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2026-02-15T09:08:07Z

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Eine '''Lie-Gruppe''' (auch '''Lie’sche Gruppe'''), benannt nach [[Sophus Lie]],<ref>Zuerst von dessen Doktoranden [[Arthur Tresse]] in seiner Dissertation 1893, ''Acta Mathematica''</ref> ist eine [[mathematische Struktur]]. Formal handelt es sich bei einer Lie-Gruppe um eine [[Gruppe (Mathematik)|Gruppe]], die auch eine [[differenzierbare Mannigfaltigkeit]] ist, sodass die Gruppenverknüpfung und Inversenbildung kompatibel mit der glatten Struktur sind, das bedeutet,
:<math>(g,b)\mapsto gb\;</math> und <math>\; g\mapsto g^{-1}</math>
sind [[glatte Funktion]]en.

Lie-Gruppen werden zur Beschreibung von kontinuierlichen Symmetrien verwendet.<ref>Grob gesprochen ist eine Lie-Gruppe eine [[Gruppe (Mathematik)|Gruppe]], die ein [[Kontinuum (Mathematik)|Kontinuum]] bzw. ein stetig zusammenhängendes Ganzes bildet. Ein einfaches Beispiel für eine Lie-Gruppe ist die Gesamtheit aller Drehungen einer Ebene um einen fest ausgezeichneten Punkt, der in dieser Ebene liegt: Alle diese Drehungen bilden zusammen eine Gruppe, aber auch ein Kontinuum in dem Sinne, dass sich jede dieser Drehungen eindeutig durch einen Winkel zwischen 0° und 360° [[Grad (Winkel)|Grad]] bzw. ein [[Bogenmaß]] zwischen 0 und 2[[Kreiszahl|π]] beschreiben lässt, und in dem Sinne, dass Drehungen, die sich nur um kleine Winkel voneinander unterscheiden, kontinuierlich ineinander überführbar sind. Ein Kreis, der in der betrachteten Ebene liegt und den fest ausgezeichneten Punkt als seinen Mittelpunkt besitzt, ist dann aus Sicht dieser Lie-Gruppe als symmetrisch zu bezeichnen, da er unter jeder Drehung unverändert bleibt. Hingegen ist ein Rechteck, dessen Mittelpunkt mit dem festgelegten Punkt übereinstimmt, aus Sicht der vorliegenden Lie-Gruppe nicht symmetrisch. Mit der angegebenen Lie-Gruppe lassen sich also Figuren der Ebene beschreiben, die eine „Drehsymmetrie“ aufweisen.</ref>

Lie-Gruppen und [[Lie-Algebra|Lie-Algebren]] wurden um 1870 von Sophus Lie in der [[Lie-Theorie]] zur Untersuchung von Symmetrien in [[Differentialgleichung]]en eingeführt. Unabhängig von Lie entwickelte [[Wilhelm Killing]] ähnliche Ideen zum Studium [[Nichteuklidische Geometrie|nichteuklidischer Geometrien]]. Die älteren Bezeichnungen ''stetige Gruppe'' oder ''kontinuierliche Gruppe'' für eine Lie-Gruppe beschreiben besser das, was man heute unter einer [[Topologische Gruppe|topologischen Gruppe]] versteht. Jede Lie-Gruppe ist auch eine topologische Gruppe.

Dieser Artikel behandelt (der üblichen Terminologie folgend) endlichdimensionale Lie-Gruppen. Es gibt auch eine Theorie unendlichdimensionaler Lie-Gruppen, beispielsweise [[Banach-Lie-Gruppe]]n.

Lie-Gruppen sind in fast allen Teilen der heutigen Mathematik sowie in der [[Theoretische Physik|theoretischen Physik]], vor allem der [[Teilchenphysik]], wichtige Werkzeuge.

== Erste Beispiele ==
[[Datei:Circle as Lie group.svg|mini|Der [[Kreis]] mit Mittelpunkt 0 und Radius 1 in der [[Komplexe Zahlen#Komplexe Zahlenbene|komplexen Zahlenebene]] ist eine Lie-Gruppe mit komplexer Multiplikation.]]

Die Menge <math>\Complex^* = \Complex \setminus \{0\}</math> der [[Komplexe Zahl|komplexen Zahlen]] ungleich 0 bildet mit der gewöhnlichen Multiplikation eine Gruppe <math>(\Complex^*, \cdot)</math>. Die Multiplikation ist eine [[Differenzierbarkeit|differenzierbare]] Abbildung <math>m\colon \Complex^*\times \Complex^*\to \Complex^*</math> definiert durch <math>m(x,y)=xy</math>. Auch die durch <math>i(z)=z^{-1}=\tfrac{1}{z}</math> definierte Inversion <math>i\colon\Complex^*\to \Complex^*</math> ist differenzierbar. Die Gruppenstruktur der komplexen Ebene (bzgl. Multiplikation) ist also „mit der Differentialrechnung verträglich“. Dasselbe würde auch für die Gruppe <math>(\Complex, +)</math> mit der Addition als Verknüpfung gelten: Dort ist <math>m(x,y)=x+y</math> und <math>i(x)=-x</math>.

