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2026-02-09T05:19:01Z

Lineare Gleichungen mit mehreren Unbekannten

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{{Dieser Artikel|behandelt lineare Gleichungen in der linearen Algebra; für lineare Gleichungen in der analytischen Geometrie siehe [[Geradengleichung]].}}
Eine '''lineare Gleichung''' ist eine [[Mathematik|mathematische]] [[Bestimmungsgleichung]], in der ausschließlich [[Linearkombination]]en der [[Variable (Logik)|Unbekannten]] vorkommen. Kennzeichnend ist für eine lineare Gleichung also, dass jede Unbekannte nur in der ersten [[Potenz (Mathematik)|Potenz]] steht, also nicht beispielsweise quadriert vorkommt (siehe [[quadratische Gleichung]]). Typischerweise sind die Unbekannten einer linearen Gleichung [[Skalar (Mathematik)|Skalare]], meist [[Reelle Zahl|reelle Zahlen]]. Im einfachsten Fall einer skalaren Unbekannten <math>x</math> besitzt eine lineare Gleichung die Form

:<math>a \cdot x = b</math>,

wobei <math>a</math> und <math>b</math> [[Konstante (Logik)|Konstanten]] sind. Es gibt aber auch lineare Gleichungen mit mehreren Unbekannten und mit anderen [[Mathematisches Objekt|mathematischen Objekten]] als Unbekannten, beispielsweise [[Folge (Mathematik)|Folgen]] ([[lineare Differenzengleichung]]en), [[Vektor]]en ([[Lineares Gleichungssystem|lineare Gleichungssysteme]]) oder [[Funktion (Mathematik)|Funktionen]] ([[lineare Differentialgleichung]]en). Im allgemeinen Fall besitzt eine lineare Gleichung die Form

:<math>T(x) = b</math>,

wobei <math>T</math> eine [[lineare Abbildung]] ist.

[[Homogene Gleichung|Homogene]] lineare Gleichungen sind spezielle lineare Gleichungen, bei denen der [[Konstante (Logik)|konstante Term]] <math>b</math> der Gleichung gleich [[Neutrales Element|null]] ist. Die Lösungen einer homogenen linearen Gleichung bilden einen [[Untervektorraum]] des [[Vektorraum]]s der Unbekannten und besitzen damit besondere Eigenschaften wie die Gültigkeit des [[Superposition (Mathematik)|Superpositionsprinzips]]. Die Lösungen einer inhomogenen linearen Gleichung bilden hingegen einen [[Affiner Unterraum|affinen Unterraum]], so lässt sich jede Lösung einer inhomogenen linearen Gleichung als Summe der Lösung der zugehörigen homogenen Gleichung und einer Partikulärlösung darstellen. Der [[Lösungsmenge|Lösungsraum]] einer linearen Gleichung kann über den [[Kern (Algebra)|Kern]] und den [[Kern (Algebra)#Kokern|Kokern]] der [[Lineare Abbildung|linearen Abbildung]] charakterisiert werden.

Lineare Gleichungen und deren Lösungen werden insbesondere in der [[Lineare Algebra|linearen Algebra]] und der [[Funktionalanalysis|linearen Funktionalanalysis]] studiert, sie spielen aber auch in der [[Zahlentheorie]] eine Rolle.

== Skalare lineare Gleichungen ==
Häufig sind die [[Variable (Logik)|Unbekannten]] bei linearen Gleichungen [[Skalar (Mathematik)|Skalare]] (meist [[Reelle Zahl|reelle]] oder [[Komplexe Zahl|komplexe Zahlen]]). Solche lineare Gleichungen sind dann spezielle [[Algebraische Gleichung|algebraische Gleichungen]] vom Grad 1.

=== Lineare Gleichungen mit einer Unbekannten ===
Eine skalare [[Gleichung]] mit einer Unbekannten <math>x</math> heißt ''linear'', wenn sie durch [[Äquivalenzumformung]]en (siehe [[Lösen von Gleichungen]]) in die Form

:<math>a \cdot x = b</math>

gebracht werden kann. Hierbei sind <math>a</math> und <math>b</math> [[Konstante (Logik)|Konstanten]], die nicht von <math>x</math> abhängen.

