2003:EF:1F11:EF87:34AE:8C42:BE03:A1F6: /* Spannungsverteilung an der Rissspitze */

2021-05-04T12:05:18Z

Spannungsverteilung an der Rissspitze

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Die '''linear-elastische Bruchmechanik''', kurz LEBM, ist ein Konzept aus dem Gebiet der [[Bruchmechanik]] zur theoretischen Beschreibung des Wachstums von [[Bruchmechanik|Rissen]] in einem [[Bauteil (Technik)|Bauteil]].

== Annahmen ==

Ein Riss breitet sich in einem Bauteil aus, da an der Rissspitze eine besonders hohe Spannung herrscht. Die linear-elastische Bruchmechanik geht davon aus, dass die [[Spannung (Mechanik)|Spannung]] an der Rissspitze unendlich groß wird. Physikalisch ist dies nicht zutreffend, da bei Überschreiten der [[Streckgrenze]] des verwendeten Werkstoffs plastische Verformung eintritt, die die Spannung senkt. Ist diese plastische Zone jedoch klein gegenüber der Zone der Spannungsüberhöhung, so liefert die linear-elastische Bruchmechanik dennoch gute Ergebnisse.<ref name='broeckmann'>Christoph Broeckmann, Paul Beiss: ''Werkstoffkunde I''. Institut für Werkstoffanwendungen im Maschinenbau der [[RWTH Aachen]], Aachen 2014, S. 88–101.</ref>

[[Sprödigkeit|Spröde]] Werkstoffe erlauben beispielsweise nur eine sehr geringe plastische Verformung, sodass sich die linear-elastische Bruchmechanik besonders gut für [[Sprödbruch|Sprödbrüche]] von Materialien wie [[Keramik]], [[Gusseisen]] oder [[Härten (Stahl)|gehärtetem Stahl]] einsetzen lässt.<ref name="broeckmann" /> Für eher [[Duktilität|duktil]] versagende Werkstoffe wird dagegen die [[Fließbruchmechanik]] angewendet. Die Größe der plastischen Zone wird mit dem [[Hundeknochen-Modell]] abgeschätzt.<ref name='broeckmann' /> Grenzwerte, bis wann mit der linear-elastischen Bruchmechanik gearbeitet werden kann, liefern die entsprechenden [[ASTM]]-Normen.

== Arten der Rissbeanspruchung ==
[[Datei:Sif.gif | mini | Beanspruchungsarten (Modi)<br/>eines Risses]]
In der Bruchmechanik wird zwischen drei grundlegenden Beanspruchungsarten (Modi) unterschieden, durch die ein Riss beansprucht werden kann:
* Modus I: Beanspruchungen, die ein Öffnen der Rissflanken bewirken. Dies sind in der Regel alle Belastungen, die normal zur Rissfront wirken. Beispiele hierfür wären ein unter Zug- oder Biegebelastung stehendes Bauteil, bei dem der Riss senkrecht zur Normalspannung verläuft.
* Modus II: Beanspruchungen, die eine entgegengesetzte Verschiebung der Rissflanken in Rissausbreitungsrichtung hervorrufen, meist durch eine [[Schub]]belastung hervorgerufen.
* Modus III: Beanspruchungen, die eine Verschiebung der Rissflanken quer zur Rissausbreitungsrichtung bewirken. Diese Beanspruchungsart taucht z. B. in [[Welle (Mechanik)|Wellen]] auf, die unter [[Torsion (Mechanik)|Torsionsbeanspruchung]] stehen und bei denen ein Riss senkrecht zur Wellenachse verläuft.

Treten alle drei Modi zusammen an einer Rissfront auf, spricht man von einer ''Mixed-Mode-Beanspruchung''. Mixed-Mode-Beanspruchungen können einerseits durch eine mehrachsige äußere Belastung des Bauteils hervorgerufen werden. Aber auch bei einer einachsigen Belastung kann sich ein Mixed-Mode-Zustand an der Rissfront einstellen, wenn diese nämlich unter einem beliebigen, ''nicht'' [[orthogonal]]en Winkel zur Achse der Hauptnormalspannung steht.

