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2025-05-21T18:45:01Z

Parallele zu einer Geraden: Verlinkung

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[[Datei:01 Linealgeometrie, Halbierung einer Strecke.svg|rahmenlos|rechts |hochkant=2 |Linealgeometrie, Halbierung einer Strecke]]
Die '''Linealgeometrie''' bezeichnet die Einschränkung von Konstruktionsaufgaben der [[Euklidische Geometrie|euklidischen Geometrie]], bei der der Zirkel nicht verwendet werden darf (und somit auch keine Winkel oder anderen [[Zeichengerät|Zeichengeräte]]). Lediglich das Lineal (ohne Skaleneinteilung) darf verwendet werden. Manchmal wird auch zum Beispiel die Verwendung eines einzelnen [[Kreis]]es zusätzlich erlaubt, die weitere Konstruktion darf dann aber nur noch mit dem Lineal erfolgen. Die Bezeichnung stammt von [[Johann Heinrich Lambert]] (in seinem Buch ''Freye Perspective'', Zürich 1759, 1774). Die Linealgeometrie wurde außer von [[August Ferdinand Möbius]]<ref>[http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/load/img/?PPN=PPN243919689_0004&DMDID=DMDLOG_0011 Möbius ''Von den metrischen Relationen in dem Gebiete der Lineal-Geometrie''], Journal für reine und angewandte Mathematik, Band 4, 1829.</ref> vor allem von [[Jakob Steiner]] und [[Karl Georg Christian von Staudt]] ausgebaut. Von Steiner und [[Jean Victor Poncelet]] stammt der Satz, dass Konstruktionen mit Zirkel und Lineal auch mit Lineal und einem vorgegebenen Kreis ausgeführt werden können.<ref>{{Literatur |Autor=Jakob Steiner |Hrsg=Ferdinand Dümmler |Titel=Die geometrischen Konstructionen, ausgeführt mittelst der geraden Linie und Eines festen Kreises, als Lehrgegenstand auf höheren Unterrichts-Anstalten und zur praktischen Benutzung |Ort=Berlin |Datum=1833 |Online=[https://www.e-rara.ch/zut/wihibe/content/titleinfo/2791908 Titelansicht] |Abruf=2020-01-26}}</ref>

== Beispiele ==
=== Tangenten an Kreis ===
[[Datei:LinealGeometrieTangentenAnKreis.svg|mini|Bild 1: Tangenten an Kreis]]
Gegeben sei ein Punkt <math>A</math> und ein Kreis ([[Mittelpunkt]] nicht bekannt). Gesucht sind die beiden [[Tangente|Tangenten]] von <math>A</math> an den Kreis (siehe Bild 1). In der Linealgeometrie erhält man die Lösung folgendermaßen: Man zieht von <math>A</math> aus zwei [[Sekante|Sekanten]] durch den Kreis und erhält die Punkte <math>P_1</math> bis <math>P_4.</math> Es folgen die Verbindungen der Punkte <math>P_1</math> mit <math>P_4</math> und <math>P_2</math> mit <math>P_3</math> sowie die [[Halbgerade]]n ab <math>P_3</math> durch <math>P_1</math> und ab <math>P_4</math> durch <math>P_2;</math> dabei ergeben sich die Schnittpunkte <math>X</math> bzw. <math>P.</math> Zieht man jetzt eine Linie von <math>P</math> durch <math>X</math> bis zum Kreis, erhält man die beiden Tangentenpunkte <math>T_1</math> und <math>T_2.</math>

=== Parallele zu einer Geraden ===
Es ist nicht möglich, mit dem Lineal allein eine Parallele zu einer gegebenen [[Gerade]]n zu zeichnen. Ist jedoch auf der Geraden eine [[Strecke (Geometrie)|Strecke]] und deren [[Halbierungspunkt]] – wie im Bild 2 dargestellt – gegeben, kann man eine Parallele zur Geraden konstruieren.<ref name="Sommer">{{Internetquelle |autor=J. Sommer |url=https://gdz.sub.uni-goettingen.de/id/PPN360609767?tify={%22pages%22:[32],%22view%22:%22export%22} |titel=''Elementare Geometrie vom Standpunkt der neueren Analysis aus'', Enzyklopädie der mathematischen Wissenschaften, Band III, 1,2, S. 790 ff., 7. ''Konstruktionen mit dem Lineal'' |hrsg=SUB Göttinger Digitalisierungszentrum |abruf=2020-01-26}}</ref>

Es sei <math>\overline{FG}</math> eine Strecke auf einer Geraden, <math>D</math> der Halbierungspunkt von <math>\overline{FG}</math> sowie <math>H</math> ein Punkt, durch den die gesuchte Parallele zu <math>\overline{FG}</math> verlaufen soll.