Falls <math>a\neq 0</math>, so hat die Gleichung genau eine Lösung. Diese kann bestimmt werden, indem auf beiden Seiten durch <math>a</math> geteilt wird:

:<math>x = \frac{b}{a}.</math>

Falls <math>a=0</math> und <math>b\neq 0</math> sind, besitzt die Gleichung keine Lösung. Falls <math>a=0</math> und <math>b=0</math> sind, gibt es unendlich viele Lösungen, weil dann jedes <math>x</math> die Gleichung erfüllt.

'''Beispiele'''

Die Lösung der linearen Gleichung

:<math>3 \cdot x = 24</math>

erhält man, indem man beide Seiten durch 3 [[Division (Mathematik)|dividiert]], sodass auf der linken Seite nur noch die Unbekannte <math>x</math> übrig bleibt:

:<math>x = \frac{24}{3} = 8</math>.

Die lineare Gleichung

:<math>0 \cdot x = 7</math>

besitzt keine Lösung, während die lineare Gleichung

:<math>0 \cdot x = 0</math>

für jedes <math>x</math> erfüllt wird.

=== Lineare Gleichungen mit zwei Unbekannten ===
[[Datei:Superposition qtl4.svg|miniatur|Die Lösungsmenge der linearen Gleichung <math>3x+4y=12</math>]]
Eine skalare Gleichung mit zwei Unbekannten <math>x</math> und <math>y</math> heißt ''linear'', wenn sie durch Äquivalenzumformungen in die Form

:<math>a \cdot x + b \cdot y = c</math>

gebracht werden kann, wobei <math>a</math>, <math>b</math> und <math>c</math> Konstanten sind. Die Lösungen bilden [[Gerade]]n im [[2D|zweidimensionalen Raum]], sofern nicht sowohl <math>a=0</math> als auch <math>b=0</math> gilt. Man spricht dann auch von der [[Allgemeine Koordinatenform#Allgemeine Koordinatenform einer Geradengleichung|allgemeinen Koordinatenform einer Geradengleichung]]. Andernfalls ist die [[Lösungsmenge]] entweder der ganze zweidimensionale Raum <math>(c=0)</math> oder leer <math>(c \neq 0)</math>.

Die Lösung einer solchen Gleichung wird oft in [[Parameterdarstellung]] angegeben. Hierzu [[Lösen von Gleichungen|löst man die Gleichung]] nach einer der Unbekannten auf, beispielsweise <math>y</math>, was, sofern <math>b \neq 0</math>,

:<math>y = (c - a \cdot x) / b</math>

ergibt, und fasst die andere Unbekannte <math>x</math> als freien Parameter <math>t</math> auf. Damit kann man die Lösung als

:<math>x = t</math>  und  <math>y = (c - a \cdot t) / b</math>  mit  <math>t \in \mathbb{R}</math>

schreiben. Auf diese Weise wird sichtbar, dass, obwohl die Gleichung zwei Unbekannte enthält, der [[Lösungsmenge|Lösungsraum]] nur eindimensional ist, also lediglich von einem Parameter <math>t</math> abhängt. Die Parameterdarstellung selbst ist nicht eindeutig. Ist <math>a \neq 0</math>, kann man die Gleichung auch nach <math>x</math> auflösen und <math>y</math> als freien Parameter wählen. Auch andere Parametrisierungen sind möglich, dennoch wird durch sie die gleiche Lösungsmenge beschrieben.

'''Beispiel'''

Die Lösungsmenge der linearen Gleichung

:<math>3 \cdot x + 4 \cdot y = 12</math>

erhält man durch Auflösen nach <math>y</math> als

:<math>x = t</math>  und  <math>y = (12 - 3 \cdot t)/4</math>  mit  <math>t \in \mathbb{R}</math>.

Den [[Funktionsgraph]] der beschriebenen Gerade erhält man dann über die [[Geradengleichung]]

:<math>f(x) = (12 - 3 \cdot x)/4 = -(3/4) \cdot x + 3</math>.

=== Lineare Gleichungen mit mehreren Unbekannten ===
[[Datei:Secretsharing 1.svg|miniatur|Die Lösung einer reellen linearen Gleichung mit drei Unbekannten ist im Allgemeinen eine Ebene.]]
Allgemein heißt eine skalare Gleichung mit <math>n</math> Unbekannten <math>x_1, x_2, \dotsc, x_n</math> ''linear'', wenn sie durch Äquivalenzumformungen in die Form

:<math>a_1 x_1 + a_2 x_2 + \dotsb + a_n x_n = b</math>

gebracht werden kann, wobei <math>a_1, a_2, \dotsc, a_n</math> und <math>b</math> Konstanten sind. Es dürfen also ausschließlich [[Linearkombination]]en der Unbekannten auftreten. Die Lösungen solcher Gleichungen sind im Allgemeinen <math>(n-1)</math>-dimensionale Teilmengen ([[Hyperebene]]n) des zugehörigen <math>n</math>-dimensionalen Raums. Falls <math>a_1 = a_2 = \dotsb = a_n = 0</math> ist die Lösungsmenge entweder der ganze <math>n</math>-dimensionale Raum <math>(b = 0)</math> oder leer <math>(b \neq 0)</math>.

