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2022-12-05T21:19:58Z

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Die '''Level-Set-Methode''' ('''LSM''') oder '''Niveaumengenmethode''' ist ein [[Numerische Mathematik|numerisches]] Verfahren, um geometrische Objekte und deren Bewegung approximativ zu verfolgen.

Der Vorteil der Level-Set-Methode liegt darin, dass man Kurven und Oberflächen auf einem räumlich festen (Eulerschen) [[Koordinatensystem]] berechnen kann, ohne [[Parameterdarstellung|Parametrisierungen]] dieser Objekte verwenden zu müssen. Insbesondere muss bei der Level-Set-Methode die [[Topologie (Mathematik)|Topologie]] (zum Beispiel die Anzahl der zusammenhängenden Gebiete) nicht bekannt sein, und sie kann sich während der Berechnung ändern. Dies erlaubt die einfache Verfolgung der Ränder beweglicher Objekte, beispielsweise eines [[Airbag]]s oder eines [[Tropfen]]s [[Öle|Öl]], der in [[Wasser]] schwimmt.

Bei der Level-Set-Methode wird im <math>n</math>-dimensionalen Raum ein <math>(n-1)</math>-dimensionaler Rand <math> \Gamma </math> (etwa eine [[Weg (Mathematik)|Kurve]] für <math>n=2</math>) als [[Nullstellenmenge]] („level-set“) einer <math>n</math>-dimensionalen Hilfsfunktion <math> \phi(\vec{x}) </math> beschrieben:

:<math> \Gamma = \{\vec{x} | \phi(\vec{x}) = 0 \}.</math>

Die Hilfsfunktion wird auf dem ganzen betrachteten Gebiet definiert, und zwar mit positiven Werten auf der einen und negativen Werten auf der anderen Seite von <math> \Gamma </math>. Bei einem zeitlich veränderlichen Rand kann analog eine zeitabhängige Hilfsfunktion <math> \phi(\vec{x}, t)</math> definiert werden. Bewegt sich solch ein Rand entlang seiner Normalenrichtung mit einer Geschwindigkeit <math>\vec{v}(\vec{x}, t)</math> in Richtung positiver <math>\phi(\vec{x}, t)</math>, kann man diese Bewegung mittels einer sogenannten Hamilton-Jacobi-Gleichung für die Hilfsfunktion darstellen:

:<math> \partial\,\phi / \partial t = -\vec{v} \cdot \nabla \phi.</math>

Diese [[partielle Differentialgleichung]] kann mit Hilfe von numerischen Näherungsmethoden ([[Finite-Differenzen-Methode|Finiten Differenzen]]) auf einem numerischen Gitter berechnet werden. Um die Kurve <math> \Gamma </math> zu verschiedenen Zeitpunkten der Bewegung darzustellen, muss nun die Nullstellenmenge der Funktion <math> \phi </math> verfolgt werden.

Häufig wird <math>\phi(\vec{x}, t)</math> zusätzlich die Eigenschaft einer vorzeichenbehafteten Abstandsfunktion aufgeprägt (<math> |\nabla \phi|=1</math>). Dadurch wird die numerische Verfolgung der Nullstellenmenge erleichtert. Die numerische Herstellung dieser Eigenschaft wird [[Reinitialisierung]] genannt. Häufig ist <math>\vec{v}</math> nur für <math>\phi(\vec{x}, t) = 0 </math> physikalisch sinnvoll definiert (bspw. Ausbreitungsgeschwindigkeiten bei der Simulation von [[Vormischflamme]]n), so dass abseits von <math> \Gamma </math> eine künstliche Geschwindigkeit vorgegeben werden muss. Soll die Eigenschaft <math>|\nabla \phi|=1</math> erhalten bleiben, ist dort <math>\nabla \phi \cdot \nabla |\vec{v}|=0</math> sicherzustellen. Neben der expliziten Sicherstellung von <math> |\nabla \phi|=1</math> durch Reinitialisierung existieren Ansätze der impliziten Einbettung in die Formulierung von <math>\phi(\vec{x}, t)</math>. So können (beispielsweise durch Einführung eines Regularisierungsterms) solche Bewegungen bevorzugt werden, die in einer approximativ vorzeichenbehafteten Abstandsfunktion resultieren.<ref>Li, C. & Xu, C. & Gui, C. & Fox, M.D.: ''Distance Regularized Level Set Evolution and its Application to Image Segmentation''. IEEE Trans. Image Processing (19), 2010. pp. 3243–3254.</ref>

Entwickelt wird die Level-Set Methode als numerisches Verfahren seit den 1980er Jahren vor allem von den amerikanischen Mathematikern [[Stanley Osher]] und [[James Sethian]]. Sie wird seitdem in vielen Bereichen ([[numerische Strömungsmechanik]], [[Computergrafik]]) erfolgreich eingesetzt.

== Literatur ==
*James Albert Sethian: ''Level Set Methods: Evolving Interfaces in Geometry, Fluid Mechanics, Computer Vision, and Materials Science'', Cambridge University Press 1996, ISBN 0-521-57202-9
*James Albert Sethian: ''Level Set Methods and Fast Marching Methods'', Cambridge University Press 1999, ISBN 0-521-64557-3
*S. J. Osher, R. Fedkiw: ''Level Set Methods and Dynamic Implicit Surfaces'', Springer 2002, ISBN 0-387-95482-1
<references />

[[Kategorie:Numerische Mathematik]]

Level-Set-Methode - Versionsgeschichte

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