143.50.47.158: /* Formulierung für Schemata von Zufallsvariablen */

2021-05-05T08:54:52Z

Formulierung für Schemata von Zufallsvariablen

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Die '''Lindeberg-Bedingung''' ist ein Begriff aus der [[Stochastik]]. Erfüllt eine Folge von [[Stochastisch unabhängige Zufallsvariablen|stochastisch unabhängigen]] [[Zufallsvariable]]n diese Bedingung, so gilt für sie der [[Zentraler Grenzwertsatz|Zentrale Grenzwertsatz]], auch wenn die Zufallsvariablen nicht zwingenderweise identisch verteilt sind. Allgemeiner lässt sich die Lindeberg-Bedingung auch für [[Schema von Zufallsvariablen|Schemata von Zufallsvariablen]] formulieren, hier ist dann sogar ein gewisses Maß an Abhängigkeit zwischen den Zufallsvariablen zulässig. Diese Formulierung spielt eine wichtige Rolle im [[Zentraler Grenzwertsatz von Lindeberg-Feller|zentralen Grenzwertsatz von Lindeberg-Feller]], einer Verallgemeinerung des "gewöhnlichen" zentralen Grenzwertsatzes.

Die Lindeberg-Bedingung wurde nach dem finnischen Mathematiker [[Jarl Waldemar Lindeberg]] benannt. Eine weitere hinreichende Bedingung für den zentralen Grenzwertsatz ist die [[Ljapunow-Bedingung]].

== Formulierung für Folgen von Zufallsvariablen ==
Seien <math>X_1, X_2, X_3, \ldots</math> unabhängige, quadratisch integrierbare Zufallsvariablen mit <math>{\sigma_n}^2 := \mbox{Var}(X_n)>0</math> für alle <math>n\in\mathbb N</math> und seien
:<math>s_n:=\sqrt{\sum_{k=1}^n {\sigma_k}^2} \quad,\quad \mu_n:=\mbox{E}(X_n)</math>.

Gilt dann die ''Lindeberg-Bedingung''
:<math>\forall\ \varepsilon>0:\quad \lim_{n \to \infty} \sum_{i = 1}^{n} \mbox{E}\left(\frac{(X_i - \mu_i)^2}{s_n^2} \cdot 1_{\left\{| X_i - \mu_i| > \varepsilon s_n\right\}}\right) = \lim_{n\to\infty} \frac{1}{s_n^2}\sum_{i=1}^n \int_{\left\{| x - \mu_i| > \varepsilon s_n\right\}} (x-\mu_i)^2 P_{X_i}(dx) = 0</math> ,

wobei <math>1_T</math> die [[Indikatorfunktion]] bezeichnet, so genügt die Folge <math>(X_i)_{i}</math> dem [[Zentraler Grenzwertsatz|zentralen Grenzwertsatz]], d. h. die Größe
:<math>\frac{1}{s_n} \sum_{i=1}^n (X_i-\mu_i)</math>
[[Verteilungskonvergenz#Schwache Konvergenz|konvergiert in Verteilung]] für <math>n\to\infty</math> gegen eine standardnormalverteilte Zufallsgröße <math>Z\sim\mathcal N(0,1)</math>, sprich
:<math>\forall\ z\in\mathbb R:\quad \lim_{n\rightarrow\infty}\mbox{P}\left(\frac1{s_n}\sum_{i=1}^n(X_i-\mu_i)\leq z\right) = \mbox{P}(Z\leq z) = \Phi(z)</math> ,
wobei hier <math>\Phi</math> die [[Verteilungsfunktion]] der [[Standardnormalverteilung]] beschreibt.

== Umkehrung ==
Die Umkehrung des obigen Sachverhaltes gilt i. A. nicht. Hierfür ist eine zusätzliche Forderung an die Folge <math>X_1, X_2,\dots</math> notwendig:

Die unabhängige Folge <math>(X_i)_i</math> quadratisch integrierbarer, reeller Zufallsvariablen mit <math>\sigma_i^2>0\ \forall i</math> genüge dem [[Zentraler Grenzwertsatz|zentralen Grenzwertsatz]] und erfülle weiter die '''Feller-Lévy-Bedingung'''<ref>{{MathWorld| id = Feller-LevyCondition| title = Feller-Lévy Condition| author = }} </ref>
:<math>\lim_{n\to\infty}\left(\max_{j\in\{1,...,n\}} \frac{\sigma_j}{s_n}\right) = 0</math> .
Dann erfüllt die Folge <math>(X_i)_i</math> auch die ''Lindeberg-Bedingung''.

== Formulierung für Schemata von Zufallsvariablen ==
Gegeben sei ein [[zentriertes Schema]] von Zufallsvariablen <math> (X_{n,l}), n\in \mathbb{N}, l = 1, \ldots, k_n</math>, bei dem jede Zufallsvariable <math> X_{n,l} </math> quadratintegrierbar ist, und seien
:<math> S_n:=\sum_{l=1}^{k_n}X_{n,l} </math>

die Summen über die zweiten Indizes. Das Schema erfüllt nun die Lindeberg-Bedingung, wenn für jedes <math> \varepsilon > 0 </math> gilt, dass
:<math> \lim_{n \to \infty}\frac{1}{\operatorname{Var}(S_n)}\sum_{l=1}^{k_n} \operatorname E \left( X_{n,l}^2\chi_{\{X^2_{n,l}> \varepsilon^2 \operatorname{Var}(S_n)\}}\right) = 0 </math>

ist.

== Literatur ==
* [[Heinz Bauer (Mathematiker)|Heinz Bauer]]: ''Wahrscheinlichkeitstheorie''. De Gruyter, Berlin/New York 2002, ISBN 3110172364, S. 239.
* J. W. Lindeberg: [https://gdz.sub.uni-goettingen.de/id/PPN266833020_0015 Eine neue Herleitung des Exponentialgesetzes in der Wahrscheinlichkeitsrechnung]. In: ''Mathematische Zeitschrift'', Band 15, 1922, S. 211–225.
* {{Literatur|Autor=Achim Klenke|Titel=Wahrscheinlichkeitstheorie|Auflage=3.|Verlag=Springer-Verlag|Ort=Berlin Heidelberg|Jahr=2013|ISBN=978-3-642-36017-6 |DOI=10.1007/978-3-642-36018-3}}
* {{Literatur|Autor=David Meintrup, Stefan Schäffler|Titel=Stochastik|TitelErg=Theorie und Anwendungen|Verlag=Springer-Verlag|Ort=Berlin Heidelberg New York|Jahr=2005|ISBN=978-3-540-21676-6|DOI=10.1007/b137972}}

== Weblink ==
* Eric W. Weisstein: [https://mathworld.wolfram.com/LindebergCondition.html ''Lindeberg Condition.''] auf MathWorld.

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Stochastik]]

Lindeberg-Bedingung - Versionsgeschichte

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