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2025-02-24T18:51:34Z

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Die '''lineare Regression''' (kurz: '''LR''') ist ein Spezialfall der [[Regressionsanalyse]], also ein [[Statistik|statistisches]] Verfahren, mit dem versucht wird, eine beobachtete [[abhängige Variable]] durch eine oder mehrere [[unabhängige Variable]]n zu erklären. Bei der linearen Regression wird dabei ein [[lineares Modell]] (kurz: '''LM''') angenommen. Es werden also nur solche Zusammenhänge herangezogen, bei denen die abhängige Variable eine [[Linearkombination]] der [[Regressionskoeffizient]]en (aber nicht notwendigerweise der unabhängigen Variablen) ist. Der Begriff Regression bzw. [[Regression zur Mitte]] wurde vor allem durch den Statistiker [[Francis Galton]] geprägt.

== Einfache lineare Regression ==
{{Hauptartikel|Lineare Einfachregression}}
[[Datei:Linear regression Qt example.png|mini|400px|Beispiel einer Linie (rot), die mit ELR erstellt wurde]]
Das einfache lineare Regressionsmodell (kurz: ''ELR'') geht von lediglich zwei metrischen Größen aus: einer Einflussgröße <math>X</math> und einer Zielgröße <math>Y</math>. Durch die einfache lineare Regression wird mithilfe zweier Parameter eine Gerade ('''Regressionsgerade''') so durch eine [[Punktwolke]] gelegt, dass der lineare Zusammenhang zwischen <math>X</math> und <math>Y</math> möglichst gut beschrieben wird. Die Gleichung der linearen Einfachregression ist gegeben durch

:<math>Y_i = \beta_0 +\beta_1 x_i +\varepsilon_i, \quad i=1, \dotsc, n</math>.

== Multiple lineare Regression ==
{{Hauptartikel|Multiple lineare Regression}}
Die multiple lineare Regression (kurz: '''MLR''') stellt eine Verallgemeinerung der einfachen linearen Regression dar, wobei nun K Regressoren angenommen werden, welche die abhängige Variable erklären sollen. Zusätzlich zu der Variation über die Beobachtungen wird also auch eine Variation über die Regressoren angenommen, wodurch sich ein [[lineares Gleichungssystem]] ergibt, das sich in Matrixnotation wie folgt zusammenfassen lässt:

:<math>\mathbf y = \mathbf X \boldsymbol{\beta} + \boldsymbol \varepsilon\;</math> mit <math>\;\boldsymbol \varepsilon\sim \mathcal{N}( \mathbf 0, \sigma^2 \mathbf I_T)</math>.

=== Verallgemeinerte lineare Regression ===
{{Hauptartikel|Verallgemeinerte Kleinste-Quadrate-Schätzung}}
Das [[Verallgemeinerte Kleinste-Quadrate-Schätzung#Das verallgemeinerte lineare Regressionsmodell (VLR)|verallgemeinerte lineare Regressionsmodell]] (kurz: '''VLR''') ist eine Erweiterung des multiplen linearen Regressionsmodells, bei dem zusätzlich [[Heteroskedastizität]] und [[Autokorrelation]] erlaubt ist. Die [[Varianz-Kovarianzmatrix]] der Fehlerterme ist dann nicht mehr <math>\sigma^2 \mathbf I_T</math>, sondern eine nicht konstante Matrix <math> \boldsymbol\Phi=\sigma^2 \mathbf \Psi</math>. In Matrixnotation lautet das Modell:
:<math>\mathbf y = \mathbf X \boldsymbol{\beta} + \boldsymbol \varepsilon\;</math> mit <math>\;\boldsymbol \varepsilon\sim \mathcal{N}( \mathbf 0,\sigma^2\boldsymbol\Psi)</math>.

=== Klassische Normalregression ===
{{Hauptartikel|Klassisches lineares Modell der Normalregression}}
Wird zu dem bisherigen (klassischen) multiplen linearen Modell (kurz: '''KLM''') auch die Annahme der Normalverteiltheit der Fehlerterme getroffen, dann spricht man auch von einem klassischen linearen Modell der Normalregression. Die Annahme der [[Normalverteilung]] der Fehlerterme wird benötigt, um statistische Inferenz durchzuführen, d. h., sie wird benötigt, um [[Konfidenzintervall]]e und [[Signifikanztest]]s berechnen zu können.

:<math>\mathbf y = \mathbf X \boldsymbol{\beta} + \boldsymbol \varepsilon\;</math> mit <math>\;\boldsymbol \varepsilon\sim \mathcal{N}( \mathbf 0, \sigma^2 \mathbf I_T)</math>.

