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2026-01-08T21:23:51Z

Einzelnachweise

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Die '''Lie-Klammer''' ist ein Objekt aus der [[Mathematik]], insbesondere aus dem Bereich der [[Algebra]] und der [[Differentialgeometrie]]. Die Lie-Klammer ist die multiplikative Verknüpfung in einer [[Lie-Algebra]], also eine Art Multiplikation auf einer Menge mit einer besonderen [[Algebraische Struktur|algebraischen Struktur]]. Beispiele für eine solche Verknüpfung sind die '''triviale Lie-Klammer''', der Matrix-Kommutator, das [[Kreuzprodukt]] oder die [[Poisson-Klammer]]. Benannt sind die Lie-Klammer und die Lie-Algebra nach dem Mathematiker [[Sophus Lie]].

== Definition ==
Sei <math>V</math> ein [[Vektorraum]] über dem Körper <math>K</math>. Eine [[Zweistellige Verknüpfung|innere Verknüpfung]]

:<math>[\cdot,\cdot]\colon V \times V \rightarrow V,\quad (x,y)\mapsto [x,y],</math>

heißt Lie-Klammer, falls sie die folgenden drei Eigenschaften besitzt:<ref name=Humphreys4>{{Literatur | Autor = James E. Humphreys | Titel = Introduction to Lie algebras and representation theory | Jahr = 1997 | Verlag = Springer | Ort = New York | ISBN = 3-540-90053-5 | Seiten = 4 }}</ref>
* Sie ist [[Bilineare Abbildung|bilinear]], das heißt [[Lineare Abbildung|linear]] in beiden Argumenten. Es gilt also
::<math>[a x + b y, z] = a [x, z] + b [y, z]</math>
:und
::<math>[z, a x + b y] = a [z, x] + b [z, y]</math>
:für alle <math>a, b\in K</math> und alle <math>x, y, z \in V</math>.
* Es gilt <math>[x, x] = 0</math> für alle <math>x\in V</math>.
* Sie genügt der [[Jacobi-Identität]], das heißt, es gilt
::<math> [x,[y,z]]+[y,[z,x]]+[z,[x,y]]=0</math>
:für alle <math>x,y,z\in V</math>.

Ein Vektorraum zusammen mit einer Lie-Klammer wird [[Lie-Algebra]] genannt.

== Eigenschaften ==
=== Antisymmetrie ===
Aus der ersten und der zweiten Eigenschaft der Definition folgt die [[Antisymmetrische Bilinearform|Antisymmetrie]] der Lie-Klammer, das heißt <math>[x, y] = -[y, x]</math> für alle <math>x, y \in V</math>. Hat der Körper <math>K</math> nicht die [[Charakteristik (Algebra)|Charakteristik]] <math>2</math>, so kann man aus der Antisymmetrie alleine wieder die Eigenschaft <math>[x, x] = 0</math> herleiten. Dazu setzt man <math>y=x</math>.<ref name=Humphreys4 />

=== Flexibilität ===
Lie-Klammern sind im Allgemeinen nicht [[Assoziative Algebra|assoziativ]], das heißt, der Term <math>[[x,y],z]</math> muss nicht gleich dem Term <math>[x,[y,z]]</math> sein. Jedoch erfüllt die Lie-Klammer das [[Flexibilitätsgesetz]], es gilt also <math>[[x,y],x] = [x,[y,x]]</math> für alle Elemente <math>x, y \in V</math>.

== Beispiele ==
=== Triviale Lie-Klammer ===
Ist <math>V</math> ein beliebiger Vektorraum und sind <math>a</math> und <math>b</math> zwei Elemente des Raums, dann kann durch
:<math>[a,b] := 0</math>
immer eine Lie-Klammer definiert werden. Vektorräume mit einer trivialen Lie-Klammer werden auch als [[Abelsche Lie-Algebra|abelsche Lie-Algebren]] bezeichnet.