Der [[Einheitskreis]] in der komplexen Zahlenebene, d. h. die Menge <math>S^1=\left\{z\in \Complex : |z| =1\right\}</math> der komplexen Zahlen vom [[Betragsfunktion|Betrag]] 1, ist eine [[Untergruppe]] von <math>(\Complex^*,\cdot)</math>, die sogenannte [[Kreisgruppe]]: Das Produkt zweier Zahlen vom Betrag 1 hat wieder Betrag 1, ebenso das Inverse. Auch hier hat man eine „mit der Differentialrechnung verträgliche Gruppenstruktur“, d. h. eine Lie-Gruppe.

Andererseits bildet die Menge
: <math>\operatorname{SO}(2)=\left\{\begin{bmatrix}
\cos\phi & \sin\phi \\
-\sin\phi & \cos\phi \\
\end{bmatrix}:\phi\in \R\right\}</math>
der [[Drehmatrix|Drehmatrizen]] (Drehungen im <math>\R^2</math>) eine Gruppe; die Multiplikation ist definiert durch
:<math>\begin{bmatrix}
\cos\phi & \sin\phi \\
-\sin\phi & \cos\phi \\
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
\cos\psi & \sin\psi \\
-\sin\psi & \cos\psi \\
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
\cos(\phi+\psi) & \sin(\phi+\psi) \\
-\sin(\phi+\psi) & \cos(\phi+\psi) \\
\end{bmatrix}</math>
und die Inversion durch
:<math>\begin{bmatrix}
\cos\phi & \sin\phi \\
-\sin\phi & \cos\phi \\
\end{bmatrix}^{-1}=\begin{bmatrix}
\cos(-\phi) & \sin(-\phi) \\
-\sin(-\phi) & \cos(-\phi) \\
\end{bmatrix}</math>.

Wenn man die Menge der <math>2\times 2</math>-Matrizen auf naheliegende Weise mit dem <math>\R^4</math> identifiziert, dann ist <math>\operatorname{SO}(2)</math> eine differenzierbare [[Untermannigfaltigkeit]] und man kann überprüfen, dass Multiplikation und Inversion differenzierbar sind, <math>\operatorname{SO}(2)</math> ist also eine Lie-Gruppe.

Es stellt sich heraus, dass es sich bei <math>\operatorname{SO}(2)</math> und <math>S^1</math> um „dieselbe“ Lie-Gruppe handelt, d. h., dass die beiden Lie-Gruppen [[isomorph]] sind. Man kann nämlich eine Abbildung <math>F\colon \operatorname{SO}(2)\rightarrow S^1</math> definieren, indem man <math>\left[\begin{smallmatrix}
\cos\phi & \sin\phi \\
-\sin\phi & \cos\phi \\
\end{smallmatrix}\right]</math> auf die komplexe Zahl <math>\cos\phi +i \sin\phi</math> abbildet, welche auf dem Einheitskreis liegt. Dies ist ein [[Gruppenhomomorphismus|Gruppen-Homomorphismus]], denn
: <math>F\left(\begin{bmatrix}
\cos\phi & \sin\phi \\
-\sin\phi & \cos\phi \\
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
\cos\psi & \sin\psi \\
-\sin\psi & \cos\psi \\
\end{bmatrix}\right)=F\left(\begin{bmatrix}
\cos(\phi+\psi) & \sin(\phi+\psi) \\
-\sin(\phi+\psi) & \cos(\phi+\psi) \\
\end{bmatrix}\right)=</math>
: <math>=\cos(\phi+\psi) + i \sin(\phi+\psi)=\cos\phi \cos\psi-\sin\phi \sin\psi +i(\sin\phi \cos\psi+\sin\psi \cos\phi)=</math>
: <math>=(\cos\phi+i \sin\phi)(\cos\psi +i \sin\psi)=
F\left(\begin{bmatrix}
\cos\phi & \sin\phi \\
-\sin\phi & \cos\phi \\
\end{bmatrix}\right)F\left(\begin{bmatrix}
\cos\psi & \sin\psi \\
-\sin\psi & \cos\psi \\
\end{bmatrix}\right)\,.</math>
Man kann nachprüfen, dass dieser Gruppen-Homomorphismus und seine Umkehrabbildung differenzierbar sind. <math>F</math> ist also ein Lie-Gruppen-Isomorphismus. Aus Sicht der Lie-Gruppen-Theorie sind die Gruppe der Drehmatrizen und der Einheitskreis dieselbe Gruppe.

Eine wichtige Motivation der Lie-Gruppen-Theorie besteht darin, dass man für Lie-Gruppen eine Lie-Algebra definieren kann und sich viele gruppentheoretische oder auch differentialgeometrische Probleme auf das entsprechende Problem in der Lie-Algebra zurückführen und dort lösen lassen („[[lineare Algebra]] ist einfacher als [[Gruppentheorie]]“). Zur Definition der Lie-Algebra benötigt man die Differenzierbarkeit und die Verträglichkeit der Gruppenoperationen mit dieser.

Für die <math>S^1</math> ist die Lie-Algebra die imaginäre Achse <math>i\R</math> mit der [[Triviale Lie-Klammer|trivialen Lie-Klammer]]. Die Trivialität der Lie-Klammer rührt in diesem Fall daher, dass <math>S^1</math> eine [[Abelsche Gruppe|abelsche]] Lie-Gruppe ist. Die Lie-Algebra der <math>\operatorname{SO}(2)</math> ist
: <math>\mathrm{SO}(2)=\left\{\begin{bmatrix}
0 & \phi \\
-\phi & 0 \\
\end{bmatrix}:\phi\in \R\right\}</math>
mit der trivialen Lie-Klammer und man sieht leicht, dass diese beiden Lie-Algebren isomorph sind. (Allgemein entsprechen isomorphen Lie-Gruppen stets isomorphe Lie-Algebren.)

