quadratische Matrix|quadratisch]] sein. Die Matrizen können zu einer [[Blockmatrix]] zusammengefasst werden, welche dann ''Systemmatrix'' heißt.

Ein lineares System heißt [[lineares zeitinvariantes System]] (LZI-System), wenn die Systemmatrix nicht von der Zeit <math>t</math> abhängt.

Aber auch Systeme mit diskreter Zeit und endlichen Wertebereichen können linear sein, wenn auf den Mengen und Operatoren entsprechende lineare Abbildungen definiert sind. Ein typisches Beispiel sind [[Linearer Automat|lineare Automaten]] mit der [[Kontravalenz|Antivalenz]] als linearer Operation, z. B. ein [[linear rückgekoppeltes Schieberegister]].

== Siehe auch ==
* [[Zustandsraumdarstellung]]
* [[Linearität (Systemtheorie)]]
* [[Nichtlineares System]]

== Literatur ==
*{{Literatur
|Autor=[[Rolf Unbehauen]]
|Jahr=2002
|Titel=Systemtheorie 1
|Ort=München Wien
|Verlag=Oldenbourg Verlag
|ISBN=978-3-486-25999-5}}
*{{Literatur
|Autor=[[Gerhard Wunsch]]
|Jahr=1986
|Titel=Handbuch der Systemtheorie
|Ort=München Wien
|Verlag=R. Oldenbourg Verlag
|ISBN=3-486-20017-8}}
*{{Literatur
|Autor=Michael Gössel
|Jahr=1972
|Titel=Angewandte Automatentheorie II. Lineare Automaten und Schieberegister
|Ort=Berlin
|Verlag=Akademie-Verlag}}

[[Kategorie:Systemtheorie]]

Lineares System (Systemtheorie) - Versionsgeschichte

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