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2025-11-22T07:56:14Z

Linear separierbare Funktionen: SVG-Datei erstellt

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<gallery perrow="2" class="float-right">
File:Separability NO.svg|Zwei voneinander nicht linear separierbare Relationen in <math>\mathbb{R}^2</math>.
File:Separability YES.svg|Zwei voneinander linear separierbare Relationen in <math>\mathbb{R}^2</math>.
</gallery>
'''Lineare Separierbarkeit''' (auch '''Trennbarkeit''', oder '''Klassifizierbarkeit''') bezeichnet in der [[Mathematik]] die Eigenschaft zweier [[Relation (Mathematik)|Relation]]en ([[Menge (Mathematik)|Menge]]n aus <math>n</math>-[[Tupel]]n), für die eine [[Hyperebene]] (bzw. eine lineare [[Diskriminanzfunktion]]) existiert, die diese im <math>n</math>-dimensionalen [[Vektorraum]] voneinander trennt.

Im 2-dimensionalen Raum bedeutet dies, dass zwischen zwei linear separierbaren Punktemengen eine Gerade gelegt werden kann.

== Formale Definition ==
Zwei Teilmengen <math>A \subseteq \R^n, B \subseteq \R^n </math> heißen
''linear separierbar'', wenn <math>n+1</math> reelle Zahlen <math>w_1,\dotsc, w_{n+1}</math> existieren, so dass für alle <math>\vec{a}=(a_1,\dotsc,a_n) \in A, \vec{b}=(b_1,\dotsc,b_n) \in B</math> die Ungleichungen

:<math>\sum_{i=1}^nw_ia_i \le w_{n+1} < \sum_{j=1}^nw_jb_j</math>

gelten.<ref name="rojas1996">{{Literatur |Autor=Raúl Rojas |Titel=Neural Networks – A Systematic Introduction |Verlag=Springer |Datum=1996 |Kapitel=3.3 Linearly separable functions |Seiten=63–66 |Online=https://page.mi.fu-berlin.de/rojas/neural/}}</ref> Die Punkte <math>\vec{x}=(x_1,\dotsc,x_n)</math> aus <math>\R^n</math>, für die <math>\textstyle \sum_{i=1}^nw_ix_i = w_{n+1}</math> gilt, bilden die separierende Hyperebene.

== Linear separierbare Funktionen ==

[[Bild:Lineare_Separierbarkeit.svg|thumb|250px|Lineare Separierbarkeit von Funktionen]]

Binäre Funktionen (d. h. <math>f \colon D \rightarrow \{0,1\}</math> mit <math>D \subseteq \mathbb{R}^n</math>) heißen ''linear separierbar'', wenn die [[Urbild (Mathematik)|Urbilder]] von 0 und 1 separierbar sind.

Die linear separierbaren Funktionen spielen vor allem beim [[Maschinelles Lernen|maschinellen Lernen]] eine Rolle. So kann zum Beispiel das einfache [[Perzeptron]] nur linear trennbare Funktionen erlernen. Ein Beispiel für eine nicht linear separierbare Funktion ist die [[XOR-Verknüpfung]]. Wie das Schaubild zeigt, ist eine lineare Trennung der beiden Ergebniswerte nicht möglich.<ref name="rojas1996"/>

== Siehe auch ==
Die lineare Separierbarkeit [[disjunkt]]er [[konvexe Menge|konvexer Mengen]], die im 2- oder 3-dimensionalen Anschauungsraum plausibel ist, wird im [[Trennungssatz]] behandelt. Dieser beinhaltet auch Verallgemeinerungen auf unendlich-dimensionale Räume.

[[Separierbarkeit]] als Eigenschaft von Filtern in der Bildverarbeitung sollte nicht mit linearer Separierbarkeit verwechselt werden.

== Einzelnachweise ==
<references/>

[[Kategorie:Funktionalanalysis]]

Lineare Separierbarkeit - Versionsgeschichte

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