== Definitionen ==
=== Lie-Gruppe ===
Eine ''Lie-Gruppe'' ist eine [[Glatte Mannigfaltigkeit|glatte reelle Mannigfaltigkeit]], die zusätzlich die Struktur einer [[Gruppe (Mathematik)|Gruppe]] besitzt, so dass die Gruppenverknüpfung
:<math>(a,b)\mapsto ab</math>
und die Inversion
:<math>a\mapsto a^{-1}</math>
beliebig oft [[Differenzierbarkeit|differenzierbar]] sind. Die Dimension der Lie-Gruppe ist die [[Dimension (Mathematik)#Dimension einer Mannigfaltigkeit|Dimension]] der unterliegenden Mannigfaltigkeit. Die unterliegende Mannigfaltigkeit einer Lie-Gruppe trägt sogar eine reell-analytische Struktur und die Gruppenmultiplikation und Inversion sind automatisch (reell-)[[analytische Funktion]]en.

Eine ''komplexe Lie-Gruppe'' ist eine [[komplexe Mannigfaltigkeit]] mit einer Gruppenstruktur, so dass die Gruppenverknüpfung und die Inversion [[Komplexe Mannigfaltigkeit|komplex differenzierbar]] sind.

=== Lie-Algebra der Lie-Gruppe ===
Zu jeder Lie-Gruppe <math>G</math> können wir eine Lie-Algebra assoziieren, diese besteht aus einem Vektorraum <math>\mathfrak{g}</math> zusammen mit den Lie-Klammern <math>[\cdot,\cdot]:\mathfrak{g}\times \mathfrak{g}\to \mathfrak{g}</math>. Als Vektorraum nehmen wir hierfür den [[Tangentialraum]] <math>\mathfrak{g}:=T_eG</math> der Lie-Gruppe im neutralen Element <math>e</math>. Um die Lie-Klammern zu definieren, brauchen wir zuerst die <math>\operatorname{ad}</math>-Operation.

==== Adjungierte Darstellung und Herleitung der Lie-Klammern ====
{{Hauptartikel|Adjungierte Darstellung}}
Betrachte die Konjugation:
:<math>c_g \colon G\to G,\quad h\mapsto ghg^{-1},\quad \forall h\in G,</math>
und die Gruppenaktion der Lie-Gruppe auf sich selber:
:<math>C \colon G\to Aut(G),\quad g\mapsto c_g.</math>

Sei nun <math>D_e</math> der [[Differentialoperator]] an der Stelle <math>e</math>. Die <math>\operatorname{Ad}_g</math>-Operation ist nun definiert als die Ableitung von <math>c_g</math> an der Stelle <math>e</math>:
:<math>\operatorname{Ad}_g \colon T_eG\to T_{c_g(e)}G,\quad x\mapsto \operatorname{Ad}_g(x):=(D_ec_g)(x),\quad x\in T_eG</math>
Da das neutrale Element invariant unter <math>c_g</math> ist, das bedeutet <math>c_g(e)=e</math>, ist <math>\operatorname{Ad}_g</math> eine Operation des Tangentialraumes <math>\mathfrak{g}=T_eG</math> des neutralen Elementes in sich selber:
:<math>\operatorname{Ad}_g \colon \mathfrak{g}\to \mathfrak{g}.</math>
Folglich erhalten wir die Darstellung <math>\operatorname{Ad}</math> definiert durch
:<math>\operatorname{Ad} \colon G\to GL(\mathfrak{g}),\quad g\mapsto \operatorname{Ad}_g,\qquad \forall g\in G.</math>

Nun definieren wir die Ableitung von <math>\operatorname{Ad}</math>:
:<math>\operatorname{ad} \colon \mathfrak{g}\to \mathfrak{gl}(\mathfrak g),\quad x\mapsto D_e\operatorname{Ad}_x.</math>

Die Lie-Klammern sind dann definiert durch
:<math>[X,Y]:=\operatorname{ad}_X(Y),\quad X,Y\in \mathfrak g.</math>

==== Weiteres ====
Die [[Vektorfeld]]er auf einer glatten Mannigfaltigkeit <math>M</math> bilden mit der [[Lie-Algebra#Glatte Vektorfelder|Lie-Klammer]] eine unendlich-dimensionale [[Lie-Algebra]].
Die zu einer Lie-Gruppe <math>G</math> gehörende Lie-Algebra <math>\mathfrak{g}</math> besteht aus dem Unterraum der [[Translationsinvarianz|links-invarianten]] Vektorfelder auf <math>G</math>. Dieser Vektorraum ist isomorph zum [[Tangentialraum]] <math>T_eG</math> am neutralen Element <math>e</math> von <math>G</math>. Insbesondere gilt also <math>\dim G = \dim\mathfrak{g}</math>. Bezüglich der Lie-Klammer <math>[\cdot,\cdot]</math> ist der Vektorraum <math>\mathfrak{g}</math> abgeschlossen. Somit ist der Tangentialraum einer Lie-Gruppe <math>G</math> am neutralen Element eine Lie-Algebra. Diese Lie-Algebra nennt man die Lie-Algebra der Lie-Gruppe <math>G</math>.

