imported>Wolly0209: Änderungen von ~2026-21994-19 (Diskussion) auf die letzte Version von AmeisenBot zurückgesetzt

2026-04-09T11:42:21Z

Änderungen von ~2026-21994-19 (Diskussion) auf die letzte Version von AmeisenBot zurückgesetzt

Neue Seite

{{Dieser Artikel|behandelt die Funktionen in der elementaren Analysis. Für lineare Funktionen in der linearen Algebra siehe [[Lineare Abbildung]].}}

Unter einer '''linearen Funktion''' versteht man oft (insbesondere in der [[Schulmathematik]]) eine [[Funktion (Mathematik)|Funktion]] <math>f\colon\R\to\R</math>, die sich in der Form
:<math>f(x) = m\cdot x+n</math>
mit <math>m, n \in \R</math> schreiben lässt.<ref>{{Literatur |Hrsg=Duden |Titel=Basiswissen Schule Mathematik |Auflage=4. |Datum=2010 |ISBN=978-3-411-71504-6 |Seiten=180}}</ref><ref>{{Literatur |Autor=Bärbel Barzel, Matthias Glade, Marcel Klinger |Titel=Algebra und Funktionen: Fachlich und fachdidaktisch |Auflage=1. |Verlag=Springer |Ort=Berlin, Heidelberg |Datum=2021 |ISBN=978-3-662-61392-4 |Seiten=118}}</ref> Es handelt sich um eine [[Polynomfunktion]] höchstens ersten Grades. Der [[Funktionsgraph|Graph]] einer linearen Funktion ist eine [[Gerade]], wodurch sich der Name ableitet (von {{laS|linea}} ‚(gerade) Linie‘).

Eine lineare Funktion im oben beschriebenen Sinne ist keine [[lineare Abbildung]] im Sinne der [[Lineare Algebra|linearen Algebra]], da die [[Linearität (Mathematik)|Linearitätsbedingung]] im Allgemeinen nicht erfüllt ist. Vielmehr handelt es sich um eine [[affine Abbildung]], weshalb man auch von einer '''affin-linearen Funktion'''<ref>{{Literatur |Autor=Tilo Arens, Frank Hettlich, Christian Karpfinger, Ulrich Kockelkorn, Klaus Lichtenegger, Hellmuth Stachel |Titel=Mathematik |Auflage=5. |Verlag=Springer |Datum=2022 |ISBN=978-3-662-64388-4 |Seiten=104}}</ref> spricht. Um eine lineare Abbildung im Sinne der linearen Algebra handelt es sich nur im Spezialfall <math>n=0</math>, also <math>f(x) = mx.</math> Solche Funktionen werden auch als ''homogene lineare Funktion'' oder ''[[Proportionalität]]'' bezeichnet. In Anlehnung an diese Bezeichnung wird die Funktion für den Fall <math>n \ne 0</math> auch ''linear-inhomogene Funktion'' genannt.

Lineare Funktionen gehören zu den grundlegenden Funktionen in der Mathematik. Sie sind [[Stetige Funktion|stetig]] und [[Differentialrechnung|differenzierbar]]. Viele Probleme lassen sich mithilfe linearer Funktionen leichter lösen; daher versucht man oft, komplizierte Zusammenhänge durch lineare Funktionen zu [[approximieren]].

== Graph ==
[[Datei:Lineare funktionen2.svg|mini|400px|Steigungsdreiecke am Graph der linearen Funktion <math>x \mapsto \tfrac{1}{2}x+2</math>]]

Der Graph einer linearen Funktion ist eine Gerade. In [[Kartesisches Koordinatensystem|kartesischen Koordinaten]] <math>(x|y)</math> gilt
: <math>y = m\cdot x + n</math>
mit reellen Zahlen <math>m</math> und <math>n,</math> wobei <math>x</math> (die [[Abszisse]]) die [[Variable (Mathematik)#Unabhängige Variable|unabhängige]] und <math>y</math> (die [[Ordinate]]) die [[Variable (Mathematik)#Abhängige Variable|abhängige Variable]] ist. Die Bezeichnung der beiden Konstanten mit <math>m</math> und <math>n</math> ist beliebig, in der Literatur finden sich zahlreiche andere Bezeichnungsweisen.

Diese Darstellung bezeichnet man auch als die ''Normalform'' einer linearen Funktion. Ihre zwei [[Parameter (Mathematik)|Parameter]] lassen sich wie folgt interpretieren:
* Die Zahl <math>m</math> gibt die [[Steigung]] der Geraden an.
* Die Zahl <math>n</math> ist der [[y-Achsenabschnitt|y-Achsen- oder Ordinatenabschnitt]], die [[Homogenes Polynom|Inhomogenität]] oder die Verschiebungskonstante.