Die Parameterdarstellung der Lösungsmenge erhält man im allgemeinen Fall wiederum dadurch, dass man die Gleichung nach einer der Unbekannten, beispielsweise <math>x_n</math> wenn <math>a_n \neq 0</math>, auflöst,

:<math>x_n = (b - a_1 x_1 -\;\cdots \; - a_{n-1} x_{n-1})/a_n</math>,

und die anderen Unbekannten als freie Parameter <math>t_1</math> bis <math>t_{n-1}</math> auffasst. Damit ist die Lösungsmenge gegeben als

:<math>x_1 = t_1, \dotsc, x_{n-1} = t_{n-1}, x_n = (b - a_1 t_1 - \dotsb - a_{n-1} t_{n-1})/a_n</math>  mit  <math>t_1, \dotsc, t_{n-1} \in \mathbb{R}</math>.

Dadurch, dass <math>n-1</math> Parameter frei wählbar sind, ist der Lösungsraum <math>(n-1)</math>-dimensional. Auch hier ist die Parameterdarstellung nicht eindeutig, man kann die Gleichung auch nach einer der anderen Unbekannten, sofern der zugehörige Koeffizient ungleich null ist, auflösen oder eine andere Parametrisierung wählen.

'''Beispiel'''

Die Lösungsmenge der linearen Gleichung mit drei Unbekannten

:<math>3 x_1 + 2 x_2 + x_3 = 7</math>

ist eine [[Ebene (Mathematik)|Ebene]] im [[3D|dreidimensionalen Raum]] mit Darstellung

:<math>x_1 = t_1, \; x_2 = t_2, \; x_3 = 7 - 3 \cdot t_1 - 2 \cdot t_2</math>  mit  <math>t_1, t_2 \in \mathbb{R}</math>.

== Allgemeine lineare Gleichungen ==
=== Lineare Abbildungen ===
Allgemein werden lineare Gleichungen über [[lineare Abbildung]]en definiert. Eine Gleichung der Form
:<math>T(x) = b</math>

heißt dabei linear, wenn <math>T</math> eine lineare [[Funktion (Mathematik)|Abbildung]] ist und wenn <math>b</math> unabhängig von <math>x</math> ist. Die Abbildung <math>T\colon V \to W</math> bildet dabei von einem [[Vektorraum]] <math>V</math> in einen Vektorraum <math>W</math> ab, wobei <math>x\in V</math> und <math>b\in W</math> sind. Beide Vektorräume sind dabei über einem gemeinsamen [[Körper (Algebra)|Körper]] <math>K</math> definiert. Eine Abbildung ist linear, wenn für Konstanten <math>\lambda, \mu \in K</math>

:<math>T\left(\lambda x + \mu y\right) = \lambda T\left( x \right) + \mu T\left( y\right)</math>

gilt.

'''Beispiel'''

Ist <math>V = \mathbb{R}^n</math> und <math>W = \mathbb{R}</math>, dann ist <math>x = (x_1, \dotsc, x_n) \in \mathbb{R}^n</math> ein reeller Vektor und <math>b \in \mathbb{R}</math> eine reelle Zahl. Wählt man nun für <math>T</math> die lineare Abbildung

:<math>T(x) = a \cdot x</math>

mit konstantem Vektor <math>a = (a_1, \dotsc, a_n) \in \mathbb{R}^n</math>, wobei <math>( \cdot )</math> das [[Standardskalarprodukt]] der beiden Vektoren ist, dann erhält man die lineare Vektorgleichung

:<math>a \cdot x = b</math>,

die äquivalent zur obigen skalaren linearen Gleichung mit <math>n</math> Unbekannten ist. Die [[Linearität (Mathematik)|Linearität]] von <math>T</math> folgt dabei direkt aus der Linearität der [[Skalarmultiplikation]]

:<math>T(\lambda x+\mu y) = a \cdot (\lambda x+\mu y) = \lambda(a \cdot x)+\mu(a \cdot y) = \lambda T(x)+\mu T(y)</math>.