Zu jeder Lie-Gruppe <math>G</math> mit Lie-Algebra <math>\mathfrak{g}</math> gibt es eine Exponentialabbildung <math>\exp\colon \mathfrak{g}\rightarrow G</math>. Diese Exponentialabbildung kann man definieren durch <math>\exp(A)=\Phi_1(e)</math>, wobei <math>\Phi_t</math> der [[Fluss (Physik)|Fluss]] des links-invarianten Vektorfelds <math>A</math> und <math>e\in G</math> das neutrale Element ist. Falls <math>G</math> eine abgeschlossene Untergruppe der <math>\mathrm{GL}(n,\R)</math> oder <math>\mathrm{GL}(n,\mathbb{C})</math> ist, so ist die so definierte Exponentialabbildung identisch mit der [[Exponentialfunktion#Exponentialfunktion auf beliebigen Banachalgebren|Matrixexponentialfunktion]].

Jedes [[Skalarprodukt#In allgemeinen reellen und komplexen Vektorräumen|Skalarprodukt]] auf <math>T_eG=\mathfrak{g}</math> definiert eine <math>G</math>-links-invariante [[Riemannsche Metrik]] auf <math>G</math>. Im Spezialfall, dass diese Metrik zusätzlich auch rechtsinvariant ist, stimmt die [[Exponentialabbildung]] der Riemannschen Mannigfaltigkeit <math>G</math> am Punkt <math>e</math> mit der Lie-Gruppen-Exponentialabbildung überein.

Den Zusammenhang zwischen der Multiplikation in der Lie-Gruppe und der Lie-Klammer in ihrer Lie-Algebra stellt die [[Baker-Campbell-Hausdorff-Formel]] her:
: <math>\exp(u) \exp(v) = \exp\left(u + v + \frac{1}{2} [u, v] + \frac{1}{12} [[u,v],v] - \frac{1}{12} [[u,v],u] - \dotsb \right)</math>

=== Lie-Gruppen-Homomorphismus ===
Ein Homomorphismus von Lie-Gruppen <math>G, H</math> ist ein [[Gruppenhomomorphismus]] <math>f\colon G \to H</math>, der zugleich eine [[glatte Abbildung]] ist. Man kann zeigen, dass dies bereits dann der Fall ist, wenn <math>f</math> [[Stetige Funktion|stetig]] ist, und dass <math>f</math> dann sogar [[Analytische Funktion|analytisch]] sein muss.

Zu jedem Lie-Gruppen-Homomorphismus <math>f\colon G \to H</math> bekommt man durch Differentiation im neutralen Element <math>e\in G</math> einen Lie-Algebren-Homomorphismus <math>\pi\colon\mathfrak{g}\to\mathfrak{h}</math>. Es gilt
: <math>f(\exp(X))=\exp(\pi(X))</math>
für alle <math>X\in\mathfrak{g}</math>.
Falls <math>G</math> und <math>H</math> [[Fundamentalgruppe|einfach zusammenhängend]] sind, entspricht jeder Lie-Algebren-Homomorphismus eindeutig einem Lie-Gruppen-Homomorphismus.

Ein [[Isomorphismus]] von Lie-Gruppen ist ein bijektiver Lie-Gruppen-Homomorphismus.

=== {{Anker|Lie-Untergruppe}} Lie-Untergruppe ===
Sei <math>G</math> eine Lie-Gruppe. Eine Lie-Untergruppe <math>H</math> ist eine [[Untergruppe]] von <math>G</math> zusammen mit einer Topologie und einer glatten Struktur, die diese Untergruppe wieder zu einer Lie-Gruppe macht.

Lie-Untergruppen sind also im Allgemeinen keine [[Untermannigfaltigkeit|eingebetteten Untermannigfaltigkeiten]], sondern nur [[Injektive Funktion|injektiv]] [[Immersierte Mannigfaltigkeit|immersierte Untermannigfaltigkeiten]]. Ist jedoch <math>H \subset G</math> eine [[Einbettung (Mathematik)|eingebettete]] [[Topologische Gruppe|topologische Untergruppe]] mit der Struktur einer eingebetteten Untermannigfaltigkeit, dann ist <math>H</math> auch eine Lie-Gruppe.