Der Graph einer linearen Funktion verläuft nie parallel zur <math>y</math>-Achse, da damit einem <math>x</math>-Wert mehr als ein <math>y</math>-Wert zugeordnet wäre, was in Widerspruch zur definitorisch geforderten (Rechts-)Eindeutigkeit einer Funktion stünde.

== Bestimmung des Funktionsterms aus zwei Punkten ==
[[Datei:Lineare funktionen3.svg|mini|300px|Steigung einer linearen Funktion durch zwei gegebene Punkte]]

Es wird vorausgesetzt, dass die Punkte <math>(x_1|y_1)</math> und <math>(x_2|y_2)</math> auf dem Graphen der linearen Funktion <math>f</math> liegen und voneinander verschieden sind.

Die Steigung <math>m</math> lässt sich berechnen mit

:<math>m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}.</math>

Der y-Achsenabschnitt <math>n</math> ergibt sich mit

:<math>n = y_1 - m \cdot x_1</math> oder <math>n = y_2 - m \cdot x_2.</math>

Der gesuchte Funktionsterm <math>f(x)</math> ist also gegeben durch

:<math>f(x) = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \cdot x + \left(y_1 - \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \cdot x_1\right)</math>

oder kürzer durch

:<math>f(x) = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \cdot (x - x_1) + y_1.</math>

== Zusammenfassung ==
[[Datei:Lineare Funktionen - kolleg24 Mathematik.webm|mini|Erklärvideo Lineare Funktionen]]

=== Funktionsgleichung ===
: Eine Funktion <math>f</math> mit <math>f(x)=mx+n</math> heißt ''lineare Funktion.'' Im Fall <math>m \neq 0</math> wird „ganzrationale Funktion 1. Grades“ oder „Polynom 1. Grades“ als Bezeichnung verwendet.
: Die graphische Darstellung des [[Funktionsgraph]]en ist eine Gerade.

=== Achsenschnittpunkte ===
: Schnittpunkt <math>P</math> mit der <math>x</math>-Achse: <math>P(x_P|0)\Rightarrow f(x_P)=0</math>
: Schnittpunkt <math>Q</math> mit der <math>y</math>-Achse: <math>Q(0|y_Q)\Rightarrow y_Q=f(0)</math>

=== Steigung ===
: [[Datei:Zlinfkt 01.gif]]

Die Steigung <math>\tan\alpha</math> des Graphen einer linearen Funktion <math>f</math> lässt sich wegen <math>\tan\alpha = m</math> vom Koeffizienten in der Funktionsgleichung <math>f(x)=mx+n</math> ablesen.

Aus den Koordinaten zweier Punkte der Geraden wird sie so berechnet:
:<math>\tan\alpha = \frac{f(x_2)-f(x_1)} {x_2-x_1} = \frac{y_2-y_1} {x_2-x_1} = \frac{\Delta y} {\Delta x}</math>

=== Funktionsgleichung aufstellen ===
* Die Steigung <math>m</math> und ein Punkt <math>P_1(x_1|y_1),</math> der auf der Geraden liegt, seien bekannt.
: Ansatz: <math>f(x) = mx + n</math>

::<math>P_1(x_1|y_1) \quad \Rightarrow \quad f(x_1) = y_1 \quad \Rightarrow \quad mx_1 + n = y_1 \quad \Rightarrow \quad n = y_1 - mx_1</math>

* Die Koordinaten zweier Punkte <math>P_1(x_1|y_1)</math> und <math>P_2(x_2|y_2),</math> die auf der Geraden liegen, seien bekannt.
: Zuerst wird der Steigungsfaktor <math>m=\frac{y_2-y_1} {x_2-x_1}</math> berechnet, dann damit <math>n</math>:

::<math>P_1(x_1|y_1) \quad \Rightarrow \quad f(x_1) = y_1 \quad \Rightarrow \quad mx_1 + n = y_1 \quad \Rightarrow \quad n = y_1 - mx_1</math>
: oder
::<math>P_2(x_2|y_2) \quad \Rightarrow \quad f(x_2) = y_2 \quad \Rightarrow \quad mx_2 + n = y_2 \quad \Rightarrow \quad n = y_2 - mx_2</math>

=== Schnittpunkt zweier Geraden ===
Schneiden sich zwei durch <math>f(x)</math> und <math>g(x)</math> beschriebene Geraden, so muss im Schnittpunkt die Bedingung
:<math>f(x)=g(x)</math>
erfüllt sein. Die Lösung <math>x_S</math> dieser Gleichung ist die <math>x</math>-Koordinate des Schnittpunktes und <math>y_S=f(x_S)=g(x_S)</math> seine <math>y</math>-Koordinate.

