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2025-03-23T10:27:54Z

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In der [[Analysis]] bezeichnet die '''Lie-Ableitung''' (nach [[Sophus Lie]]) die Ableitung eines [[Vektorfeld]]es oder allgemeiner eines [[Tensorfeld]]es entlang eines Vektorfeldes.
Auf dem [[Raum (Mathematik)|Raum]] der Vektorfelder wird durch die Lie-Ableitung eine [[Lie-Klammer]] definiert, die '''Jacobi-Lie-Klammer''' genannt wird. Der Raum der Vektorfelder wird durch diese Operation zu einer [[Lie-Algebra]].

== Motivation ==

In der [[Allgemeine Relativitätstheorie|Allgemeinen Relativitätstheorie]] und in der geometrischen Formulierung der [[Hamiltonsches Prinzip|Hamiltonschen Mechanik]] wird die Lie-Ableitung verwendet, um [[Symmetrie (Physik)|Symmetrien]] aufzudecken, diese zur Lösung von Problemen auszunutzen und beispielsweise Konstanten der Bewegung zu finden.

Die Definition der Lie-Ableitung ist wie folgt motiviert: <math>T</math> sei ein Feld auf einer Mannigfaltigkeit <math>M</math>, dessen Symmetrie untersucht werden soll. Die Punkte <math>P_0</math> aus <math>M</math> mögen in einem Koordinatensystem <math>K_0</math> die Koordinaten <math> {\boldsymbol x_0}_{K_0}</math> haben. Es möge eine glatte Verschiebung (Fluss) <math>\phi :{M \times R}\rightarrow M</math> geben, die in Abhängigkeit eines Parameters <math>t</math> jedem beliebigen Punkt <math>P_0</math>, in glatter Weise Punkte <math>P_t</math> mit den Koordinaten <math> {\boldsymbol x_t}_{K_0}</math> zuordnet. Weiterhin führen wir Koordinatensysteme <math>K_t</math> ein, so dass die Punkte <math>P_t</math> in <math>K_t</math> die gleichen Koordinatenwerte haben, wie die Punkte <math>P_0</math> in <math>K_0</math>. Diese Koordinatensysteme sind demnach durch die Koordinatentransformation <math> {\boldsymbol x_0}_{K_0}= { \boldsymbol x_t}_{K_t}</math> definiert.

Eine Symmetrie des Feldes <math>T</math> liegt dann vor, wenn bei der Verschiebung <math>P_0 \rightarrow P_t</math> die Komponenten <math> {\boldsymbol T}_{K_t}(P_t) </math> des Feldes <math>T</math> am Punkt <math>P_t</math>, ausgedrückt in den Koordinaten <math>K_t</math> die gleichen Werte haben, wie die Komponenten von <math>T</math> am Punkt <math>P_0</math> ausgedrückt im Koordinatensystem <math>K_0</math> . Die Bedingungsgleichung für die Symmetrie des Feldes ist demnach <math> {\boldsymbol T}_{K_0}(P_0)= { \boldsymbol T}_{K_t}(P_t)</math>.

Setzt man dieses Konzept für infinitesimale Verschiebungen um, so lässt sich mit Hilfe des Tangentialvektorenfeldes <math>\boldsymbol X</math> zum Fluss <math>\phi</math> die Verschiebung eines Punktes <math>P_0 \rightarrow P_\varepsilon</math> in Koordinaten als <math> {\boldsymbol x_\varepsilon}= \boldsymbol x_0 + \varepsilon \boldsymbol X </math> schreiben.