== Beispiele ==
# Typische Beispiele sind die [[allgemeine lineare Gruppe]] <math>\operatorname{GL}(n,\R)=\left\{A\in \mathrm{Mat}_n(\R): \det(A)\not=0\right\}</math>, also die Gruppe der invertierbaren Matrizen mit der [[Matrizenmultiplikation]] als Verknüpfung, sowie deren [[Abgeschlossene Menge|abgeschlossene]] Untergruppen, zum Beispiel die [[Kreisgruppe]] oder die Gruppe [[SO(3)]] aller Drehungen im dreidimensionalen Raum. Weitere Beispiele für Untergruppen der allgemeinen linearen Gruppe sind die
#* [[Orthogonale Gruppe]] <math>\mathrm{O}(n)=\{A\in \mathrm{GL}(n,\R): AA^T=I_n\}</math> und die spezielle orthogonale Gruppe <math>\mathrm{SO}(n)=\left\{A\in \mathrm{O}(n): \det(A)=1\right\}</math>, siehe dazu die [[Orthogonale Gruppe#Die Orthogonale Gruppe als Lie-Gruppe|Behandlung als Lie-Gruppe]]
#* [[Allgemeine komplex-lineare Gruppe]] <math>\mathrm{GL}(n,\Complex)</math>, die zur abgeschlossenen Untergruppe <math> \left\{A\in \mathrm{GL}(2n,\R): AJ=JA\right\}</math> mit <math>J =
\left[\begin{smallmatrix}
0 & I_n \\
-I_n & 0 \\
\end{smallmatrix}\right]</math> isomorph ist
#* [[Unitäre Gruppe]] <math>\mathrm{U}(n)=\{A\in \mathrm{GL}(n,\Complex): A\overline{A}^T=I_n\}</math>
#* [[Spezielle unitäre Gruppe]] <math>\mathrm{SU}(n)=\{A\in \mathrm{U}(n): \det(A)=1\}</math>
#* [[Spezielle lineare Gruppe]] <math>\mathrm{SL}(n,\R)=\left\{A\in \mathrm{GL}(n,\R): \det(A)=1\right\}</math> bzw. <math>\mathrm{SL}(n,\Complex)=\left\{A\in \mathrm{GL}(n,\Complex): \det(A)=1\right\}</math>
# Die [[Affine Gruppe]] <math>\mathrm{AGL}_n(\R)</math> und als Untergruppe die [[Euklidische Gruppe]]
# [[Poincaré-Gruppe]]
# [[Galilei-Gruppe]]
# Der Euklidische Raum <math>\R^n</math> mit der Vektoraddition als Gruppenoperation ist eine einigermaßen [[Trivial#Mathematik|triviale]] reelle Lie-Gruppe (<math>\R^n</math> als <math>n</math>-dimensionale Mannigfaltigkeit im <math>\R^n</math>).

Für abgeschlossene Untergruppen <math>G\subseteq \mathrm{GL}(n,\R)</math> kann man die Lie-Algebra definieren als <math>\mathfrak{g}= \{A\in \mathrm{Mat}_n(\R): \forall t\in \R\, e^{tA}\in G\}</math> und dies ist äquivalent zu obiger Definition. Hierbei bezeichnet <math>e^{tA}</math> das [[Matrixexponential]]. In diesem Fall stimmt die [[Exponentialabbildung]] <math>\exp\colon \mathfrak{g}\rightarrow G</math> mit dem Matrixexponential überein.

Nicht jede Lie-Gruppe ist isomorph zu einer Untergruppe einer allgemeinen linearen Gruppe. Ein Beispiel hierfür ist die [[Überlagerung (Topologie)#Universelle Überlagerung|universelle Überlagerung]] von [[SL(2,R)]].

== Frühgeschichte ==
Gemäß den maßgebenden Quellen über die Frühgeschichte der Lie-Gruppen<ref name="hawkins-p1">Hawkins, 2000, S. 1</ref> betrachtete Sophus Lie selbst den Winter 1873–1874 als Geburtsdatum seiner [[Lie-Theorie|Theorie der stetigen Gruppen]].
Hawkins schlägt jedoch vor, dass es „Lies erstaunliche Forschungsaktivität während der vierjährigen Periode von Herbst 1869 bis Herbst 1873“ war, die zur Schaffung jener Theorie führte.<ref name="hawkins-p1" /> Viele von Lies frühen Ideen wurden in enger Zusammenarbeit mit [[Felix Klein (Mathematiker)|Felix Klein]] entwickelt. Lie sah Klein von Oktober 1869 bis 1872 täglich: in Berlin von Ende Oktober 1869 bis Ende Februar 1870 und in Paris, Göttingen und Erlangen in den folgenden zwei Jahren.<ref name="hawkins-p2">Hawkins, 2000, S. 2</ref> Lie gibt an, dass alle Hauptresultate im Jahr 1884 erzielt worden seien. Jedoch wurden während der 1870er alle seine Abhandlungen (bis auf die allererste Mitteilung) in norwegischen Fachzeitschriften veröffentlicht, was eine Wahrnehmung im Rest Europas verhinderte.<ref name="hawkins-p76">Hawkins, 2000, S. 76</ref>
Im Jahr 1884 arbeitete der junge deutsche Mathematiker [[Friedrich Engel (Mathematiker)|Friedrich Engel]] zusammen mit Lie an einer systematischen Abhandlung über dessen Theorie der stetigen Gruppen. Aus diesen Bemühungen ging das dreibändige Werk ''Theorie der Transformationsgruppen'' hervor, dessen Bände in den Jahren 1888, 1890 und 1893 veröffentlicht wurden.

[[Hilbertsche Probleme#Hilberts fünftes Problem|Hilberts fünftes Problem]] fragte, ob jede lokal euklidische topologische Gruppe eine Lie-Gruppe sei. („Lokal euklidisch“ meint, dass die Gruppe eine Mannigfaltigkeit sein soll. Es gibt topologische Gruppen, die keine Mannigfaltigkeiten sind, zum Beispiel die [[Cantor-Gruppe]] oder [[Solenoid (Mathematik)|Solenoide]].) Das Problem wurde erst 1952 von Gleason, Montgomery und Zippin gelöst, mit einer positiven Antwort. Der Beweis hängt eng mit der Strukturtheorie der [[Lokalkompakte Gruppe|lokalkompakten Gruppen]] zusammen, welche eine weite Verallgemeinerung der Lie-Gruppen bilden.