=== Orthogonale Geraden ===
: Für die Steigungen <math>m_1</math> und <math>m_2</math> zweier senkrecht aufeinander stehender Geraden <math>g_1</math> und <math>g_2</math> gilt:
::<math>m_1 \cdot m_2=-1</math>
::<math>m_1=-\frac{1} {m_2}</math>
::<math>m_2=-\frac{1} {m_1}</math>

== Ableitung und Stammfunktion ==
Die [[Ableitung (Mathematik)|Ableitung]] einer linearen Funktion <math>f\left(x\right)=mx+n</math> ist <math>f'\left(x\right)=m</math>, also eine [[konstante Funktion]].

Stammfunktionen von <math>f</math> haben die Gestalt <math>F(x)=\frac{m}{2}x^2+nx+c</math>. Für <math>m \neq 0</math> handelt es sich um quadratische Funktionen, für <math>m=0</math> um lineare Funktionen.

== Verhalten im Unendlichen ==
Ist der Steigungsparameter <math>m</math> einer linearen Funktion <math>f(x)</math> positiv, so gilt <math>\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty</math> und <math>\lim_{x \to \infty} f(x) = \infty</math>. Ist <math>m</math> negativ, so gilt umgekehrt <math>\lim_{x \to -\infty} f(x) = \infty</math> und <math>\lim_{x \to \infty} f(x) = -\infty</math>. Beim Sonderfall <math>m=0</math> liegt eine konstante Funktion vor und es gilt <math>\lim_{x \to -\infty} f(x) = \lim_{x \to \infty} f(x) = n</math>.

== Lineare Funktionen mehrerer Veränderlicher ==
Eine ''(affin) lineare Funktion zweier Veränderlicher'' <math>x</math> und <math>y</math> ist eine Funktion <math>f\colon\R^2\to\R</math>, die sich in der Form

:<math>f(x,y)=ax+by+c</math>

mit <math>a,b,c \in \mathbb R</math> schreiben lässt. Es handelt sich um eine bivariate Polynomfunktion höchstens ersten Grades. Der Graph linearen Funktion zweier Veränderlicher ist eine [[Ebene (Mathematik)|Ebene]].

Allgemein ist eine ''(affin)'' ''lineare Funktion mehrerer Veränderlicher'' <math>x_1, \ldots x_n</math> eine Funktion <math>f\colon\R^n\to\R</math>, die sich in der Form

:<math>f(x_1,\ldots, x_n)=a_1 x_1+\cdots + a_n x_n + c</math>

mit <math>a_1 , \ldots , a_n, c \in \mathbb R</math> schreiben lässt.<ref>{{Literatur |Autor=Steffen Timmann |Titel=Repetitorium der Analysis Teil 2 |Auflage=2. |Verlag=Binomi-Verlag |Ort=Hannover |Datum=2006 |ISBN=978-3-923923-52-6 |Seiten=38 |Abruf=}}</ref> Der Graph einer solchen Funktion ist eine [[Hyperebene]].

== Weblinks ==
{{Commonscat|Linear equations|Lineare Gleichungen|audio=0|video=0}}
{{Commonscat|Linear functions|Lineare Funktionen|audio=1|video=1}}
{{Wikibooks|Mathematrix: Kompass/ Funktionen/ Lineare Funktion|<math>\begin{smallmatrix}{\mathbf{MATHE} \mu \alpha T\mathbb R ix}\end{smallmatrix}</math>: Mathematik für die Schule|suffix=-}}
* [https://www.youtube.com/watch?v=mujliRcVSF8 Lineare Funktionen – Einführung für Schüler] (Video)

== Literatur ==
* {{Literatur
|Autor=Manfred Leppig
|Titel=Lernstufen Mathematik
|Ort=Girardet
|Datum=1981
|ISBN=3-7736-2005-5
|Seiten=61–74}}

== Einzelnachweise ==
<references />

{{Normdaten|TYP=s|GND=4744418-6}}

[[Kategorie:Lineare Algebra]]
[[Kategorie:Analysis]]
[[Kategorie:Mathematische Funktion]]
[[Kategorie:Normalform]]
[[Kategorie:Wikipedia:Artikel mit Video]]

Lineare Funktion - Versionsgeschichte

imported>Wolly0209: Änderungen von ~2026-21994-19 (Diskussion) auf die letzte Version von AmeisenBot zurückgesetzt