Das Koordinatensystem <math>K_\varepsilon</math> in seinen geforderten Eigenschaften wird durch die Koordinatentransformation <math> {\boldsymbol x_\varepsilon}= \boldsymbol x_0 - \varepsilon \boldsymbol X </math> definiert. Die Symmetriebedingung des Vektorfeldes <math>T</math> ist dann <math> {\boldsymbol T}_{K_\varepsilon}(P_\varepsilon)- { \boldsymbol T}_{K_0}(P_0)=0</math>.
Der Koeffizient des in <math>\varepsilon</math> linearen Gliedes ist per Definition die Lie-Ableitung von <math>T</math> in Richtung <math>\boldsymbol X</math>
: <math>\mathcal L_XT :=\lim_{\varepsilon \rightarrow 0}\frac{{\boldsymbol T}_{K_\varepsilon}(P_\varepsilon)- { \boldsymbol T}_{K_0}(P_0) }{\varepsilon}
</math>.
Für Felder <math>T</math> mit einer zu <math>\boldsymbol X</math> gehörigen Symmetrie verschwindet die Lie-Ableitung. In dem Sinne liefert der Ausdruck <math>\mathcal L_XT =0 </math> ein Kriterium für die Symmetrie eines Vektorfeldes <math> T </math>.

== Lie-Ableitung für Funktionen ==
Ist <math>X</math> ein [[Vektorfeld]], so ist die Lie-Ableitung einer differenzierbaren Funktion <math>f</math> die Anwendung von <math>X</math> auf <math>f</math>:
: <math>\mathcal L_Xf=Xf
</math>.

Genauer:
Es seien <math>M</math> eine <math>n</math>-dimensionale <math>\mathcal{C}^\infty</math>-Mannigfaltigkeit, <math>f\colon M \to \R</math> eine [[glatte Funktion]] und <math>X</math> ein glattes Vektorfeld auf <math>M</math>. Die Lie-Ableitung <math>\mathcal{L}_X f(p)</math> der Funktion <math>f</math> nach <math>X</math> im Punkt <math>p\in M</math> ist definiert als die [[Richtungsableitung]] von <math>f</math> nach <math>X(p)</math>:
:<math>\mathcal{L}_X f(p) := X_p(f) = d_p f(X(p))</math>

In lokalen Koordinaten <math>(x_1, \ldots, x_n) \colon U \subseteq M \to \R^n</math> lässt sich das Vektorfeld darstellen als
: <math>X = \sum_{j=1}^n X_j \frac{\partial}{\partial x_j}</math>, mit <math>X_j \colon U \to \R</math>.
Für die Lie-Ableitung ergibt sich dann
: <math>\mathcal{L}_X f(p)= \sum_{j=1}^n X_j(p) \frac{\partial f}{\partial x_j} (p) </math>.

== Lie-Ableitung von Vektorfeldern ==
=== Definition ===
Seien <math>X</math> und <math>Y</math> zwei [[Vektorfeld]]er an der <math>n</math>-dimensionalen [[Glatte Mannigfaltigkeit|glatten Mannigfaltigkeit]] <math>M</math> und <math>F_t</math> der [[Integralkurve|Fluss des Vektorfelds]] <math>X</math>. Dann ist die Lie-Ableitung <math>\mathcal{L}_X Y</math> von <math>Y</math> in Richtung <math>X</math> definiert durch

:<math>\mathcal{L}_X Y = \left. \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} \right|_{t=0} (F^*_t Y)</math>,

wobei <math>F^*_t</math> den [[Rücktransport]] des Flusses <math>F_t</math> meint.

=== Eigenschaften ===
==== Lie-Klammer ====
Sind <math>X</math> und <math>Y</math> wieder zwei Vektorfelder, dann gilt für die Lie-Ableitung die Identität

:<math>(\mathcal{L}_X Y) f = X(Y(f)) - Y (X (f))</math>,

wobei <math>f</math> eine glatte Funktion auf einer [[Offene Teilmenge|offenen Teilmenge]] der zugrundeliegenden Mannigfaltigkeit ist. Aus dieser Gleichung kann gezeigt werden, dass <math>(X,Y) \mapsto \mathcal{L}_X Y</math> die Eigenschaften einer [[Lie-Klammer]] erfüllt. Daher schreibt man auch <math>[X,Y] := \mathcal{L}_X Y</math>. Insbesondere bildet also die Menge der Vektorfelder mit der Lie-Ableitung eine [[Lie-Algebra]] und ihre Lie-Klammer <math>[\cdot,\cdot]</math> wird Jacobi-Lie-Klammer genannt.<ref>R. Abraham, [[Jerrold Marsden|Jerrold E. Marsden]], T. Ratiu: ''Manifolds, tensor analysis, and applications'' (= ''Applied mathematical sciences'' 75). 2. Auflage. Springer, New York NY u. a. 1988, ISBN 0-387-96790-7, S. 277–279.</ref><ref>{{Literatur | Autor = Anthony M. Bloch | Titel = Nonholonomic mechanics and control | Jahr = 2003 | Verlag = Springer | Ort = New York | ISBN = 0-387-95535-6 | Seiten = 87 }}</ref>

