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2015-04-09T07:04:20Z

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In der [[Abstrakte Algebra|abstrakten Algebra]] heißen zwei Zwischenkörper <math>M</math> und <math>N</math> einer [[Körpererweiterung]] <math>L/K</math> '''linear disjunkt''', wenn jede Menge von Elementen von <math>M</math>, die über <math>K</math> [[linear unabhängig]] ist, auch über <math>N</math> linear unabhängig ist. Eine äquivalente Charakterisierung lautet: Die Abbildung
: <math>M\otimes_KN\to L</math>
ist injektiv (zur Notation siehe [[Tensorprodukt]]). An dieser Beschreibung sieht man auch sofort, dass lineare Disjunktheit eine symmetrische Eigenschaft von <math>M</math> und <math>N</math> ist.

Der Schnitt linear disjunkter Teilerweiterungen ist stets der Grundkörper <math>K</math>, d. h.
: <math>M\cap N=K.</math>
Die Umkehrung gilt nicht allgemein, jedoch zumindest dann, wenn eine der beiden Erweiterungen <math>M/K</math> und <math>N/K</math> endlich und [[galoissch]] ist.

In der [[Galoistheorie]] lassen sich bestimmte Aussagen verschärfen, wenn man die lineare Disjunktheit der Zwischenkörper voraussetzt.

Zum Beispiel ist die [[Galoisgruppe]] G(''MN''/''K'') des [[Körperkompositum|Kompositums]] ''MN'' der linear disjunkten Zwischenkörper ''M'', ''N'' [[Isomorphismus|isomorph]] zum [[Direktes Produkt|Produkt]] der Galoisgruppen G(''M''/''K''), G(''N''/''K'') von ''M'' und ''N''. Lässt man die lineare Disjunktheit weg, erhält man nur die Isomorphie von G(''MN''/''K'') zu einer [[Untergruppe]] des Produkts G(''M''/''K'') × G(''N''/''K'').

== Verwandte Begriffe ==

* Eine Körpererweiterung <math>L/K</math> ist genau dann [[Reguläre Körpererweiterung|regulär]], wenn <math>L</math> linear disjunkt zu einem [[Algebraischer Abschluss|algebraischen Abschluss]] <math>\bar K</math> von <math>K</math> ist.
* Eine Erweiterung <math>L</math> eines Körpers <math>K</math> der [[Charakteristik (Algebra)|Charakteristik]] <math>p>0</math> ist genau dann [[Separable Körpererweiterung|separabel]], wenn <math>L</math> linear disjunkt zu
:: <math>K^{p^{-\infty}}=\{x\in\bar K\mid\exists n\colon x^{p^n}\in K\}</math>
: ist.

== Literatur ==

* [[Serge Lang]], ''Algebra''. Springer-Verlag, New York 2002. ISBN 0-387-95385-X: Abschnitt VIII, §3
* Hideyuki Matsumura, ''Commutative ring theory''. Cambridge University Press, Cambridge 1989. ISBN 0-521-36764-6: Abschnitt 26

[[Kategorie:Körpertheorie]]

Lineare Disjunktheit - Versionsgeschichte

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