=== Matrix-Kommutator ===
Seien <math>A</math>, <math>B</math> und <math>C</math> drei <math>n \times n</math>-Matrizen mit Einträgen in einem Körper <math>K</math> (zum Beispiel dem Körper <math>\R</math> der [[Reelle Zahl|reellen]] oder dem Körper <math>\Complex</math> der [[Komplexe Zahl|komplexen Zahlen]]). Der [[Kommutator (Mathematik)|Kommutator]] <math>[\cdot, \cdot ]</math> für [[quadratische Matrix|quadratische Matrizen]] ist definiert durch

:<math>[A,B] := A \cdot B - B \cdot A</math>,

wobei mit <math>\cdot</math> die [[Matrixmultiplikation]] bezeichnet wird. Für <math>\lambda , \mu \in K</math> gelten für den Kommutator die Rechenregeln
: <math>\begin{align} \left[\lambda A + \mu B,C \right] &= (\lambda A + \mu B) \cdot C - C \cdot (\lambda A + \mu B)\\
&= \lambda (A\cdot C - C\cdot A) + \mu (B\cdot C-C\cdot B)\\
&= \lambda[A,C] + \mu[B,C]\,,\end{align}</math>
: <math>[A,A] = A \cdot A - A \cdot A = 0 </math> und
: <math> \begin{align}
\left[A,[B,C]\right]+\left[B,[C,A]\right]+\left[C,[A,B]\right] =& [A, B\cdot C-C\cdot B] + [B,C\cdot A-A\cdot C] + [C,A\cdot B-B\cdot A]\\
=& A\cdot (B\cdot C - C\cdot B) - (B\cdot C-C\cdot B) \cdot A + B\cdot (C\cdot A - A\cdot C)\\
&- (C\cdot A - A\cdot C) \cdot B + C \cdot (A\cdot B-B\cdot A) - (A\cdot B-B\cdot A) \cdot C\\
=&0\,.
\end{align}</math>

Daher ist der Kommutator auf dem Raum der <math>n \times n</math>-Matrizen eine Lie-Klammer.

Als konkretes Beispiel werden nun noch die [[Pauli-Matrizen]]
:<math>
\sigma_1 =
\begin{pmatrix}
0 & 1\\
1 & 0
\end{pmatrix},\quad

\sigma_2 =
\begin{pmatrix}
0 & -\mathrm i\\
\mathrm i & 0
\end{pmatrix},\quad

\sigma_3 =
\begin{pmatrix}
1 & 0\\
0 & -1
\end{pmatrix}
</math>
über dem Körper <math>\Complex</math> der komplexen Zahlen betrachtet. Bildet man den Kommutator von <math>\sigma_1</math> und <math>\sigma_3</math>, so gilt

:<math>\begin{align}
\left[\sigma_1 , \sigma_3\right] &= \sigma_1 \cdot \sigma_3 - \sigma_3 \cdot \sigma_1\\
&= \begin{pmatrix}
0 & 1\\
1 & 0
\end{pmatrix}
\cdot
\begin{pmatrix}
1 & 0\\
0 & -1
\end{pmatrix}
-
\begin{pmatrix}
1 & 0\\
0 & -1
\end{pmatrix}
\cdot
\begin{pmatrix}
0 & 1\\
1 & 0
\end{pmatrix}
\\
&= \begin{pmatrix}
0 & -1\\
1 & 0
\end{pmatrix}
-
\begin{pmatrix}
0 & 1\\
-1 & 0
\end{pmatrix}
\\
&= -2 \mathrm i \begin{pmatrix}
0 & -\mathrm i\\
\mathrm i & 0
\end{pmatrix}\\
&= -2 \mathrm i \,\sigma_2\,.
\end{align}</math>

=== Kreuzprodukt ===
{{Hauptartikel|Kreuzprodukt}}

Für <math>a , b \in \R^3</math> ist das Kreuzprodukt

:<math>
a\times b
=
\begin{pmatrix}a_1 \\ a_2 \\ a_3\end{pmatrix}
\times
\begin{pmatrix}b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix}
:=
\begin{pmatrix}
a_2b_3 - a_3b_2 \\
a_3b_1 - a_1b_3 \\
a_1b_2 - a_2b_1
\end{pmatrix}
</math>
eine Lie-Klammer. Im Vergleich zu den Beispielen zuvor wird diese Multiplikation normalerweise nicht mit Klammern notiert. Die Bilinearität und die Identität <math>a \times a = 0</math> können direkt an der Definition abgelesen werden. Um die [[Jacobi-Identität]] zu erkennen, muss der Term

:<math>a \times \left(b \times c\right) + b \times \left( c \times a\right) +c\times \left(a \times b\right)</math>

komponentenweise ausgerechnet werden.