Manchmal definiert man die Lie-Ableitung beziehungsweise Lie-Klammer direkt durch den Term <math>X(Y(f)) - Y (X (f))</math>. Dabei wird manchmal auch die Umgekehrte Vorzeichenkonvention, also <math>[X,Y] := Y \circ X - X \circ Y</math> verwendet.

==== Lokale Koordinaten ====
In lokalen Koordinaten haben die Vektorfelder <math>X</math> beziehungsweise <math>Y</math> die Darstellungen

:<math>X = \sum_{j=1}^n X_j \frac{\partial}{\partial x_j}</math>

beziehungsweise

:<math>Y = \sum_{j=1}^n Y_j \frac{\partial}{\partial x_j}</math>.

Für die Lie-Ableitung beziehungsweise Lie-Klammer gilt dann
:<math>[X,Y] = \sum_{j=1}^n
\left( \sum_{k=1}^n X_k \frac{\partial Y_j}{\partial x_k} - \sum_{k=1}^n Y_k \frac{\partial X_j}{\partial x_k}\right) \frac{\partial}{\partial x_j} \,. </math>

== Eigenschaften und Lie-Algebra ==

Der Vektorraum <math>\mathcal{C}^\infty(M,\R)</math> aller glatten Funktionen <math>M \to \R</math> ist bezüglich der punktweisen Multiplikation eine [[Algebra]]. Die Lie-Ableitung bezüglich eines Vektorfeldes <math>X</math> ist dann eine <math>\R</math>-lineare [[Derivation (Mathematik)|Derivation]] <math>\mathcal{L}_X : \mathcal{C}^\infty(M,\R) \to \mathcal{C}^\infty(M,\R)</math>, d. h., sie hat die Eigenschaften
* <math>\mathcal{L}_X </math> ist <math>\mathbb{R}</math>-linear
* <math>\mathcal{L}_X(f g)=(\mathcal{L}_X f) g + f\mathcal{L}_X g</math> (Leibniz-Regel)

Bezeichne <math>\mathcal{X}(M)</math> die Menge aller glatten Vektorfelder auf <math>M</math>, dann ist die Lie-Ableitung auch eine <math>\R</math>-lineare Derivation auf <math>\mathcal{C}^\infty(M,\R) \times \mathcal{X}(M) </math>, und es gilt:
* <math>\mathcal{L}_X(fY)=(\mathcal{L}_Xf) Y + f\mathcal{L}_X Y</math> (Leibniz-Regel)
* <math>[X,[Y,Z]] = \mathcal{L}_X [Y,Z] = [\mathcal{L}_X Y,Z] + [Y,\mathcal{L}_X Z] = [[X,Y],Z] + [Y,[X,Z]]</math> ([[Jacobi-Identität]])
Dadurch wird <math>\mathcal{X}(M)</math> zu einer [[Lie-Algebra]].

== Lie-Ableitung von Tensorfeldern ==
=== Definition ===
Für ein [[Tensorfeld]] <math>T</math> und ein Vektorfeld <math>X</math> mit [[Fluss (Mathematik)|lokalem Fluss]] <math>\Phi_t</math> ist die Lie-Ableitung von <math>T</math> bezüglich <math>X</math> definiert als
:<math>
\mathcal L_XT=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\Phi_{t}^* T|_{t=0}\,.
</math>

=== Eigenschaften ===
Die Lie-Ableitung <math>\mathcal L_X</math> ist <math>\R</math>-linear in <math>X</math> und für festes <math>X</math> eine Derivation der [[Tensoralgebra]], die mit der Kontraktion verträglich ist. Die Lie-Ableitung ist dadurch und durch ihre Werte auf Funktionen und Vektorfeldern bereits eindeutig charakterisiert.