=== Paneldatenregression ===
{{Hauptartikel|Lineare Paneldatenmodelle}}
Das allgemeine lineare [[Paneldaten]]modell lässt zu, dass der Achsenabschnitt und die Steigungsparameter zum einen über die Individuen <math>i</math> (in Querschnittsdimension) und zum anderen über die Zeit <math>t</math> variieren (nicht-zeitinvariant). Das allgemeine lineare Paneldatenmodell lautet:

<math>y_{it} = \alpha_{it} + \mathbf x^{\top}_{it} \boldsymbol{\beta}_{it} + \varepsilon_{it},\;\; i=1, \dotsc, N; \;\; t=1, \dotsc, T</math>

mit der Varianz-Kovarianzmatrix:

:<math>\operatorname{Cov}( \boldsymbol \varepsilon)=\operatorname{E}( \boldsymbol \varepsilon \boldsymbol \varepsilon^{\top})=\mathbf \Sigma \otimes \mathbf I_T=\mathbf \Phi</math>

Hierbei ist <math>y_{it}</math> eine skalar vorliegende abhängige Variable, <math>\mathbf x^{\top}_{it}</math> ist ein <math>(K \times 1)</math>-Vektor von unabhängigen Variablen, <math>\varepsilon_{it}</math> ist ein skalar vorliegender Fehlerterm.
Da dieses Modell zu allgemein ist und nicht schätzbar ist, wenn es mehr Parameter als Beobachtungen gibt, müssen bezüglich der Variation von <math>\alpha_{it}</math> und <math>\beta_{it}</math> mit <math>i</math> und <math>t</math> und bezüglich des Verhaltens des Fehlerterms einschränkende Annahmen getroffen werden. Diese zusätzlichen Restriktionen und die darauf aufbauenden Modelle sind Themen der [[Lineare Paneldatenmodelle|linearen Paneldatenmodelle]] und der [[Paneldatenanalyse]].

== Generalisierte Lineare Modelle ==
{{Hauptartikel|Generalisierte Lineare Modelle}}
Lineare Modelle lassen sich dahingehend erweitern, dass keine feste Datenmatrix untersucht wird, sondern auch diese zufallsbehaftet ist. Dieses Modell nennt man generalisiertes lineares Modell (kurz: '''GLM'''). Die Untersuchungsmethoden ändern sich in diesem Fall nicht substantiell, werden aber deutlich komplizierter und damit rechenaufwendiger.

== Allgemeine lineare Modelle ==
{{Hauptartikel|Allgemeines lineares Modell}}
Das allgemeine lineare Modell (kurz: '''ALM''') betrachtet die Situation, bei der die abhängige Variable <math>Y</math> kein Skalar, sondern ein Vektor ist. In diesem Fall wird ebenfalls konditionierte Linearität <math>\operatorname E(\mathbf y\mid \mathbf X)= \mathbf X\mathbf B</math> wie beim klassischen linearen Modell angenommen, aber mit einer Matrix <math>\mathbf B</math>, die den Vektor <math>\boldsymbol\beta</math> des klassischen linearen Modells ersetzt. Multivariate Pendants zu der gewöhnlichen [[Methode der kleinsten Quadrate]] und zu der [[Verallgemeinerte Methode der kleinsten Quadrate|verallgemeinerten Methode der kleinsten Quadrate]] wurden entwickelt. ''Allgemeine lineare Modelle'' werden auch „multivariate lineare Modelle“ genannt. Diese sind aber nicht mit multiplen linearen Modellen zu verwechseln. Das allgemeine lineare Modell ist gegeben durch
:<math>\mathbf Y = \mathbf X \mathbf{B} + \mathbf U</math>.

== Orthogonale Regression ==
{{Hauptartikel|Orthogonale Regression}}

Die orthogonale Regression (genauer: orthogonale lineare Regression) dient zur Berechnung einer Ausgleichsgeraden für eine endliche Menge metrisch skalierter Datenpaare <math>(x_i,y_i)</math> nach der Methode der kleinsten Quadrate, wobei allerdings Fehler in x und y angenommen werden.

== Regularisierung der Regression ==
Um ein gewünschtes Verhalten der Regression zu gewährleisten und somit eine [[Überanpassung]] an den Trainingsdatensatz zu vermeiden, gibt es die Möglichkeit, den Regressionsterm mit ''Straftermen'' zu versehen, die als [[Nebenbedingung]]en auftreten.