Man beginnt mit einer [[Halbgerade]]n ab <math>G</math> durch <math>H</math> und einem darauf beliebig festgelegten Punkt <math>A.</math> Es folgen die Verbindungen der Punkte <math>F</math> mit <math>H,</math> <math>F</math> mit <math>A</math> sowie <math>D</math> mit <math>A</math>; dabei ergibt sich der Schnittpunkt <math>C.</math> Nun zieht man eine gerade Linie ab <math>G</math> durch <math>C</math> bis sie die Strecke <math>\overline{FA}</math> in <math>J</math> schneidet. Die abschließende Gerade durch <math>H</math> und <math>J</math> ist die gesuchte Parallele.<ref name="Steiner">{{Literatur |Autor=Jakob Steiner |Hrsg=Ferdinand Dümmler |Titel=Die geometrischen Konstructionen, ausgeführt mittelst der geraden Linie und Eines festen Kreises, als Lehrgegenstand auf höheren Unterrichts-Anstalten und zur praktischen Benutzung |Ort=Berlin |Datum=1833 |Online=[http://www.e-rara.ch/zut/content/zoom/1226226?zoom=1&lat=1907&lon=1564&layers=B ETH-Bibliothek, II Konstructionen mittels Lineal unter gewissen Voraussetzungen] [Seite 14 §. 6.] S. 15, Aufgabe I. siehe auch [https://www.e-rara.ch/zut/content/zoom/1226322?zoom=3&lat=1911.93085&lon=5972.89574&layers=B Tafel I, Fig.3] |Abruf=2020-01-26}}</ref>
[[Datei:01 Parallele zur Geraden ohne Zirkel.svg|mini|200px|links|Bild 2: Parallele durch <math>H</math> zur gegebenen Strecke <math>\overline{FG},</math> nach Steiner]]
<div style="clear:both"></div>

=== Halbierungspunkt einer Strecke ===
Es ist nicht möglich, mit dem Lineal allein eine Strecke zu halbieren. Ist jedoch zu einer Strecke eine Parallele – wie im Bild 3 dargestellt – vorgegeben, kann man den Halbierungspunkt der Strecke konstruieren.<ref name="Sommer" />

Gegeben sei eine Strecke <math>\overline{FG}</math> und eine Parallele zu <math>\overline{FG}.</math> Gesucht ist der Halbierungspunkt der Strecke <math>\overline{FG}</math>.

Man beginnt damit, einen beliebig festgelegten Punkt <math>A</math> mit den Punkten <math>G</math> und <math>F</math> zu verbinden; dabei entstehen die Schnittpunkte <math>H</math> bzw. <math>J.</math> Es folgen die Verbindungen der Punkte <math>F</math> mit <math>H</math> sowie <math>G</math> mit <math>J</math>; dabei ergibt sich der Schnittpunkt <math>C.</math> Abschließend zieht man eine gerade Linie ab <math>A</math> durch <math>C</math> bis zur Strecke <math>\overline{FG},</math> und erhält damit den gesuchten Halbierungspunkt <math>D</math> der Strecke <math>\overline{FG}.</math><ref name="Steiner" />
[[Datei:01 Parallelen-Mitte ohne Zirkel.svg|mini|200px|ohne|Bild 3: Halbierungspunkt <math>D</math> der Strecke <math>\overline{FG},</math> nach Steiner]]
<div style="clear:both"></div>

== Siehe auch ==
* [[Satz von Poncelet-Steiner]]
* [[Harmonische Teilung#Konstruktion des 4. harmonischen Punktes|Konstruktion des 4. harmonischen Punktes]]

== Quelle ==
* [http://www.zeno.org/Meyers-1905/A/Line%C4%81lgeometrie ''Linealgeometrie'']. In: Meyers Großes Konversations-Lexikon, Band 12. Leipzig 1908, S. 572.

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Ebene Geometrie]]
[[Kategorie:Johann Heinrich Lambert]]

Linealgeometrie - Versionsgeschichte

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