imported>Mathze: /* Definition */

2025-11-24T06:15:12Z

Definition

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[[Datei:LinearHull.svg|thumb|Ein Vektor <math> a</math> und seine lineare Hülle <math>\langle a \rangle</math>.]]
[[Datei:Vectores_coplanarios.png|mini|Die blaue Ebene stellt die lineare Hülle der beiden Vektoren <math> v_1</math> und <math> v_2</math> dar. (<math>v</math> ist eine [[Linearkombination]] der beiden Vektoren.)]]
In der [[Lineare Algebra|linearen Algebra]] ist die '''lineare Hülle''' (auch der '''Spann,''' '''''Span''''' [aus dem Englischen, von ''[linear] span''], '''Aufspann''', '''Erzeugnis''' oder '''Abschluss'''<ref name="Lau">Dietlinde Lau: ''Algebra und Diskrete Mathematik 1.'' Springer, ISBN 978-3-540-72364-6, Seite 162 </ref> genannt) einer Teilmenge <math>A</math> eines [[Vektorraum]]s <math>V</math> über einem [[Körper (Algebra)|Körper]] <math>K</math> die Menge aller [[Linearkombination]]en mit Vektoren aus <math>A</math> und [[Skalar (Mathematik)|Skalaren]] aus <math>K</math>. Die lineare Hülle bildet einen [[Untervektorraum]], der gleichzeitig der kleinste Untervektorraum ist, der <math>A</math> enthält.

== Definition ==

=== Konstruktive Definition ===

Ist <math>V</math> ein Vektorraum über einem [[Körper (Algebra)|Körper]] <math>K</math> und <math>A \subset V</math> eine Teilmenge des Vektorraums, dann heißt die Menge aller Linearkombinationen der <math>a_i \in A</math>, also die Menge
:<math>\langle A \rangle = \left\{ \left.\textstyle\sum\limits_{i=1}^n \lambda_ia_i \right| \lambda_i \in K, a_i \in A, n \in \N \right\}</math> ,
die ''lineare Hülle'' von <math>A</math>.<ref>[[Siegfried Bosch]]: ''Lineare Algebra.'' Springer, 2001, ISBN 3-540-41853-9, S. 29–30 </ref>

Im Fall einer endlichen Teilmenge <math>A</math> vereinfacht sich diese Definition zu
:<math>\langle\{a_1, a_2, \dotsc, a_n \}\rangle = \{ \lambda_1a_1 + \lambda_2a_2 + \dotsb + \lambda_na_n \mid \lambda_1, \lambda_2, \dotsc, \lambda_n \in K \}</math>.

Die lineare Hülle der leeren Menge ist der [[Nullvektorraum]], das heißt

:<math>\langle \emptyset \rangle = \{0\}</math>,

denn die [[leere Summe]] von Vektoren ergibt per Definition den [[Nullvektor]].

=== Andere Definitionen ===

[[Logische Äquivalenz|Äquivalent]] zu der konstruktiven Definition sind die folgenden Definitionen:
* Die lineare Hülle einer Teilmenge <math>A</math> eines Vektorraums <math>V</math> ist der kleinste Untervektorraum, der die Menge <math>A</math> enthält.
* Die lineare Hülle einer Teilmenge <math>A</math> eines Vektorraums <math>V</math> ist die Schnittmenge aller Untervektorräume <math>U</math> von <math>V</math>, die <math>A</math> enthalten.

=== Notation ===

Als Symbole für die lineare Hülle von <math>A</math> werden <math>\operatorname{span}(A)</math> bzw. <math>\operatorname{Span}(A)</math>, <math>\langle A \rangle</math>, <math>L(A)</math>, <math>\operatorname{lin} A</math> oder <math>\mathcal L(A)</math> verwendet. Ist <math>A</math> endlich, etwa <math>A = \{a_1, \dotsc, a_n\}</math>, werden doppelte Klammern vermieden, indem die Schreibweisen <math>\langle a_1, \dotsc, a_n \rangle</math>, <math>L\{a_1, \dotsc, a_n\}</math> oder <math>\mathcal L \{a_1, \dotsc, a_n\}</math> verwendet werden.