Lies Ideen waren nicht isoliert vom Rest der Mathematik. In der Tat war sein Interesse an der Geometrie von Differentialgleichungen zunächst motiviert durch die Arbeit von [[Carl Gustav Jacobi]] über die Theorie der [[Partielle Differentialgleichung|partiellen Differentialgleichungen]] erster Ordnung und die Gleichungen der [[Klassische Mechanik|klassischen Mechanik]]. Ein Großteil der Arbeiten Jacobis wurde in den 1860ern postum veröffentlicht, was in Frankreich und Deutschland ein enormes Interesse erzeugte.<ref name="hawkins-p43">Hawkins, 2000, S. 43</ref> Lies ''idée fixe'' war es eine Theorie der Symmetrie von Differentialgleichungen zu entwickeln, die für diese bewerkstelligen sollte, was [[Évariste Galois]] für algebraische Gleichungen erreicht hatte: nämlich sie mit Hilfe der Gruppentheorie zu klassifizieren. Zusätzlicher Antrieb zur Betrachtung stetiger Gruppen entstand durch Ideen [[Bernhard Riemann]]s zu den Grundlagen der Geometrie und deren Entwicklung durch Klein (s. auch [[Erlanger Programm]]).

Somit wurden drei Hauptthemen der Mathematik des 19. Jahrhunderts durch Lie in der Schaffung seiner neuen Theorie vereint:
* die Idee der Symmetrie, wie sie durch Galois’ Idee einer [[Gruppe (Mathematik)|Gruppe]] erklärt wird,
* die geometrische Theorie und explizite Lösung der [[Differentialgleichung]]en der Mechanik, wie sie von [[Siméon Denis Poisson|Poisson]] und Jacobi ausgearbeitet wurde, und
* das neue Verständnis der [[Geometrie]], das durch die Arbeiten [[Julius Plücker|Plückers]], [[August Ferdinand Möbius|Möbius’]], [[Hermann Graßmann|Graßmanns]] und anderer entstanden war und das seinen Höhepunkt in Riemanns revolutionärer Vision dieses Gegenstandes erreichte.

Auch wenn Sophus Lie heute rechtmäßig als der Schöpfer der Theorie der stetigen Gruppen betrachtet wird, wurde ein großer Fortschritt in der Entwicklung der zugehörigen Strukturtheorie, die einen tiefgehenden Einfluss auf die nachfolgende Entwicklung der Mathematik hatte, durch [[Wilhelm Killing]] erbracht, der 1888 den ersten Artikel einer Serie mit dem Titel ''Die Zusammensetzung der stetigen endlichen Transformationsgruppen'' veröffentlichte.<ref name="hawkins-p100">Hawkins, 2000, S. 100</ref>

Die Arbeit Killings, die später durch [[Élie Cartan]] verfeinert wurde, führte zur Klassifikation der [[Halbeinfache Lie-Algebra|halbeinfachen Lie-Algebren]], Cartans Theorie der [[Symmetrischer Raum|symmetrischen Räume]] und [[Hermann Weyl]]s Beschreibung der [[Gruppendarstellung|Darstellungen]] der kompakten und [[Halbeinfache Lie-Gruppe|halbeinfachen Lie-Gruppen]] durch Gewichte.

Weyl brachte die frühe Periode in der Entwicklung der Theorie der Lie-Gruppen zur Reife, indem er nicht nur die irreduziblen Darstellungen halbeinfacher Lie-Gruppen klassifizierte und die Theorie der Gruppen mit der neu entstandenen Quantenmechanik in Verbindung brachte, sondern indem er auch Lies Theorie ein solideres Fundament dadurch verlieh, dass er klar zwischen Lies ''infinitesimalen Gruppen'' (den heutigen Lie-Algebren) und den eigentlichen Lie-Gruppen unterschied und die Untersuchung der Topologie der Lie-Gruppen begann.<ref>Borel, 2001</ref> Die Theorie der Lie-Gruppen wurde systematisch in zeitgemäßer mathematischer Sprache in einer Monographie von [[Claude Chevalley]] ausgearbeitet.

== Differentialgeometrie von Lie-Gruppen ==
Sei <math>G</math> eine kompakte Lie-Gruppe mit [[Killingform]] <math>B</math> und [[Adjungierte Darstellung|adjungierter Darstellung]] <math>Ad</math>. Dann definiert <math>-B</math> ein <math>Ad</math>-invariantes Skalarprodukt auf der Lie-Algebra <math>\mathfrak g</math> und damit eine bi-invariante Riemannsche Metrik auf <math>G</math>. Für diese Metrik gelten folgende Formeln, die differentialgeometrische Größen mittels linearer Algebra (Berechnung von Kommutatoren in <math>\mathfrak g</math>) zu bestimmen erlauben:
* [[Zusammenhang (Differentialgeometrie)|Levi-Civita-Zusammenhang]]: <math>\nabla_XY=\frac{1}{2}\left[X,Y\right]</math>
* [[Schnittkrümmung]]: <math>K(X,Y)=\frac{1}{4}\|\left[X,Y\right]\|^2</math> für orthonormale <math>X,Y</math>
* [[Ricci-Krümmung]]: <math>Ric(X)=\frac{1}{4}\sum_{i=2}^n\|\left[X,e_i\right]\|^2</math> für eine Orthonormalbasis mit <math>X=e_1</math>
* [[Skalarkrümmung]]: <math>Scal=\frac{1}{4}\sum_{i,j=1}^n\| \left[e_i,e_j\right]\|^2</math> für eine Orthonormalbasis.
Insbesondere ist die Schnittkrümmung bi-invarianter Metriken auf kompakten Lie-Gruppen stets nichtnegativ.