=== Homogenität ===
[[Datei:Superposition qtl3.svg|miniatur|Eine homogene und eine inhomogene skalare lineare Gleichung mit zwei Unbekannten <math>x_1</math> und <math>x_2</math>]]

Eine lineare Gleichung heißt homogen, falls <math>b=0</math> ist, also wenn sie die Form

:<math>T(x) = 0</math>

hat, andernfalls heißt eine lineare Gleichung inhomogen. Homogene lineare Gleichungen besitzen mindestens den [[Nullvektor]]

:<math>x = 0</math>

als Lösung, da

:<math>T(0) = T(0 \cdot 0) = 0 \cdot T(0) = 0</math>

gilt. Umgekehrt werden inhomogene lineare Gleichungen nie durch die triviale Lösung erfüllt.

'''Beispiel'''

Die Lösung der homogenen linearen Gleichung mit zwei Unbekannten <math>x_1</math> und <math>x_2</math>

:<math>3 x_1 + 4 x_2 = 0</math>

ist eine Gerade im zweidimensionalen Raum, die durch den [[Koordinatensystem#Polarkoordinaten|Nullpunkt]] geht. Die Lösung der inhomogenen Gleichung

:<math>3 x_1 + 4 x_2 = 12</math>

ist eine dazu [[Parallel (Geometrie)|parallele]] Gerade, die aber nicht den Nullpunkt enthält.

=== Superposition ===
[[Datei:Superposition qtl1.svg|miniatur|Superpositionsprinzip bei der linearen Gleichung <math>x_1 - 2 x_2 = 10</math>: Lösung der homogenen Gleichung (blau), Partikulärlösung (grün) und Lösung der inhomogenen Gleichung (rot)]]
{{Hauptartikel|Superposition (Mathematik)}}

Homogene lineare Gleichungen besitzen die [[Superposition (Mathematik)|Superpositionseigenschaft]]: Seien <math>\hat{x}</math> und <math>\bar{x}</math> zwei Lösungen einer homogenen linearen Gleichung, dann ist auch <math>\hat{x}+\bar{x}</math> eine Lösung dieser Gleichung. Allgemein gilt sogar, dass alle Linearkombinationen <math>c\hat{x}+d\bar{x}</math> von Lösungen einer homogenen linearen Gleichung mit Konstanten <math>c</math> und <math>d</math> diese Gleichung lösen, da

:<math>T(c\hat{x}+d\bar{x}) = T(c\hat{x})+T(d\bar{x}) = cT(\hat{x}) + dT(\bar{x}) = 0 + 0 = 0</math>

gilt. Durch die Einbeziehung von <math>x = 0</math> und der Superpositionseigenschaft bilden die Lösungen einer homogenen linearen Gleichung einen [[Untervektorraum]] von <math>V</math>.

Weiterhin lässt sich die Lösung einer inhomogenen Gleichung als Summe der Lösung der zugehörigen homogenen Gleichung und einer Partikulärlösung darstellen: Sei <math>\bar{x}</math> eine konkrete Lösung einer inhomogenen linearen Gleichung und sei <math>y</math> die allgemeine Lösung des zugehörigen homogenen Problems, dann ist <math>y+\bar{x}</math> die allgemeine Lösung der inhomogenen Gleichung, da

:<math>T(y+\bar{x}) = T(y) + T(\bar{x}) = 0 + b = b</math>

gilt. Die Lösungen einer inhomogenen linearen Gleichung bilden damit einen [[Affiner Unterraum|affinen Unterraum]] über dem Vektorraum der zugehörigen homogenen Gleichung.

Umgekehrt gilt entsprechend: Sind <math>\hat{x}</math> und <math>\bar{x}</math> zwei Lösungen einer inhomogenen linearen Gleichung, dann löst <math>\hat{x} - \bar{x}</math> die zugehörige homogene Gleichung, da

:<math>T(\hat{x}-\bar{x}) = T(\hat{x}) - T(\bar{x}) = b - b = 0</math>

gilt.

'''Beispiel'''

Eine konkrete Lösung der inhomogenen Gleichung

:<math>x_1 - 2 x_2 = 10</math>

ist

:<math>\bar{x}_1 = 4, \bar{x}_2 = -3</math>.