== Spannungsintensitätsfaktor ==
Der [[Spannungsintensitätsfaktor]] <math>K</math> beschreibt die Spannungsverteilung rund um die Rissspitze. Er kann für gängige Geometrien ([[Prüfkörper]], Bauteile) mittels Näherungsformeln oder [[Finite-Elemente-Methode|FEM]]-Simulationen berechnet werden. Die Art der Rissbeanspruchung wird durch Angabe des Modus im Index angegeben, so ist beispielsweise <math>K_I</math> der Spannungsintensitätsfaktor für den Modus I. Er kann berechnet werden durch

:<math>K_I = \sigma \cdot \sqrt{\pi \cdot a}\ \cdot Y</math>.<ref name="broeckmann" />

Dabei ist
* <math>\sigma</math> die globale, also die entfernt vom Riss anliegende und das gesamte Bauteil umfassende Spannung
* <math>a</math> die Risslänge
* <math>Y</math> ein von der Bauteilgeometrie bzw. Probekörpergeometrie abhängiger Korrekturfaktor.
Der Spannungsintensitätsfaktor wird von den Irwin-Williams-Gleichungen verwendet (siehe Abschnitt Spannungsverteilung an der Rissspitze) und kann mit [[Werkstoffkennwert]]en, etwa der [[Risszähigkeit]], verglichen werden. Dadurch wird prognostiziert, ob es zu einem Rissstillstand kommt, oder der Riss wächst und es zu einem Bruch des Bauteils kommen kann (siehe Abschnitt [[Linear-elastische Bruchmechanik#Bruchkriterium|Bruchkriterium]]).<ref name="broeckmann" />

== Spannungsverteilung an der Rissspitze ==
Die Spannungsverteilung in der unmittelbaren Umgebung der Rissspitze kann mit den '''[[George R. Irwin|Irwin]]-Williams-Gleichungen''' (teilweise auch bekannt als '''Sneddon-Gleichungen''') beschrieben werden. Hierzu wird angenommen, dass der Riss klein im Vergleich zu den Bauteilabmessungen ist. Die Rissspitze stellt den Ursprung eines [[Polarkoordinaten]]systems mit den Koordinaten <math>r</math> und <math>\varphi</math> dar. Dabei ist <math>r</math> der Ortsvektor und <math>\varphi</math> der Winkel zwischen dem Ortsvektor und der Verlängerung des Risses in Ausbreitungsrichtung (auch ''Ligament'' genannt).<ref name="broeckmann" />

Die Irwin-Williams-Gleichungen beschreiben die Spannungen <math>\sigma_x</math>, <math>\sigma_y</math> und <math>\tau_{xy}</math> jeweils mit einer unendlichen [[Reihe (Mathematik)|Reihe]]. Für den Bereich rund um die Rissspitze, die sogenannte ''K-dominante Zone'', ist es jedoch nicht nötig, die gesamte Reihe, sondern lediglich die ersten Glieder anzugeben. Mit dieser Vereinfachung können beispielsweise die Spannungen für den (technisch am relevantesten) Modus I beschrieben werden durch:

:<math>\sigma_x = \frac{K_I}{\sqrt{2 \pi \cdot r}} \cdot \cos \frac{\varphi}{2} \cdot \left( 1 - \sin \frac{\varphi}{2} \cdot \sin \frac{3\varphi}{2} \right)</math>

:<math>\sigma_y = \frac{K_I}{\sqrt{2 \pi \cdot r}} \cdot \cos \frac{\varphi}{2} \cdot \left( 1 + \sin \frac{\varphi}{2} \cdot \sin \frac{3\varphi}{2} \right)</math>

:<math>\tau_{xy} = \frac{K_I}{\sqrt{2 \pi \cdot r}}\cdot \sin \frac{\varphi}{2} \cdot \cos \frac{\varphi}{2} \cdot \cos \frac{3 \varphi}{2}</math>.