== Klassifikationsmöglichkeiten ==
Jede Lie-Gruppe ist eine [[topologische Gruppe]]. Somit besitzt eine Lie-Gruppe auch eine [[Topologie (Mathematik)|topologische]] Struktur und kann nach topologischen Attributen klassifiziert werden: Lie-Gruppen können beispielsweise zusammenhängend, einfach-zusammenhängend oder kompakt sein.

Man kann Lie-Gruppen auch nach ihren [[Algebra|algebraischen]], [[Gruppentheorie|gruppentheoretischen]] Eigenschaften klassifizieren. Lie-Gruppen können [[Einfache Gruppe (Mathematik)|einfach]], [[Halbeinfache Gruppe|halbeinfach]], auflösbar, [[Nilpotente Gruppe|nilpotent]] oder [[Abelsche Gruppe|abelsch]] sein. Dabei ist zu beachten, dass gewisse Eigenschaften in der Theorie der Lie-Gruppen anders definiert werden als sonst in der Gruppentheorie üblich: So nennt man eine zusammenhängende Lie-Gruppe ''einfach'' oder ''halbeinfach'', wenn ihre Lie-Algebra [[Lie-Algebra#Einfache Lie-Algebra|einfach]] oder [[Halbeinfache Lie-Algebra|halbeinfach]] ist. Eine einfache Lie-Gruppe G ist dann im gruppentheoretischen Sinne nicht notwendigerweise einfach. Es gilt aber:

Ist ''G'' eine einfache Lie-Gruppe mit [[Zentrum (Algebra)|Zentrum]] ''Z'', dann ist die [[Faktorgruppe]] ''G''/''Z'' auch einfach im gruppentheoretischen Sinne.

Auch die Eigenschaften [[Lie-Algebra#Nilpotente Lie-Algebra|''nilpotent'']] und [[Lie-Algebra#Auflösbare Lie-Algebra|''auflösbar'']] definiert man meist über die entsprechende [[Lie-Algebra]].

Halbeinfache komplexe Lie-Algebren werden über ihre [[Dynkin-Diagramm]]e klassifiziert. Weil jede Lie-Algebra die Lie-Algebra einer eindeutigen einfach zusammenhängenden Lie-Gruppe ist, bekommt man daraus eine Klassifikation der einfach zusammenhängenden halbeinfachen komplexen Lie-Gruppen (und damit also eine Klassifikation der universellen Überlagerungen von Komplexifierungen beliebiger halbeinfacher reeller Lie-Gruppen).

== Verallgemeinerungen (und verwandte Theorien) ==
Man kann die hier vorgestellte Theorie der (endlich-dimensionalen, reellen oder komplexen) Lie-Gruppen auf vielfältige Weise verallgemeinern:
* Wenn man statt endlichdimensionaler Mannigfaltigkeiten unendlichdimensionale Mannigfaltigkeiten zulässt, die über einem [[Hilbertraum]], einem [[Banachraum]], einem [[Fréchetraum]] bzw. einem [[lokalkonvexer Raum|lokalkonvexen Raum]] modelliert sind, so erhält man je nachdem Hilbert-Lie-Gruppen, Banach-Lie-Gruppen, Frechet-Lie-Gruppen bzw. lokalkonvexe Lie-Gruppen. Die Theorien von Hilbert-Lie-Gruppen und Banach-Lie-Gruppen sind noch vergleichsweise ähnlich zur endlichdimensionalen Theorie, aber für allgemeinere Räume wird die Sache deutlich komplizierter, da die Differentialrechnung in solchen Räumen komplizierter wird. Insbesondere gibt es mehrere nichtäquivalente Theorien für solche Differentialrechnungen. Jede unendlichdimensionale Lie-Gruppe besitzt eine (ebenfalls unendlichdimensionale) Lie-Algebra.
* Wenn man statt des Körpers der reellen oder komplexen Zahlen andere topologische Körper erlaubt, so erhält man z. B. <math>p</math>-adische Lie-Gruppen. Auch hier ist es möglich, jeder solchen Lie-Gruppe eine Lie-Algebra zuzuordnen, diese ist dann natürlich auch über einem anderen Grundkörper definiert.
* Wenn man die Klasse der (endlichdimensionalen, reellen) Lie-Gruppen bezüglich [[projektiver Limes|projektiver Limites]] abschließt, erhält man die Klasse der [[Pro-Lie-Gruppe]]n, die insbesondere alle zusammenhängenden [[lokalkompakte Gruppe|lokalkompakten Gruppen]] enthält. Auch jede solche Gruppe besitzt eine Lie-Algebra, die als projektiver Limes von endlichdimensionalen Lie-Algebren entsteht.
* Keine Verallgemeinerung, aber ein ähnliches Konzept erhält man, wenn man keine glatten Mannigfaltigkeiten, sondern algebraische Varietäten mit einer verträglichen Gruppenstruktur betrachtet. Das führt zur Theorie der [[Algebraische Gruppe|algebraischen Gruppen]], die viele Gemeinsamkeiten mit der Theorie der Lie-Gruppen besitzt. Insbesondere besitzt auch jede algebraische Gruppe eine zugehörige Lie-Algebra. Auch die [[Gruppe vom Lie-Typ|endlichen Gruppen vom Lie-Typ]] gehören in diese Kategorie.