Sind nun <math>y = (y_1, y_2)</math> die Lösungen der zugehörigen homogenen Gleichung

:<math>y_1 - 2 y_2 = 0</math>,

also alle <math>y</math> mit <math>y_1 = 2 y_2</math>, dann wird die inhomogene Gleichung allgemein gelöst durch

:<math>x = y + \bar{x} = (y_1 + \bar{x}_1, y_2 + \bar{x}_2) = (2 y_2 + 4, y_2 - 3) = (2t + 4, t - 3)</math>  mit  <math>t \in \mathbb{R}</math>.

=== Dimension des Lösungsraums ===
Der [[Lösungsmenge|Lösungsraum]] einer homogenen linearen Gleichung wird als [[Kern (Algebra)|Kern]] <math>\mathrm{ker}(T)</math> der linearen Abbildung bezeichnet, seine [[Dimension (Mathematik)|Dimension]] nennt man auch [[Defekt (Mathematik)|Defekt]]. Aufgrund des [[Rangsatz]]es gilt für die Dimension des Lösungsraums einer endlich-dimensionalen homogenen linearen Gleichung

:<math>\mathrm{dim}(\mathrm{ker}(T)) = \dim(V) - \mathrm{rang}(T)</math>.

Dabei ist <math>\mathrm{rang}(T)</math> der [[Rang (Lineare Algebra)|Rang]] der Abbildung, also die Dimension seines [[Bild (Mathematik)|Bildes]]. Das Bild einer Abbildung ist die Menge der Werte, die <math>T(x)</math> für <math>x \in V</math> annehmen kann.

Aufgrund der Superpositionseigenschaft ist die Dimension des Lösungsraums einer inhomogenen linearen Gleichung gleich der der zugehörigen homogenen Gleichung, sofern eine Partikulärlösung existiert. Dies ist genau dann der Fall, wenn die rechte Seite <math>b</math> im Bild der Abbildung liegt, also <math>b \in T(V)</math> gilt. Der [[Kern (Algebra)#Kokern|Kokern]] der linearen Abbildung <math>\mathrm{coker}(T)=W / T(V)</math> beschreibt gerade den Raum der Bedingungen, die die rechte Seite einer linearen Gleichung erfüllen muss, damit die Gleichung lösbar ist. Seine Dimension ist

:<math>\mathrm{dim}(\mathrm{coker}(T)) = \mathrm{dim}(W) - \mathrm{rang}(T)</math>.

'''Beispiele'''

Wählt man als Vektorräume <math>V = \mathbb{R}^3</math> und <math>W = \mathbb{R}</math> sowie als lineare Abbildung

:<math> T(x) = a_1x_1 + a_2x_2 + a_3x_3</math>,

wobei zumindest einer der Koeffizienten <math>a_1, a_2, a_3</math> ungleich null sei, dann ist das Bild von <math>T</math> der ganze Raum <math>W</math> und somit

:<math>\mathrm{dim}(\mathrm{ker}(T)) = \dim(\mathbb{R}^3) - \dim(\mathbb{R}) = 3 - 1 = 2</math>.

Der Lösungsraum der homogenen linearen Gleichung <math>T(x)=0</math> hat also Dimension 2 und ist eine Ebene im dreidimensionalen Raum. Auch der Lösungsraum der inhomogenen Gleichung <math>T(x)=b</math> ist hier eine Ebene, da die Gleichung, wenn beispielsweise <math>a_1 \neq 0</math> ist, die Partikulärlösung <math>(b/a_1, 0, 0)</math> besitzt. Der Kokern hat hier Dimension 0, die Gleichung ist also für beliebiges <math>b</math> lösbar.

Wählt man stattdessen

:<math>T(x) = 0x_1 + 0x_2 + 0x_3</math>,

dann werden alle Vektoren aus <math>V</math> auf die Null abgebildet und es gilt

:<math>\mathrm{dim}(\mathrm{ker}(T)) = \dim(\mathbb{R}^3) - \dim(\{ 0 \}) = 3 - 0 = 3</math>.

Der Lösungsraum der zugehörigen homogenen linearen Gleichung ist also der gesamte dreidimensionale Raum. Der Lösungsraum der inhomogenen Gleichung ist in diesem Fall leer, da die Gleichung nur für <math>b=0</math> eine Lösung besitzt. Der Kokern hat Dimension 1.

