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2024-12-28T12:02:49Z

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[[Datei:Levene example.svg|mini|Verteilung des Nettoeinkommens in Deutschland 2008 ([[ALLBUS]]) nach Geschlecht und Geburtsmonats des Befragten.]]

Der '''Levene-Test'''<ref name="Levene1960">{{Literatur|Autor= Howard Levene | Datum=1960 |Sammelwerk=Contributions to Probability and Statistics: Essays in Honor of Harold Hotelling |Titel=Robust tests for equality of variances |Hrsg=Ingram Olkin, Harold Hotelling et al. |Verlag=Stanford University Press |Seiten=278–292}|ISBN=0804705968}}</ref><ref>{{Literatur|Autor=Joseph L. Gastwirth, Yulia R. Gel, Weiwen Miao | Titel= The impact of Levene´s test of equality of variances on statistical theory and practice | Sammelwerk = Statistical Science |Band=24|Nummer=3|Seiten = 343-360 |DOI = 10.1214/09-STS301}} </ref> bezeichnet in der [[Statistik]] einen [[Signifikanztest]], der auf Gleichheit der [[Varianz (Stochastik)|Varianzen]] ([[Homoskedastizität und Heteroskedastizität|''Homoskedastizität'']]) von zwei oder mehr Grundgesamtheiten (Gruppen) prüft. Der '''Brown–Forsythe Test''' ist aus dem Levene-Test abgeleitet. Er stammt von [[Howard Levene]].

Ähnlich dem [[Bartlett-Test]] prüft der Levene-Test die [[Nullhypothese]] darauf, dass alle Gruppenvarianzen gleich sind. Die Alternativhypothese lautet demnach, dass mindestens ein Gruppenpaar ungleiche Varianzen besitzt ([[Homoskedastizität und Heteroskedastizität|Heteroskedastizität]]):

{|
| [[Nullhypothese]]:
| <math>H_0\colon \sigma^2_1=\sigma^2_2=\ldots=\sigma^2_k</math>
|-
| [[Alternativhypothese]]:
| <math>H_1\colon \sigma^2_i\neq\sigma^2_j</math>  für ''mindestens ein'' Gruppenpaar <math>i,j</math> mit <math>i \neq j</math>
|}
Befindet sich der [[Statistische Signifikanz|p-Wert]] des [[Signifikanztest|Tests]] unter einem zuvor bestimmten Niveau, so sind die Unterschiede in den [[Varianz (Stochastik)|Varianzen]] der [[Stichprobe]]n überzufällig (signifikant) und die [[Nullhypothese]] der Varianzgleichheit kann abgelehnt werden.<ref name="Janssen2007">{{Literatur |Autor=Jürgen Janssen, Wilfried Laatz |Titel=Statistische Datenanalyse mit SPSS für Windows |Auflage=8. |Verlag=Springer Verlag |Datum=2007 |Seiten=246}}</ref>

== Beispiel ==

Die Grafik oben zeigt die Verteilung des Nettoeinkommens nach Geschlecht und Geburtsmonat. Die Ausgabe von <code>car::leveneTest</code> in [[R (Programmiersprache)|R]]:

* Der Levene-Test nach Geschlecht ergibt einen p-Wert kleiner als <math>2{,}2\times10^{-16}</math> und ist damit hochsignifikant:
Levene’s Test for Homogeneity of Variance
Df F value Pr(>F)
group 1 106.09 < 2.2e-16 ***
2404
---
Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

Bei einem solchen p-Wert kann davon ausgegangen werden, dass die Varianzen in der Population unterschiedlich sind. Die Nullhypothese gleicher Varianzen wird entsprechend verworfen.

