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2021-06-24T18:04:41Z

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{{Dieser Artikel|behandelt Limesmengen diskreter oder kontinuierlicher dynamischer Systeme, zu den verwandten Begriffe der Limesmengen Kleinscher Gruppen oder allgemeiner Konvergenzgruppen siehe [[Kleinsche Gruppe#Limesmenge]] bzw. [[Konvergenzgruppe #Limesmenge]].}}

In der Theorie [[Dynamisches System|dynamischer Systeme]] bezeichnet man als '''Limesmengen''' (oder '''Grenzwertmenge''') diejenigen Punkte des [[Zustandsraum]]s, denen sich [[Dynamisches System #Definitionen|Orbit]]s (für positive oder negative Zeit) unendlich oft annähern.

[[Datei:VanDerPolPhaseSpace.png|250px|mini|<math>\omega</math>-Limesmenge (Grenzzyklus) des [[Van-der-Pol-System|Van-der-Pol-Oszillators]]]]

== Definition ==
Sei <math>(T,X,\Phi)</math> ein dynamisches System mit <math>T = \mathbb Z</math> (diskret) oder <math>T = \mathbb R</math> (kontinuierlich). T ist meist die Zeit und X der Zustandsraum. Sei <math>x\in X</math> ein Punkt des Zustandsraumes.

Die <math>\omega</math>-Limesmenge von <math>x</math> ist
:<math>\omega(x,\Phi):=\left\{y\in X: \exists t_n\rightarrow \infty, \Phi(t_n,x) \rightarrow y\right\}</math>.

Die <math>\alpha</math>-Limesmenge von <math>x</math> ist
:<math>\alpha(x,\Phi):=\left\{y\in X: \exists t_n\rightarrow -\infty, \Phi(t_n,x)\rightarrow y\right\}</math>.

Alternativ lassen sich Limesmengen auch wie folgt charakterisieren:
:<math> \omega(x,\Phi) = \bigcap_{n \in T} \overline{\left\{\Phi(t,x):t>n\right\}}</math>,
:<math> \alpha(x,\Phi) = \bigcap_{n \in T} \overline{\left\{\Phi(t,x):t<n\right\}}</math>.

Die Limesmengen sind abgeschlossen und invariant unter <math>\Phi</math>. Falls <math>X</math> kompakt ist, sind die Limesmengen nicht leer.

== Typen ==
* [[Fixpunkt (Mathematik)|Fixpunkt]]
* [[Periodischer Orbit]]
* [[Grenzzyklus]]
* [[Seltsamer Attraktor]]

== Literatur ==
* {{Literatur
|Autor=[[Gerald Teschl]]
|Titel=Ordinary Differential Equations and Dynamical Systems
|Reihe=Graduate Studies in Mathematics
|BandReihe=140
|Verlag=American Mathematical Society
|Ort=Providence
|Datum=2012
|ISBN=978-0-8218-8328-0
|Online=[https://www.mat.univie.ac.at/~gerald/ftp/book-ode/ mat.univie.ac.at]}}

[[Kategorie:Theorie dynamischer Systeme]]

Limesmenge - Versionsgeschichte

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