=== Lie-Klammer von Vektorfeldern ===
{{Hauptartikel|Lie-Ableitung}}

Seien <math>X</math> und <math>Y</math> zwei [[Vektorfeld]]er auf der <math>n</math>-dimensionalen [[Glatte Mannigfaltigkeit|glatten Mannigfaltigkeit]] <math>M</math>. Die Lie-Ableitung ist dann definiert durch

:<math>(\mathcal{L}_X Y) f = X(Y(f)) - Y (X (f))</math>.

Dieser Operator <math>(X,Y) \mapsto \mathcal{L}_X Y</math> erfüllt die definierenden Eigenschaften einer Lie-Klammer. Daher schreibt man auch <math>[X,Y] := \mathcal{L}_X Y</math>.<ref>R. Abraham, [[Jerrold Marsden|Jerrold E. Marsden]], T. Ratiu: ''Manifolds, tensor analysis, and applications'' (= ''Applied mathematical sciences'' 75). 2. Auflage. Springer, New York NY u. a. 1988, ISBN 0-387-96790-7, S. 278–279.</ref>

=== Jacobi-Klammer ===

Seien <math>A</math> ein [[kommutativer Ring]], <math>B</math> eine kommutative [[Algebra über einem kommutativen Ring|Algebra]] über <math>A</math> und <math>\delta_1, \delta_2 \in \operatorname{Der}(B)</math> zwei [[Derivation (Mathematik)|Derivationen]] von <math>B</math>. Dann ist die durch

:<math>[\delta_1, \delta_2] := \delta_1 \delta_2 - \delta_2 \delta_1</math>

definierte Operation eine Lie-Klammer auf dem Raum der Derivationen. Sie wird ''Jacobi-Klammer'' genannt. Da die Vektorfelder aus dem vorigen Beispiel spezielle Derivationen sind und ihre Lie-Klammer entsprechend definiert ist, ist Lie-Klammer von Vektorfeldern ein konkretes Beispiel für eine Jacobi-Klammer.<ref>{{Literatur | Autor = Günter Scheja, Uwe Storch | Titel = Lehrbuch der Algebra [Elektronische Ressource] | Jahr = 1988 | Verlag = Vieweg+Teubner Verlag | Ort = Wiesbaden | ISBN = 978-3-322-80092-3 | Seiten = 105–106 }}</ref>

=== Poisson-Klammer ===
{{Hauptartikel|Poisson-Klammer}}

Die Poisson-Klammer <math>\{\cdot , \cdot \}</math> ist eine zweistellige Operation, die auf der Algebra der [[Glatte Funktion|glatten Funktionen]] operiert. Sie erfüllt die definierenden Eigenschaften einer Lie-Klammer und darüber hinaus noch die Produktregel

:<math>\{fg,h\}=f\{g,h\} + \{f,h\}g</math>

für alle glatten Funktionen <math>f</math>, <math>g</math> und <math>h</math>. Oftmals werden Poisson-Klammern auf Funktionen angewandt, die von einer glatten Mannigfaltigkeit in die reellen Zahlen abbilden. Solche Mannigfaltigkeiten mit festgelegter Poisson-Klammer werden [[Poisson-Mannigfaltigkeit]]en genannt. Beispielsweise kann jede [[symplektische Mannigfaltigkeit]] auf natürliche Weise mit einer Poisson-Klammer versehen werden. In lokalen Koordinaten <math>(q_1, \ldots , q_n,p_1, \ldots , p_n)</math> hat die Poisson-Klammer die Darstellung

:<math>\{f,g\} = \sum_{i=1}^{n} \left(
\frac{\partial f}{\partial q_{i}} \frac{\partial g}{\partial p_{i}} - \frac{\partial f}{\partial p_{i}} \frac{\partial g}{\partial q_{i}}\right) </math>.

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Theorie der Lie-Algebren]]
{{SORTIERUNG:Lieklammer}}

Lie-Klammer - Versionsgeschichte

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