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2022-12-19T13:22:05Z

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Der '''Lilliefors-Test''' beziehungsweise '''Kolmogorow-Smirnow-Lilliefors-Test''' ist ein [[statistischer Test]], mit dem die [[Häufigkeitsverteilung]] der Daten einer [[Stichprobe]] auf Abweichungen von einer [[Normalverteilung]] mit unbekanntem Erwartungswert und unbekannter Varianz untersucht werden kann. Er basiert auf einer Modifizierung des [[Kolmogorow-Smirnow-Test]]s, bei dem es sich um einen allgemeinen [[Anpassungsgüte|Anpassungstest]] handelt, für den speziellen Anwendungsfall der Normalitätstestung. Damit ist er für den Test auf Normalverteilung besser geeignet als der Kolmogorow-Smirnow-Test, seine [[Teststärke]] ist jedoch geringer als die anderer Normalitätstests. Benannt wurde er nach Hubert Lilliefors, der ihn 1967 erstmals beschrieb.<ref>{{Literatur |Autor=Hubert W. Lilliefors |Titel=On the Kolmogorov-Smirnov Test for Normality with Mean and Variance Unknown |Hrsg= |Sammelwerk=Journal of the American Statistical Association |Band=62 |Nummer=318 |Auflage= |Verlag= |Ort= |Datum=1967 |ISBN= |ISSN=0162-1459 |DOI=10.1080/01621459.1967.10482916 |Seiten=399–402 |Online=https://www.tandfonline.com/doi/abs/10.1080/01621459.1967.10482916 |Abruf=2019-11-12}}</ref>

Es existiert auch eine Variante des Tests für [[Exponentialverteilung|exponentialverteile]] Zufallsvariablen.<ref>{{Literatur |Autor=Hubert W. Lilliefors |Titel=On the Kolmogorov-Smirnov Test for the Exponential Distribution with Mean Unknown |Hrsg= |Sammelwerk=Journal of the American Statistical Association |Band=64 |Nummer=325 |Auflage= |Verlag= |Ort= |Datum=1969 |ISBN= |ISSN=0162-1459 |DOI=10.1080/01621459.1969.10500983 |Seiten=387–389 |Online=https://www.tandfonline.com/doi/abs/10.1080/01621459.1969.10500983 |Abruf=2019-11-12}}</ref>

== Testbeschreibung ==
Zur Durchführung des Lilliefors-Tests wird der Abstand bestimmt zwischen der Verteilung der Stichprobendaten und einer theoretischen Normalverteilung, für die der [[Erwartungswert]] und die [[Varianz (Stochastik)|Standardabweichung]] der Stichprobe angenommen werden. Je größer dieser Abstand ist, umso kleiner ist der [[p-Wert]]. Die [[Nullhypothese]] des Tests ist die Annahme, dass die Daten der zu untersuchenden Stichprobe normalverteilt vorliegen. Ein p-Wert kleiner als 0,05 als Testergebnis ist demzufolge als [[Statistische Signifikanz|statistisch signifikante]] Abweichung der [[Häufigkeitsverteilung]] der Stichprobe von der Normalverteilung zu interpretieren, während ein p-Wert größer als 0,05 nicht zwangsläufig das Vorliegen normalverteilter Daten bedeutet. Die Entscheidung darüber, ob die Daten einer Stichprobe normalverteilt sind, ist unter anderem wichtig für die Wahl der Testverfahren für weitere Analysen, da bestimmte Tests normalverteilte Stichproben voraussetzen und bei Abweichungen von der Normalverteilung [[Nichtparametrische Statistik|nichtparametrische Tests]] als Alternative einzusetzen sind.

1986 wurde eine korrigierte Tabelle der kritischen Werte des Tests veröffentlicht.<ref>{{Literatur |Autor=Gerard E. Dallal, Leland Wilkinson |Titel=An Analytic Approximation to the Distribution of Lilliefors's Test Statistic for Normality |Sammelwerk=[[The American Statistician]] |Band=40 |Nummer=4 |Datum=1986-11 |ISSN=0003-1305 |DOI=10.1080/00031305.1986.10475419 |Seiten=294–296 |Online=https://www.tandfonline.com/doi/abs/10.1080/00031305.1986.10475419 |Abruf=2019-11-12}}</ref>

== Alternative Verfahren ==
Alternativen zum Lilliefors-Test sind unter anderem der [[Shapiro-Wilk-Test]] und der [[Jarque-Bera-Test]] sowie die Anwendung des [[Anderson-Darling-Test]]s als Normalitätstest. Während der Lilliefors-Test für den Test auf Normalverteilung besser geeignet ist als der Kolmogorow-Smirnow-Test, gelten insbesondere der Anderson-Darling-Test und der Shapiro-Wilk-Test hinsichtlich ihrer [[Teststärke]] als dem Lilliefors-Test überlegen.

== Literatur ==
* Hubert Lilliefors: ''On the Kolmogorov-Smirnov Test for Normality with Mean and Variance Unknown.'' In: ''Journal of the American Statistical Association.'' 62/1967, S. 399–402, {{DOI|10.1080/01621459.1967.10482916}} {{JSTOR|2283970}}
* Michael A. Stephens: ''EDF Statistics for Goodness of Fit and Some Comparisons.'' In: ''Journal of the American Statistical Association.'' 69/1974, S. 730–737, {{DOI|10.1080/01621459.1974.10480196}} {{JSTOR|2286009}}
* ''Lilliefors Test.'' In: ''Encyclopedia of Statistical Sciences.'' John Wiley & Sons, 2006, ISBN 978-0-471-15044-2.

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Nichtparametrischer Test]]

Lilliefors-Test - Versionsgeschichte

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