== Wichtige Typen linearer Gleichungen ==
=== Lineare diophantische Gleichungen ===
{{Hauptartikel|Lineare diophantische Gleichung}}

Wählt man Vektorräume <math>V = \mathbb{Z}^n</math> und <math>W = \mathbb{Z}</math> über den [[Ganze Zahl|ganzen Zahlen]] und

:<math>T(x) = a \cdot x</math>

mit konstantem Koeffizientenvektor <math>a \in \mathbb{Z}^n</math>, erhält man die linearen [[Diophantische Gleichung|diophantischen Gleichungen]]

:<math>a_1 x_1 + a_2 x_2 + \dotsb + a_n x_n = b</math>,

von denen ganzzahlige Lösungen <math>x = (x_1, \dotsc, x_n) \in \mathbb{Z}^n</math> gesucht werden. Lineare diophantische Gleichungen besitzen Lösungen, wenn der [[Größter gemeinsamer Teiler|größte gemeinsame Teiler]] der Koeffizienten <math>a_1</math> bis <math>a_n</math> ein [[Teilbarkeit|Teiler]] der rechten Seite <math>b</math> ist, also wenn

:<math>\operatorname{ggT}(a_1, \dotsc, a_n) \; | \; b</math>

gilt. Die Lösungen können dann durch Kombination der Lösungen der homogenen Gleichung mit einer Partikulärlösung, die mit dem [[Erweiterter euklidischer Algorithmus|erweiterten euklidischen Algorithmus]] gefunden werden kann, angegeben werden.

=== Lineare Vektorgleichungen ===
{{Hauptartikel|Lineares Gleichungssystem}}

Wählt man die Vektorräume <math>V = \mathbb{R}^n</math> und <math>W = \mathbb{R}^m</math> sowie

:<math>T(x) = A\;\cdot\;x =
\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}\\
\end{pmatrix}
\cdot
\begin{pmatrix}
x_1 \\
x_2 \\
\vdots \\
x_n \\
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
a_{11} x_1 + a_{12} x_2 + \cdots + a_{1n} x_n \\
a_{21} x_1 + a_{22} x_2 + \cdots + a_{2n} x_n \\
\vdots \\
a_{m1} x_1 + a_{m2} x_2 + \cdots + a_{mn} x_n \\
\end{pmatrix},
</math>

wobei <math>A \in \mathbb{R}^{m, n}</math> eine reelle <math>m \times n</math>-[[Matrix (Mathematik)|Matrix]] ist, erhält man die lineare Vektorgleichung

:<math>A \cdot x = b</math>

mit rechter Seite <math>b \in \mathbb{R}^m</math> und unbekanntem Vektor <math>x \in \mathbb{R}^n</math>, die gerade ein [[lineares Gleichungssystem]] darstellt. Ein lineares Gleichungssystem entsteht also durch Zusammenfassen von mehreren skalaren linearen Gleichungen mit ein oder mehreren Unbekannten zu einer Einheit. Die Lösungsmenge eines linearen Gleichungssystems ist dann die [[Mengenlehre#Schnittmenge|Schnittmenge]] der Lösungen der einzelnen Gleichungen. Ein lineares Gleichungssystem ist genau dann lösbar, wenn der [[Rang (Lineare Algebra)|Rang]] der Koeffizientenmatrix <math>A</math> gleich dem Rang der [[Lineares Gleichungssystem#Matrixform|erweiterten Koeffizientenmatrix]] <math>(A\;b)</math> ist. Lineare Gleichungssysteme können beispielsweise mit Hilfe des [[Gaußsches Eliminationsverfahren|gaußschen Eliminationsverfahrens]] gelöst werden.

=== Lineare Differenzengleichungen ===
{{Hauptartikel|Lineare Differenzengleichung}}

Wählt man die Vektorräume <math>V = W = \R^\N</math> als [[Folgenraum|Folgenräume]] und,