Im Unterschied zu einem [[Zusammenhang (Differentialgeometrie)|Zusammenhang]] ist <math>\mathcal L_X</math> nicht <math>\mathcal C^\infty</math>-linear in <math>X</math>.

=== Differentialformen ===

Sei <math>M</math> eine <math>\mathcal{C}^\infty</math>-Mannigfaltigkeit, <math>X</math> ein Vektorfeld auf <math>M</math> und <math>\alpha \in \Lambda^{k+1}(M)</math> eine <math>(k+1)</math>-[[Differentialform]] auf <math>M</math>.
Durch ''Evaluation'' kann man eine Art ''inneres Produkt'' zwischen <math>X</math> und <math>\alpha</math> definieren:

:<math>(i_X\alpha) (X_1, \ldots, X_k) = \alpha (X,X_1, \ldots, X_k)\,</math>

und erhält die Abbildung:

:<math>i_X:\Lambda^{k+1}(M) \to \Lambda^k(M), \; \alpha \mapsto i_X\alpha</math>

Diese Abbildung hat die folgenden Eigenschaften:

* <math>i_X</math> ist <math>\R</Math>-linear,
* für beliebiges <math>f\in \Lambda^0(M)</math> gilt <math>i_{fX}\alpha = fi_X\alpha</math>,
* für eine beliebige Differentialform <math>\beta</Math> über <math>M</Math> und <math>\alpha\in\Lambda^k(M)</math> gilt
::<math>i_X (\alpha \wedge \beta) =
(i_X \alpha) \wedge \beta + (-1)^k \alpha \wedge (i_X \beta)</math>.

Weiter oben wurde die Lie-Ableitung bezüglich eines Vektorfeldes <math>X</math> für Funktionen über <math>M</math> definiert:

:<math>\mathcal{L}_Xf = i_X df</math>.

Für ''echte'' Differentialformen kann die Lie-Ableitung bezüglich eines Vektorfeldes <math>X</math> durch

:<math>\mathcal{L}_X\alpha = \left(i_X\circ d\ + d\circ i_X\right) \alpha</math>

berechnet werden. Diese Gleichung kann aus der Definition der Lie-Ableitung für Tensorfelder hergeleitet werden. Sie trägt den Namen [[Cartan-Formel]].<ref>John M. Lee: ''Introduction to Smooth Manifolds'' (= ''Graduate Texts in Mathematics'' 218). Springer-Verlag, New York NY u. a. 2003, ISBN 0-387-95448-1, S. 473–477.</ref>

Sie hat die folgenden Eigenschaften:

* <math>\mathcal{L}_{fX}\alpha = f\mathcal{L}_X\alpha + df \wedge i_X \alpha</math>
* <math>\mathcal{L}_X(\alpha\wedge\beta)=(\mathcal{L}_X\alpha)\wedge\beta+\alpha\wedge(\mathcal{L}_X\beta)</math>
* <math>[\mathcal{L}_X,\mathcal{L}_Y]\alpha:=
\mathcal{L}_X\mathcal{L}_Y\alpha-\mathcal{L}_Y\mathcal{L}_X\alpha=\mathcal{L}_{[X,Y]}\alpha</math>
* <math>[\mathcal{L}_X,i_Y]\alpha=[i_X,\mathcal{L}_Y]\alpha=i_{[X,Y]}\alpha</math>

== Literatur ==
* [[Uwe Storch]], Hartmut Wiebe: ''Lehrbuch der Mathematik.'' Band 4: ''Analysis auf Mannigfaltigkeiten – Funktionentheorie – Funktionalanalysis.'' Spektrum, Heidelberg 2001, ISBN 3-8274-0137-2.
* Sylvestre Gallot, Dominique Hulin, Jacques Lafontaine: ''Riemannian Geometry.'' 2. Auflage. Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg 1990, ISBN 3-540-52401-0

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Differentialoperator]]
[[Kategorie:Differentialtopologie]]

Lie-Ableitung - Versionsgeschichte

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