* Der Levene-Test nach Geburtsmonat ergibt einen p-Wert von <math>0{,}076</math> und ist bei einem vorgegebenen Signifikanzniveau von 5 % nicht signifikant:
Levene’s Test for Homogeneity of Variance
Df F value Pr(>F)
group 11 1.6621 0.076.
2384
---
Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

== Teststatistik ==

Sind <math>X_{ji}</math> (<math>j=1, \dots, k</math> und <math>i=1, \dots, n_j</math>) die Stichprobenvariablen und

:<math>Y_{ji} = |X_{ji}-\bar{X}_j|</math>

mit <math>k</math> Anzahl der Gruppen (Stichproben), <math>n_j</math> die Anzahl der Beobachtungen in Gruppe <math>j</math> und <math>\bar{X}_j</math> der Stichprobenmittelwert der Gruppe <math>j</math>. Dann ist die Teststatistik

:<math>
L=\frac
{\frac{1}{k-1}\sum_{j=1}^{k} n_j (\bar{Y}_j - \bar{Y})^2}
{\frac {1}{n-k}\sum_{j=1}^k \sum_{i=1}^{n_j} (Y_{ji}-\bar{Y}_j)^2}
</math>

annähernd <math>F(k-1,n-k)</math>-verteilt mit <math>n</math> die Anzahl aller Beobachtungen:

:<math>n = \sum_{j=1}^{k} n_j</math>,

<math>\bar{Y}</math> der Stichprobenmittelwert über alle Gruppen und <math>\bar{Y}_j</math> der Stichprobenmittelwert über Gruppe <math>j</math>.

Die [[Teststatistik]] bzgl. <math>Y_{ji}</math> ist identisch mit der Teststatistik der [[Varianzanalyse#Einfache Varianzanalyse|einfachen Varianzanalyse]] (Test auf Gleichheit von <math>k</math> Gruppenmittelwerten). Durch die Transformation von <math>X_{ji}</math> auf <math>Y_{ji}</math> sind die Gruppenmittelwerte

:<math>\bar{Y}_j = \frac{1}{n_j} \sum_{i=1}^{n_j} Y_{ji} = \frac{1}{n_j} \sum_{i=1}^{n_j} |X_{ji}-\bar{X}_j|</math>

robuste Schätzfunktionen der Gruppenvarianzen. Die Normalverteilungsannahme für die Varianzanalyse gilt zwar nicht, jedoch haben die <math>Y_{ji}</math> oft eine rechtsschiefe Verteilung für die die Varianzanalyse angewandt werden kann.<ref>{{Literatur |Autor=Maxwell J. Roberts, Riccardo Russo |Titel=Student’s Guide to Analysis of Variance |Verlag=Routledge Chapman & Hall |Datum=1999 |ISBN=978-0-415-16565-5 |Seiten=71}}</ref>

== Brown–Forsythe-Test ==

Im Brown–Forsythe-Test wird bei Berechnung von <math>Y_{ji}</math> statt des Gruppenmittelwertes der Gruppenmedian benutzt.<ref>{{Literatur |Autor=Morton B. Brown, Alan B. Forsythe |Titel=Robust tests for equality of variances |Sammelwerk=Journal of the American Statistical Association |Band=69 |Datum=1974 |Seiten=364–367 |DOI=10.1080/01621459.1974.10482955}}</ref>
Um eine gute [[Trennschärfe eines Tests|Teststärke]] zu erhalten, muss der Lageparameter in Abhängigkeit von der zugrunde liegenden Verteilung gewählt werden.
Brown und Forsythe zeigten in Simulationsstudien, dass der Mittelwert eine gute Wahl ist, wenn die Verteilung symmetrisch und „normale“ Verteilungsenden ([[Wölbung (Statistik)|Exzess]] <math>\approx</math> 0) hat, z. B. einer [[Normalverteilung]] ähnlich ist. Der Median sollte benutzt werden, wenn die Verteilungen stark schief sind, und der [[Getrimmter Mittelwert|getrimmte Mittelwert]], wenn die Verteilung schwere Verteilungsenden hat (Exzess<0).

== Einzelnachweise ==

<references />

== Literatur ==
* ''Biostatistik: Eine Einführung für Biowissenschaftler.'' (2008). München: Pearson Studium. S. 150–154.

[[Kategorie:Parametrischer Test]]

Levene-Test - Versionsgeschichte

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