217.61.144.172: /* Definition */ Das musste ich machen. Die namentliche Unterscheidung der beiden Lerschschen Funktionen muss in der Definition klar genannt sein. Ich habe keine Formel verändert oder gar gelöscht. Sondern ich habe ganz einfach erst einmal die Sätze aufgebessert. In absehbarer Zeit werde ich in diesen Artikel auch noch die korrespondierenden Abel-Plana-Formeln einfügen.

2023-11-25T09:51:05Z

Definition: Das musste ich machen. Die namentliche Unterscheidung der beiden Lerschschen Funktionen muss in der Definition klar genannt sein. Ich habe keine Formel verändert oder gar gelöscht. Sondern ich habe ganz einfach erst einmal die Sätze aufgebessert. In absehbarer Zeit werde ich in diesen Artikel auch noch die korrespondierenden Abel-Plana-Formeln einfügen.

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Die '''Lerchsche Zeta-Funktion''' (nach [[Mathias Lerch]]) ist eine sehr allgemeine [[Zeta-Funktion]]. Sehr viele [[Reihe (Mathematik)|Reihen]] [[Kehrwert|reziproker]] [[Potenz (Mathematik)|Potenzen]] (einschließlich der [[Hurwitzsche Zeta-Funktion|hurwitzschen Zeta-Funktion]] und des [[Polylogarithmus]]) können als Spezialfall dieser Funktion dargestellt werden.

== Definition ==

Die komplexe '''Lerchsche Zetafunktion''' hat diese Definition:

:<math>L(\lambda, s, \alpha) = \sum_{n=0}^\infty \frac { \exp(2\,\pi\,i\,\lambda\,n)} {(n+\alpha)^s}</math>

Und die sogenannte '''Lerchsche Transzendente''' ist so definiert:

:<math>\Phi(z, s, \alpha) = \sum_{n=0}^\infty \frac {z^n} {(n+\alpha)^s}</math>

Beide Funktionen werden als ''Lerchsche Zeta-Funktionen'' bezeichnet.

Die Verwandtschaft der beiden ist durch folgende Formel gegeben:

:<math>\,\Phi(\exp (2\,\pi\,\,i\,\lambda), s, \alpha)=L(\lambda, s, \alpha)</math>

== Spezialfälle und spezielle Werte ==

* Die [[Hurwitzsche Zeta-Funktion]]:
:<math>\,\zeta(s,n)=L(0,s,n)=\Phi(1,s,n)</math>
* Der [[Polylogarithmus]]:
:<math>\,\textrm{Li}_s(z)=z\,\Phi(z,s,1)</math>
* Die [[Legendresche Chi-Funktion]]:
:<math>\,\chi_n(z)=2^{-n}\,z\,\Phi(z^2,n,\tfrac 12)</math>
* Die [[Riemannsche ζ-Funktion]]:
:<math>\,\zeta(s)=\Phi (1,s,1)</math>
* Die [[Dirichletsche η-Funktion]]:
:<math>\,\eta(s)=\Phi (-1,s,1)</math>
* Die [[Dirichletsche Beta-Funktion]]:
:<math>\beta(s)=2^{-s}\,\Phi(-1,s,\tfrac12)</math>

Außerdem gelten folgende Spezialfälle (Auswahl):<ref>http://functions.wolfram.com/ZetaFunctionsandPolylogarithms/LerchPhi/03/ShowAll.html</ref>

:<math>\Phi(z,s,1)=\frac{\mathrm{Li}_s(z)}z</math>

:<math>\Phi(z,0,a)=\frac1{1-z}</math>

:<math>\Phi(0,s,a)=\left(a^2\right)^{-\frac s2}</math>

:<math>\Phi(0,s,a)=a^{-s}\,</math>

:<math>\Phi(z,1,1)=-\frac{\log(1-z)}z</math>

:<math>\Phi(1,s,\tfrac12)=(2^s-1)\zeta(s)</math>

:<math>\Phi(-1,s,1)=(1-2^{1-s})\zeta(s)\,</math>

:<math>\Phi(0,1,a)=\frac1{\sqrt{a^2}}</math>

Ferner ist

:<math>\begin{align}
&\Phi(-1,2,\tfrac12)&=&\; 4\,G
\\ &\frac{\partial\Phi}{\partial s}(-1,-1,1) &=&\; \log\left(\frac{A^3}{\sqrt[3]{2}\,\sqrt[4]{\mathrm e}}\right)
\\ &\frac{\partial\Phi}{\partial s}(-1,-2,1) &=&\; \frac{7\,\zeta(3)}{4\,\pi^2}
\\ &\frac{\partial\Phi}{\partial s}(-1,-1,\tfrac12) &=&\; \frac{G}\pi
\end{align}</math>

mit der [[Catalansche Konstante|catalanschen Konstanten <math>G</math>]], der [[Konstante von Glaisher-Kinkelin|Glaisher-Kinkelin-Konstanten <math>A</math>]] und der [[Apéry-Konstante|Apéry-Konstanten <math>\zeta(3)</math>]] der Riemannschen Zeta-Funktion.