:<math>T((x_n)_n) = \sum_{i=0}^k a_i(n) x_{n-i}</math>

erhält man die lineare [[Differenzengleichung]] <math>k</math>-ter Ordnung

:<math>a_0(n) x_n + a_1(n) x_{n-1} + \dotsb + a_k(n) x_{n-k} = b(n)</math>  für  <math>n \in \mathbb{N}, n \geq k</math>,

wobei die Unbekannte <math>(x_n)_n \in \R^\N</math> eine [[Folge (Mathematik)|Folge]] ist und <math>a_0(n), \dotsc, a_k(n)</math> sowie <math>b(n)</math> Koeffizienten sind, die zwar von <math>n</math> abhängen dürfen, aber unabhängig von den Gliedern der gesuchten Folge sein müssen. Die Lösung einer Differenzengleichung hängt von den Startwerten <math>x_0, \dotsc, x_{k-1}</math> ab und ist dann eindeutig definiert. Lineare Differenzengleichungen können durch Kombination der Lösung der homogenen Gleichung, die mit Hilfe der [[Lineare Differenzengleichung#Lösung der homogenen Gleichung|charakteristischen Gleichung]] gefunden werden kann, mit einer Partikulärlösung explizit gelöst werden.

=== Lineare gewöhnliche Differentialgleichungen ===
{{Hauptartikel|Lineare gewöhnliche Differentialgleichung}}

Wählt man die Vektorräume <math>V</math> und <math>W</math> als [[Funktionenraum|Funktionenräume]] mit stetig differenzierbaren [[Funktion (Mathematik)|Funktionen]] <math>f \in C^n</math> und <math>g \in C^0</math>, erhält man durch Wahl von <math>T</math> als linearen gewöhnlichen [[Differentialoperator]] <math>n</math>-ter Ordnung

:<math>T(f) = \left( \sum_{i=0}^n a_i(x) \frac{d^i}{dx^i} \right) f</math>

die lineare [[gewöhnliche Differentialgleichung]]

:<math>a_n(x) f^{(n)}(x) + \dotsb + a_1(x) f'(x) + a_0(x) f(x) = g(x)</math>,

wobei die Koeffizientenfunktionen <math>a_0, \dotsc, a_n</math> und die rechte Seite <math>g</math> zwar von <math>x</math>, aber nicht von der gesuchten Funktion <math>f</math> und deren Ableitungen <math>f', \dotsc, f^{(n)}</math> abhängen dürfen. Ist <math>f</math> eine vektorwertige Funktion, spricht man von einem linearen [[Differentialgleichung#Systeme von Differentialgleichungen|Differentialgleichungssystem]]. Die Existenz und Eindeutigkeit der Lösung gewöhnlicher Differentialgleichungen erster Ordnung gibt der [[Satz von Picard-Lindelöf]]. Die allgemeine Lösung der homogenen Gleichung kann über das zugehörige [[Fundamentalsystem (Mathematik)|Fundamentalsystem]] angegeben werden, eine Partikulärlösung kann beispielsweise mittels der [[Variation der Konstanten]] gefunden werden.

=== Lineare partielle Differentialgleichungen ===
Sind die Vektorräume <math>V</math> und <math>W</math> ebenfalls Funktionenräume, wobei <math>f \in C^n</math> und <math>g \in C^0</math> stetig differenzierbare Funktionen [[Univariat|mehrerer Veränderlicher]] sind, erhält man durch Wahl von <math>T</math> als linearen [[Differentialoperator#Partieller Differentialoperator|partiellen Differentialoperator]] <math>n</math>-ter Ordnung

:<math>T(f) = \left(\sum_{\alpha_1=0}^n \cdots \sum_{\alpha_m=0}^n a_{\alpha}(x) \frac{\partial^{|\alpha|}}{\partial x_1^{\alpha_1} \cdots \partial x_m^{\alpha_m}}\right) f</math>

die lineare [[partielle Differentialgleichung]]

:<math>\sum_{\alpha_1=0}^n \cdots \sum_{\alpha_m=0}^n a_{\alpha}(x) \frac{\partial^{|\alpha|}f(x)}{\partial x_1^{\alpha_1} \cdots \partial x_m^{\alpha_m}} = g(x)</math>,

wobei <math>x = (x_1, \dotsc, x_m)</math>, <math>\alpha = (\alpha_1, \dotsc, \alpha_m)</math> und <math>|\alpha| = \alpha_1 + \dotsb + \alpha_m</math> sind. Wiederum dürfen die Koeffizientenfunktionen <math>a_\alpha</math> und die rechte Seite <math>g</math> zwar von den Koordinaten <math>x_1</math> bis <math>x_m</math>, aber nicht von der gesuchten Funktion <math>f</math> und deren [[Partielle Ableitung|partiellen Ableitungen]] abhängen. Damit die Lösung einer partiellen Differentialgleichung eindeutig bestimmt ist, müssen [[Anfangsbedingung|Anfangs]]- und/oder [[Randbedingung]]en vorgegeben werden. Zur Lösung linearer partieller Differentialgleichungen gibt es verschiedene Ansätze, beispielsweise [[Fundamentallösung]]en, die [[Methode der Charakteristiken]] oder der [[Separationsansatz]].

