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2021-12-22T16:11:32Z

Das größte liminale Ideal: Einrückung

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'''Liminale C*-Algebren''' sind eine in der [[Mathematik]] betrachtete Klasse von [[C*-Algebra|C*-Algebren]]. Hierbei handelt es sich um die „Bausteine“, aus denen die [[Postliminale C*-Algebra|postliminalen oder Typ-I]]-C*-Algebren aufgebaut sind.

Die liminalen C*-Algebren werden von manchen Autoren auch '''CCR-Algebren''' (CCR steht für completely continuous representations, das heißt kompakte Darstellungen) genannt, unter diesem Namen wurden sie 1951 von [[Irving Kaplansky]] eingeführt. Es besteht jedoch dann ein Namenskonflikt zu in der [[Quantenfeldtheorie]] betrachteten Algebren (CCR steht dort für canonical commutation relations, das heißt [[kanonische Vertauschungsrelationen]]). Wir schließen uns hier der auf [[Jacques Dixmier]] zurückgehenden Benennung an ([[Französische Sprache|frz]].: liminaire, [[Englische Sprache|engl]].: liminal).

== Definition ==
Eine C*-Algebra heißt '''liminal''', wenn die [[Bild (Mathematik)|Bilder]] [[Hilbertraum-Darstellung|irreduzibler Darstellungen]] aus [[kompakter Operator|kompakten Operatoren]] bestehen.

== Beispiele ==
* [[Duale C*-Algebra|Duale C*-Algebren]] sind liminal.
* Kommutative C*-Algebren sind liminal, denn jede irreduzible Darstellung ist eindimensional. Die kommutative C*-Algebra <math>C[0,1]</math> der stetigen Funktionen <math>[0,1]\rightarrow \Complex</math> ist liminal, aber nicht dual.
* Ist <math>X</math> [[lokalkompakter Raum|lokalkompakt]], so ist <math>C_0(X,M_n(\Complex)) := \{a:X\rightarrow M_n(\Complex);\,a\mbox{ ist stetig und }\lim_{x\to\infty}\|a(x)\| = 0\}</math> liminal, denn jede irreduzible Darstellung hat bis auf Äquivalenz die Form <math>\pi_x(a) := a(x) \in M_n(\Complex) = L(\Complex^n)</math> für ein <math>x\in X</math>.
* Es sei <math>H</math> ein unendlich-dimensionaler Hilbertraum. Dann ist <math>A=L(H)</math> nicht liminal, denn <math>\mbox{id}_A\colon A\rightarrow L(H)</math> ist irreduzibel und hat nicht-kompakte Operatoren im Bild.

== Das größte liminale Ideal ==
Ist <math>A</math> eine C*-Algebra, so ist

: <math>I:=\{a\in A; \pi(a)\,\mbox{ ist kompakt für jede irreduzible Darstellung von}\, A\}</math>

ein [[Abgeschlossene Menge|abgeschlossenes]], [[zweiseitiges Ideal]], das liminal ist und jedes andere liminale Ideal enthält, kurz das ''größte liminale Ideal''. Demnach ist eine C*-Algebra genau dann liminal, wenn sie mit ihrem größten liminalen Ideal zusammenfällt.
Der [[Faktorraum|Quotient]] <math>A/I</math> kann durchaus wieder ein von <math>\{0\}</math> verschiedenes liminales Ideal enthalten; diese Beobachtung führt zum wichtigen Begriff der [[Postliminale C*-Algebra|postliminalen C*-Algebra]].

== Eigenschaften ==
* Jede Unter-C*-Algebra einer liminalen C*-Algebra ist wieder liminal.
* Ist <math>A</math> eine liminale C*-Algebra und <math>I\subset A</math> ein abgeschlossenes zweiseitiges Ideal, so ist <math>A/I</math> wieder liminal.
* Ist <math>A</math> eine liminale C*-Algebra und <math>\pi\colon A\rightarrow L(H)</math> eine irreduzible Darstellung, so gilt <math>\pi(A) = K(H)</math>. Dabei ist <math>K(H)</math> die Algebra der kompakten Operatoren auf <math>H</math>, die Definition verlangte nur die Inklusion <math>\pi(A) \subset K(H)</math>.

== Antiliminale C*-Algebren ==
Eine C*-Algebra <math>A</math> heißt '''antiliminal''', wenn das einzige liminale Ideal in <math>A</math> das [[Nullideal]] ist, das heißt, wenn das größte liminale Ideal <math>\{0\}</math> ist. Die [[Calkin-Algebra]] ist ein Beispiel für eine antiliminale C*-Algebra.

== C*-Algebren mit stetiger Spur ==
Für eine C*-Algebra <math>A</math> sei <math>\hat{A}</math> das Spektrum von <math>A</math>, das heißt die Menge aller Äquivalenzklassen <math>[\pi]</math> irreduzibler Darstellungen <math>\pi</math> von <math>A</math> (siehe [[Hilbertraum-Darstellung]]). Ist <math>[\pi]\in \hat{A}</math> und <math>a\in A</math> [[positiver Operator|positiv]], so ist <math>\pi(a)</math> ein positiver kompakter Operator auf <math>H</math> und man kann die [[Spurklasseoperator|Spur]] <math>Sp(\pi(a))\in [0,\infty]</math> bilden, wobei diese Zahl nicht von <math>\pi</math> sondern nur von der Äquivalenzklasse <math>[\pi]</math> abhängt.
Sei weiter

:<math>P:=\{a\in A;\, a \ge 0,\, [\pi]\mapsto Sp(\pi(a)) \mbox{ ist eine stetige Funktion }\,\hat{A}\rightarrow [0,\infty)\}</math>.

Dann ist die Menge aller <math>a\in A</math>, für die <math>a^*a\in P</math> gilt, ein zweiseitiges Ideal in <math>A</math>. Wenn dieses Ideal dicht in <math>A</math> liegt, so sagt man, <math>A</math> sei eine '''C*-Algebra mit stetiger Spur'''. Es gilt folgender Satz.

* C*-Algebren mit stetiger Spur sind liminal, das Spektrum einer solchen C*-Algebra ist ein [[Hausdorffraum]].

Die oben genannte C*-Algebra <math>C([0,1],M_n(\Complex))</math> ist ein Beispiel für eine C*-Algebra mit stetiger Spur. Die Unter-C*-Algebra
<math>\{a\in C([0,1],M_n(\Complex));\, a(0) \mbox{ ist eine Diagonalmatrix} \}</math> ist keine C*-Algebra mit stetiger Spur (für <math>n \ge 2</math>), aber als Unteralgebra liminal.

== Quellen ==
* [[William Arveson|W. Arveson]]: ''Invitation to C*-algebras'', ISBN 0387901760
* [[Jacques Dixmier|J. Dixmier]]: ''Les C*-algèbres et leurs représentations'', Gauthier-Villars, 1969

[[Kategorie:Algebra (Struktur)]]
[[Kategorie:Funktionalanalysis]]

Liminale C*-Algebra - Versionsgeschichte

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