== Eigenschaften ==

Seien <math>A</math> und <math>B</math> Teilmengen des <math>K</math>-Vektorraumes <math>V</math>. Dann gelten:

# <math> A \subseteq \langle A \rangle </math>,
# <math> A \subseteq B \Rightarrow \langle A \rangle \subseteq \langle B \rangle</math>,
# <math> \langle A \rangle = \langle \langle A \rangle \rangle </math>.
Diese drei Eigenschaften charakterisieren die lineare Hülle als [[Hüllenoperator]].<ref name="Lau"/>

Weiter gelten:
* Die lineare Hülle einer Teilmenge eines Vektorraums <math>V</math> ist ein [[Untervektorraum]] von <math>V</math>.

* Für jeden Unterraum <math>U</math> eines Vektorraums <math>V</math> gilt <math>\langle U \rangle = U</math>.

* Eine Menge von Vektoren ist ein [[Erzeugendensystem]] ihrer linearen Hülle. Ist insbesondere eine Menge von Vektoren ein Erzeugendensystem eines Unterraumes, so ist dieser ihre lineare Hülle.

* Die Summe <math>U_1 + U_2 = \{u_1 + u_2 \mid u_1 \in U_1, u_2 \in U_2 \}</math> zweier Unterräume <math>U_1, U_2</math> ist die lineare Hülle der Vereinigungsmenge, also <math>U_1 + U_2 = \langle U_1 \cup U_2 \rangle</math>.

* In der Menge <math>T</math> der Unterräume eines Vektorraumes (einschließlich des Gesamtraums) kann man die Operation „bilde die lineare Hülle der Vereinigungsmenge“ als zweistellige Verknüpfung einführen. Die dazu [[Dualität (Mathematik)|duale]] Verknüpfung ist die Schnittmengenbildung. Mit diesen Verknüpfungen bildet <math>T</math> dann einen [[Verband (Mathematik)|Verband]].

* Sind <math> U, V </math> Unterräume eines Vektorraumes, dann gilt für die Dimensionen der linearen Hülle die [[Dimensionsformel]]:
::<math> \dim (U + V )+ \dim(U \cap V) = \dim U + \dim V </math>.

== Beispiele ==

* Die lineare Hülle <math>\langle a\rangle</math> eines einzelnen Vektors <math>a \in \R^2\setminus \{ (0,0)\}</math> ist eine [[Gerade]] durch den Ursprung.

* Die beiden Vektoren <math>(3,0,0)</math> und <math>(0,2,0)</math> sind Elemente des [[Reelle Zahlen|reellen]] Vektorraums <math>\R^3</math>. Ihre lineare Hülle <math>\langle (3,0,0), (0,2,0) \rangle</math> ist die <math>x</math>-<math>y</math>-Ebene.

* Sei <math>K[[X]] = \left\{ \left.\textstyle\sum\limits_{k=0}^{\infty} \lambda_k X^k \right| (\lambda_k)_{k \in \N_0} \in K^{\N_0} \right\}</math> der Vektorraum der [[Formale Potenzreihe|formalen Potenzreihen]] über dem Körper <math>K</math> und <math>A = \{ X^k \mid k \in \N \}</math> die Menge der [[Monom]]e. Dann ist die lineare Hülle von <math>A</math> der Unterraum der [[Polynom]]e:
*: <math>\langle A \rangle = \left\{ \left.\textstyle\sum\limits_{i=0}^n \lambda_i X^i \right| n \in \N, \lambda_0, \dotsc, \lambda_n \in K \right\} = K[X]</math>.

== Literatur ==

* [[Gerd Fischer (Mathematiker)|Gerd Fischer]]: ''Lineare Algebra. Eine Einführung für Studienanfänger (Grundkurs Mathematik).'' 17. Auflage, Vieweg+Teubner-Verlag, Wiesbaden 2010. ISBN 978-3-8348-0996-4, 384 Seiten.

== Einzelnachweise ==

<references />

{{SORTIERUNG:Lineare Hulle}}
[[Kategorie:Lineare Algebra]]

[[pl:Podprzestrzeń liniowa#Powłoka liniowa]]
[[ru:Векторное пространство#Линейная оболочка]]

Lineare Hülle - Versionsgeschichte

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