=== Lineare Integralgleichungen ===
Sind die Vektorräume <math>V</math> und <math>W</math> Funktionenräume ausreichender Integrierbarkeit, erhält man durch Wahl von <math>T</math> als linearen [[Integraloperator]]

:<math>T(f) = \lambda f(x) + \int_a^x K(x,y) f(y)~dy</math>

mit [[Integralkern]] <math>K(x,y)</math> und konstantem Vorfaktor <math>\lambda</math> die lineare [[Integralgleichung]]

:<math>\lambda f(x) + \int_a^x K(x,y) f(y)~dy = g(x)</math>,

die im allgemeinen Fall eine Volterra-[[Integralgleichung 2. Art]] darstellt. Sind beide Integrationsgrenzen fest, so handelt es sich um eine Fredholm-Integralgleichung. Ist <math>\lambda=0</math>, spricht man von einer [[Integralgleichung 1. Art]].

=== Weitere lineare Operatorgleichungen ===
Beispiele für weitere lineare Operatorgleichungen mit Funktionen als Unbekannten sind:
* [[Algebro-Differentialgleichung#Lineare differentiell-algebraische Gleichung|Lineare differential-algebraische Gleichungen]]
* [[Integro-Differentialgleichung|Lineare Integro-Differentialgleichungen]]
* [[Stochastische Differentialgleichung|Lineare stochastische Differentialgleichungen]]

== Siehe auch ==
* [[Quadratische Gleichung]]
* [[Kubische Gleichung]]
* [[Quartische Gleichung]]
* [[Linearisierung]]

== Literatur ==
* {{Literatur |Autor=[[Hans Wilhelm Alt]] |Titel=Lineare Funktionalanalysis. Eine anwendungsorientierte Einführung |Auflage=5. |Datum=2008 |Verlag=Springer-Verlag |ISBN=3-540-34186-2}}
* {{Literatur |Autor=[[Bernd Aulbach]] |Titel=Gewöhnliche Differenzialgleichungen |Auflage=2. |Jahr=2004 |Verlag=Spektrum Akademischer Verlag |ISBN=3-827-41492-X}}
* {{Literatur |Autor=[[Albrecht Beutelspacher]] |Titel=Lineare Algebra. Eine Einführung in die Wissenschaft der Vektoren, Abbildungen und Matrizen |Auflage=7. |Datum=2009 |Verlag=Vieweg |ISBN=3-528-66508-4}}
* {{Literatur |Autor=[[Peter Bundschuh]] |Titel=Einführung in die Zahlentheorie |Auflage=6. |Verlag=Springer-Verlag |Datum=2010 |ISBN=3-540-76490-9}}
* {{Literatur |Autor=[[Gerd Fischer (Mathematiker)|Gerd Fischer]] |Titel=Lineare Algebra. Eine Einführung für Studienanfänger |Auflage=17. |Datum=2009 |Verlag=Vieweg Verlag |ISBN=3-834-80996-9}}
* {{Literatur |Autor=Günter Gramlich |Titel=Lineare Algebra |Verlag=Fachbuchverlag Leipzig im Carl Hanser Verlag |Datum=2003 |ISBN=3-446-22122-0}}
* {{Literatur |Autor=[[Jürgen Jost]] |Titel=Partielle Differentialgleichungen. Elliptische (und parabolische) Gleichungen |Auflage=1. |Datum=2009 |Verlag=Springer-Verlag |ISBN=3-540-64222-6}}

== Weblinks ==
{{Commonscat|Linear equations}}
* {{EoM|Autor=M.I. Voitsekhovskii|Titel=Linear equation|Url=https://encyclopediaofmath.org/wiki/Linear_equation}}
* {{MathWorld|id=LinearEquation|title=Linear Equation}}
* {{PlanetMath|id=LinearProblem|title=Linear Equation|author=Robert Milson}}

{{Normdaten|TYP=s|GND=4234490-6}}

[[Kategorie:Elementare Algebra]]
[[Kategorie:Lineare Algebra]]

Lineare Gleichung - Versionsgeschichte

imported>Mathze: /* Lineare Gleichungen mit mehreren Unbekannten */