== Anmerkungen ==
<references responsive />

== Literatur ==
* [[John Frank Adams|John F. Adams]]: ''Lectures on exceptional Lie Groups'' (= ''Chicago Lectures in Mathematics.''). University of Chicago Press, Chicago IL u. a. 1996, ISBN 0-226-00527-5.
* [[Armand Borel]]: ''Essays in the history of Lie groups and algebraic groups'' (= ''History of Mathematics.'' Bd. 21). American Mathematical Society u. a., Providence RI 2001, ISBN 0-8218-0288-7.
* [[Daniel Bump]]: ''Lie groups'' (= ''Graduate Texts in Mathematics.'' Band 225). 2nd edition. Springer, New York NY u. a. 2013, ISBN 978-1-4614-8023-5.
* [[Nicolas Bourbaki]]: ''Elements of mathematics. Lie groups and Lie algebras.'' 3 Bände. (Bd. 1: ''Chapter 1–3.'' Bd. 2: ''Chapters 4–6.'' Bd. 3: ''Chapters 7–9.''). Addison-Wesley, Reading 1975–2005, ISBN 3-540-64242-0 (Bd. 1), ISBN 3-540-42650-7 (Bd. 2), ISBN 3-540-43405-4 (Bd. 3).
* [[Claude Chevalley]]: ''Theory of Lie groups'' (= ''Princeton Mathematical Series.'' Bd. 8). Band 1. 15th printing. Princeton University Press, Princeton NJ 1999, ISBN 0-691-04990-4.
* [[William Fulton (Mathematiker)|William Fulton]], [[Joe Harris (Mathematiker)|Joe Harris]], ''Representation Theory. A First Course'' (= ''Graduate Texts in Mathematics.'' Band 129). Springer, New York NY u. a. 1991, ISBN 0-387-97495-4.
* Thomas Hawkins: ''Emergence of the theory of Lie groups. An essay in the history of mathematics 1869–1926.'' Springer, New York NY u. a. 2000. ISBN 0-387-98963-3.
* Brian C. Hall: ''Lie Groups, Lie Algebras, and Representations. An Elementary Introduction'' (= ''Graduate Texts in Mathematics.'' Bd. 222). Springer, New York NY u. a. 2003, ISBN 0-387-40122-9.
* [[Anthony W. Knapp]]: ''Lie Groups Beyond an Introduction.'' 2. Auflage. Birkhäuser, Boston MA u. a. 2002, ISBN 3-7643-4259-5.
* Wulf Rossmann: ''Lie Groups. An Introduction Through Linear Groups'' (= ''Oxford Graduate Texts in Mathematics.'' Band 5). Reprint 2003 (with Corrections). Oxford University Press, Oxford u. a. 2004, ISBN 0-19-859683-9 (Die Neuauflage von 2003 korrigiert einige unglückliche Druckfehler).
* [[Jean-Pierre Serre]]: ''Lie Algebras and Lie Groups. 1964 Lectures given at Harvard University'' (= ''Lecture Notes in Mathematics.'' Bd. 1500). Springer, Berlin u. a. 1992, ISBN 3-540-55008-9.
* [[John Stillwell]]: ''Naive Lie Theory'' (= ''Undergraduate Texts in Mathematics.''). Springer, New York NY u. a. 2008, ISBN 978-0-387-78214-0 (aus dem Vorwort: "developing .. Lie theory .. from single-variable calculus and linear algebra").

== Weblinks ==
{{Commonscat|Lie groups|Lie-Gruppe}}
* Wolfgang Ziller: [https://www2.math.upenn.edu/~wziller/math650/LieGroupsReps.pdf ''Lie Groups. Representation Theory and Symmetric Spaces''.] (PDF; 1,42 MB) Vorlesung 2010
* [https://www.spiegel.de/wissenschaft/mensch/durchbruch-mathematiker-berechnen-hochkomplexe-symmetrien-a-472569.html ''Durchbruch in der Forschung''.] [[Spiegel Online]]
* [https://www.telegraph.co.uk/news/science/science-news/3352140/Is-this-the-fabric-of-the-universe.html ''Is this the fabric of the universe?''] Telegraph.co.uk (englisch), Bezahlschranke
* [https://www.faz.net/aktuell/wissen/physik-mehr/mathematik-forscher-entschluesseln-die-lie-gruppe-e8-1434490.html ''Forscher entschlüsseln die Lie-Gruppe E8''.] faz.net; anschauliche Erklärung zu Lie-Gruppen

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Lie-Gruppe - Versionsgeschichte

imported>Sokrates 399: Typografie.