Zu den bekanntesten [[Regularisierung]]en gehören hierbei:<ref>Hui Zou, Trevor Hastie: ''[http://web.stanford.edu/~hastie/TALKS/enet_talk.pdf Regularization and Variable Selection via the Elastic Net.]'' (PDF; 185 kB).</ref>
* Die <math>L_1</math>-Regularisierung (auch LASSO-Regularisierung genannt): Durch <math>\boldsymbol \hat{\beta} = \underset{\boldsymbol{\beta}}{\arg\min} (\| \mathbf y- \mathbf X \boldsymbol \beta \|^2 + \lambda \|\boldsymbol \beta\|_1)</math> werden bevorzugt einzelne Elemente des Vektors <math>\boldsymbol \hat{\beta}</math> minimiert. Die übrigen Elemente des Vektors können jedoch (betragsmäßig) große Werte annehmen. Dies begünstigt die Bildung [[Dünnbesetzte Matrix|dünnbesetzter Matrizen]], was effizientere Algorithmen ermöglicht.
* Die <math>L_2</math>-Regularisierung (auch Ridge-Regularisierung genannt): Durch <math>\boldsymbol\hat{\beta} = \underset{\boldsymbol{\beta}}{\arg\min} (\| \mathbf y-\mathbf X\boldsymbol \beta \|^2 + \lambda \|\boldsymbol \beta\|^2)</math> wird der gesamte Vektor <math>\boldsymbol\hat{\beta}</math> gleichmäßig minimiert, die Matrizen sind jedoch ''voller.''
* Das elastische Netz: Hierbei wird durch den Ausdruck <math>\boldsymbol\hat{\beta} = \underset{\boldsymbol{\beta}}{\arg\min} (\| \mathbf y-\mathbf X \boldsymbol\beta \|^2 + \lambda_2 \|\boldsymbol\beta\|^2 + \lambda_1 \|\boldsymbol \beta\|_1)</math> sowohl die <math>L_1</math>- als auch die <math>L_2</math>-Regularisierung durchgeführt.

== Anwendungen der Regressionsanalyse ==
Spezielle Anwendungen der Regressionsanalyse beziehen sich auch auf die Analyse von diskreten und im Wertebereich eingeschränkten abhängigen Variablen. Hierbei kann unterschieden werden nach Art der abhängigen Variablen und Art der Einschränkung des Wertebereichs. Im Folgenden werden die Regressionsmodelle, die an dieser Stelle angewandt werden können, aufgeführt. Nähere Angaben hierzu finden sich bei Frone (1997)<ref>M. R. Frone: ''Regression models for discrete and limited dependent variables.'' Research Methods Forum No. 2, 1997, {{Webarchiv |url=http://division.aomonline.org/rm/1997_forum_regression_models.html |text=''online.'' |wayback=20070107012608}}.</ref> und bei Long (1997).<ref>J. S. Long: ''Regression models for categorical and limited dependent variables.'' Sage, Thousand Oaks, CA 1997.</ref>

Modelle für unterschiedliche Arten abhängiger Variablen ([[Generalisierte Lineare Modelle]]):
* Binär: [[Logistische Regression]] und [[Probitmodell|Probit-Regression]]
* Ordinal: [[Ordinale logistische Regression]] und [[ordinale Probit-Regression]]
* Absolut: [[Poisson-Regression]], [[negative binomiale Regression]]
* Nominal: [[Multinomiale logistische Regression]]

Modelle für unterschiedliche Arten eingeschränkter Wertebereiche:
* Zensiert: [[Tobit-Modell]]
* Gestutzt: [[gestutzte Regression]]
* Stichproben-selegiert ''(sample-selected):'' [[Stichproben-selegierte Regression]]

=== Anwendung in der Ökonometrie ===
Für quantitative Wirtschaftsanalysen im Rahmen der Regressionsanalyse, beispielsweise der [[Ökonometrie]], sind besonders geeignet:
* [[Wachstumsfunktion]]en, wie zum Beispiel das [[Gesetz des organischen Wachstums]] oder die [[Zinseszinsrechnung]],
* [[Abschwingfunktion]]en, wie zum Beispiel die [[hyperbolische Verteilungsfunktion]] oder die [[Korachsche Preisfunktion]],
* [[Schwanenhalsfunktion]]en, wie zum Beispiel die im Rahmen der [[Logistische Regression|logistischen Regression]] verwendete [[logistische Funktion]], die [[Johnson-Funktion]] oder die [[Potenzexponentialfunktion]],
* degressive [[Saturationsfunktion]]en, wie zum Beispiel die [[Gompertz-Funktion]] oder die [[Törnquist-Funktion]].

== Weblinks ==
{{Wikibooks|Statistik: Regressionsanalyse|Einführung in die Regressionsrechnung}}
{{Commonscat|Linear regression|Lineare Regression}}

== Literatur ==
* Norman R. Draper, Harry Smith: ''Applied Regression Analysis.'' 3. Auflage. Wiley, New York 1998, ISBN 0-471-17082-8.
* [[Ludwig Fahrmeir]], [[Thomas Kneib]], [[Stefan Lang (Statistiker)|Stefan Lang]]: ''Regression: Modelle, Methoden und Anwendungen.'' Springer Verlag, Berlin / Heidelberg / New York 2007, ISBN 978-3-540-33932-8.
* Peter Schönfeld: ''Methoden der [[Ökonometrie]].'' Berlin / Frankfurt 1969.
* Dieter Urban, Jochen Mayerl: ''Regressionsanalyse: Theorie, Technik und Anwendung.'' 2., überarb. Auflage. VS Verlag, Wiesbaden 2006, ISBN 3-531-33739-4.
* G. Judge, R. Carter Hill: ''Introduction to the Theory and Practice of Econometrics.'' Wiley, New York 1988, ISBN 0-471-62414-4.

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Ausgleichsrechnung]]
[[Kategorie:Regressionsmodell]]

Lineare Regression - Versionsgeschichte

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