== Bruchkriterium ==
Nach dem K-Konzept tritt bei reiner Mode-I-Belastung [[Instabile Rissausbreitung|instabiles Risswachstum]] ein (katastrophales Versagen, schlagartiger Bruch), wenn die Beanspruchungsgröße, also im Bereich der LEBM der Spannungsintensitätsfaktor <math>K_I</math>, einen kritischen Werkstoffkennwert, hier die kritische [[Risszähigkeit]] <math>K_{Ic},</math> erreicht oder überschreitet ([[Bruchkriterium]]):

:<math>K_I \ge K_{Ic}.</math>

Die Risszähigkeit wird für jeden [[Werkstoff]] anhand von speziellen bruchmechanischen Proben, meist CT-Proben bestimmt. Dadurch kann man das [[Risswachstum]]sverhalten eines Werkstoffes mithilfe eines Probekörpers charakterisieren und dann auf das Bauteil übertragen. Dies ist möglich, da davon ausgegangen wird, dass bei gleich großem <math>K_I</math>, unabhängig von der Bauteil- beziehungsweise Probekörpergeometrie, der Riss immer mit derselben Geschwindigkeit wächst.

== Auswertung ==
[[Bild:ParisLaw de.png | thumb | upright=1.2 | Die drei Phasen des Risswachstums]]
Üblicherweise erfolgt die Darstellung des Risswachstumsverhaltens durch Auftragung der Risswachstumsgeschwindigkeit da/dN (Rissfortschritt pro Lastwechsel) über dem zyklischen Spannungsintensitätsfaktor ΔK<sub>1</sub> in einem [[Logarithmische Darstellung|doppelt-logarithmischen Diagramm]]. Meist sind dabei drei charakteristische Bereiche zu erkennen, die für Werkstoffvergleiche genutzt werden können:
* A: Rissinitiierung
* B: [[Stabile Rissausbreitung|stabiles Risswachstum]]
* C: instabiles Risswachstum (Bruch).
Besseres Werkstoffverhalten liegt vor, wenn die Kurve nach rechts bzw. nach unten verschoben ist.

== Literatur ==
* H. A. Richard, M. Sander: ''Ermüdungsrisse: Erkennen, sicher beurteilen, vermeiden''. 1. Aufl., Vieweg + Teubner, Wiesbaden, 2009, ISBN 978-3-8348-0292-7.

== Einzelnachweise ==
<references />

== Weblinks ==
* [https://www.mb.uni-siegen.de/lmw/downloads_prints/materialermuedung/bruchmechanik-steilkurs.pdf Grundlagen der Bruchmechanik] (abgerufen am 14. Oktober 2019)
* [http://publications.rwth-aachen.de/record/707981/files/707981.pdf Mechanismenorientierte bruchmechanische Charakterisierung von Luftfahrtlegierungen unter realitätsnahen Beanspruchungen] (abgerufen am 14. Oktober 2019)
* [https://publikationsserver.tu-braunschweig.de/servlets/MCRFileNodeServlet/dbbs_derivate_00036456/2662-7768-Grossmann.pdf SPANNUNGEN UND BRUCHMECHANISCHE VORGÄNGE IM NORMALBETON UNTER ZUGBEANSPRUCHUNG] (abgerufen am 14. Oktober 2019)
* [https://www.wsl.ch/fileadmin/user_upload/WSL/Mitarbeitende/christem/Rissbildung_in_einem_zusammengesetzten_Werkstoff.pdf Die Bruchmechanik] (abgerufen am 14. Oktober 2019)
* [https://juser.fz-juelich.de/record/848165/files/J%C3%BCl_2460_B%C3%A4r.pdf Bruchmechanische Untersuchungen zum Rißwiderstandsverhalten bei nichtumwandlungsverstärkten Keramiken am Beispiel von Aluminiumoxid] (abgerufen am 14. Oktober 2019)

[[Kategorie:Bruchmechanik]]

Linear-elastische Bruchmechanik - Versionsgeschichte

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