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2019-02-15T21:05:32Z

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Die '''Lie-Theorie''' ist in der Mathematik eine Theorie, die sich mit dem Lösen von [[Differentialgleichung]]en beschäftigt. Sie wurde von [[Sophus Lie]] in den 1870er und den 1880er Jahren begründet. Die [[Lie-Gruppe]]n und die [[Lie-Algebra]] haben sich aus der Lie-Theorie heraus entwickelt, werden heute aber als eigenständige Forschungsgebiete betrachtet.

== Geschichtliche Entwicklung ==
Ausgangspunkt für Lies Arbeiten war die Theorie der [[gewöhnliche Differentialgleichung|gewöhnlichen Differentialgleichungen]]. Ähnlich dem Modell der [[Galoistheorie]] zur Lösung algebraischer Gleichungen hoffte Lie durch die Untersuchung von Symmetrieeigenschaften das Gebiet der gewöhnlichen Differentialgleichungen zu vereinigen.
So führte er stetige [[Transformationsgruppe]]n ein, welche heute den Namen [[Lie-Gruppe]] tragen. Elemente dieser Transformationsgruppe waren stetige, auch kontinuierlich genannte, Symmetrieoperationen, welche gewöhnliche Differentialgleichungen ineinander überführen und somit [[Äquivalenzklasse]]n von Differentialgleichungen bilden.
Solche stetigen Symmetrieoperationen sind zum Beispiel [[Parallelverschiebung|Verschiebungen]] und [[Drehung]]en um beliebige und in einem gewissen Sinne sogar „infinitesimale“ Beträge, im Unterschied zu diskreten Symmetrieoperationen wie zum Beispiel [[Spiegelung (Geometrie)|Spiegelungen]].
Um stetige Transformationsgruppen zu untersuchen und anzuwenden, [[Linearisierung|linearisierte]] er die Transformationen und untersuchte die [[Infinitesimaler Erzeuger |infinitesimalen Erzeugenden]]. Die [[Verknüpfung (Mathematik)|Verknüpfungseigenschaften]] der Lie-Gruppe können durch [[Kommutator (Mathematik)|Kommutatoren]] der Erzeugenden ausgedrückt werden; die Kommutator-Algebra der Erzeugenden heißt heute [[Lie-Algebra]].

== Literatur ==
* {{Literatur
| Autor=Fritz Schwarz
| Titel=Algorithmic Lie Theory for Solving Ordinary Differential Equations
| Auflage=
| Verlag=Chapman & Hall
| Ort=
| Jahr=2007
| ISBN=978-1584888895
}}
{{Normdaten|TYP=s|GND=4251836-2}}

[[Kategorie:Theorie der Differentialgleichungen]]
[[Kategorie:Teilgebiet der Mathematik]]
[[Kategorie:Theorie der Lie-Algebren]]
[[Kategorie:Theorie der Lie-Gruppen]]

Lie-Theorie - Versionsgeschichte

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