== Weitere Formeln ==

=== Integraldarstellungen ===

Eine mögliche Integraldarstellung lautet

:<math>\Phi(z,s,a)=\frac1{\Gamma(s)}\int\limits_0^\infty \frac{t^{s-1}\mathrm{e}^{-at}}{1-z\,\mathrm{e}^{-t}}\,\mathrm dt \qquad\quad</math> für <math>\begin{cases} & \mathrm{Re}\;a>0 \text{ und } \mathrm{Re}\;s>0 \text{ und } z<1 \\ \text{oder } & \mathrm{Re}\;a>0 \text{ und } \mathrm{Re}\;s>1\text{ und }z=1\end{cases}</math>

Das [[Kurvenintegral]]

:<math>\Phi(z,s,a)=-\frac{\Gamma(1-s)}{2\,\pi\, i}\int\limits_0^\infty \frac{(-t)^{s-1}\mathrm{e}^{-a\,t}}{1-z\,\mathrm{e}^{-t}}\,\mathrm dt</math>

mit <math>\mathrm{Re}\;a>0,\;\mathrm{Re}\;s<0,\;z<1</math> darf die Punkte <math>t=\log z+2\,k\,\pi\,i,\;k\in\Z</math> nicht enthalten.

Ferner ist

:<math>\Phi(z,s,a)=\frac{1}{2\,a^s}+\int\limits_0^\infty\frac{z^t}{(a+t)^s}\,\mathrm dt+\frac2{a^{s-1}}\int\limits_0^\infty \frac{\sin(s\arctan t-a\,t\log z)}{(1+t^2)^{s/2}\cdot (\mathrm{e}^{2\,\pi\,a\,t}-1)}\,\mathrm dt</math>

für <math>\mathrm{Re}\;a>0</math> und <math>|z|<1</math>.

Ebenso ist

:<math>\Phi(z,s,a)=\frac1{2\,a^s}+\frac{\log^{s-1}\dfrac1z}{z^a}\,\Gamma(1-s,a\log\dfrac1z)+\frac2{a^{s-1}}\int\limits_0^\infty \frac{\sin(s\arctan t-a\,t\log z)}{(1+t^2)^{s/2}\cdot (\mathrm{e}^{2\,\pi\,a\,t}-1)}\,\mathrm dt</math>

für <math>\mathrm{Re}\,a>0</math>.

=== Reihendarstellungen ===

Eine Reihendarstellung für die Lerchsche Zeta-Funktion ist

:<math>\Phi(z,s,q)=\frac{1}{1-z}\sum_{n=0}^\infty \left(\frac{-z}{1-z} \right)^n\sum_{k=0}^n (-1)^k {n \choose k} (q+k)^{-s}.</math>

Sie gilt für alle <math>s</math> und [[Komplexe Zahl|komplexe]] <math>z</math> mit <math>\mathrm{Re}\,z<\tfrac12</math>; man vergleiche dazu die [[Hurwitzsche Zeta-Funktion#Reihendarstellungen|Reihendarstellung der hurwitzschen Zeta-Funktion]].

Falls <math>s</math> positiv und ganz ist, gilt

:<math>\Phi(z,n,a)=z^{-a}\left\{\sum_{{k=0}\atop k\neq n-1}^\infty\zeta(n-k,a)\frac{\log^k z}{k!}+\left[\Psi(n)-\Psi(a)-\log(-\log z)\right]\frac{\log^{n-1} z}{(n-1)!}\right\}.</math>

Eine Taylorreihe der dritten Variablen ist durch
:<math>\Phi(z,s,a+x)=\sum_{k=0}^\infty\Phi(z,s+k,a)(s,k)\frac{(-x)^k}{k!}</math>

für <math>|x|<\mathrm{Re}\,a</math> unter Verwendung des [[Pochhammer-Symbol]] <math>(s,k)</math> gegeben.

Im Grenzwert <math>a\rightarrow-n</math> gilt
:<math>\Phi(z,s,a)=\sum_{k=0}^n\frac{z^k}{(a+k)^s}+z^n\sum_{m=0}^\infty(1-m-s,m)\,\mathrm{Li}_{s+m}(z)\frac{(a+n)^m}{m!}</math>.

Der Spezialfall <math>n=0</math> hat folgende Reihe:
:<math>\Phi(z,s,a)=\frac{1}{a^s}+\sum_{m=0}^\infty(1-m-s,m)\,\mathrm{Li}_{s+m}(z)\frac{a^m}{m!}</math>
für <math>|a|<1</math>.

Die [[asymptotische Entwicklung]] für <math>s\rightarrow-\infty</math> ist gegeben durch

:<math>\Phi(z,s,a)=z^{-a}\,\Gamma(1-s)\sum_{k=-\infty}^\infty\left[2\,k\,\pi\,i-\log z\right]^{s-1}\mathrm{e}^{2\,k\,\pi\,a\,i}</math>

für <math>|a|<1,\;\mathrm{Re}\;s<0,\; z\notin (-\infty,0)</math> und

:<math>\Phi(-z,s,a)=z^{-a}\,\Gamma(1-s)\sum_{k=-\infty}^\infty\left[(2\,k+1)\pi\,i-\log z\right]^{s-1}\mathrm{e}^{(2\,k+1)\pi\,a\,i}</math>
wenn <math>|a|<1,\;\mathrm{Re}\,s<0,\; z\notin (0,\infty)</math>.

Unter Verwendung der [[Unvollständige Gammafunktion|unvollständigen Gammafunktion]] gilt

:<math>\Phi(z,s,a)=\frac1{2\,a^s}+\frac1{z^a}\sum_{k=1}^\infty \frac{\mathrm{e}^{-2\,\pi\,i\,(k-1)a}\,\Gamma(1-s,a\,(-2\,\pi\,i\,(k-1)-\log z))}{(-2\,\pi\,i\,(k-1)-\log z)^{1-s}}+\frac{\mathrm{e}^{2\,\pi\,i\,k\,a}\,\Gamma(1-s,a\,(2\,\pi\,i\,k-\log z))}{(2\,\pi\,i\,k-\log z)^{1-s}}</math>
mit <math>|a|<1</math> und <math>\mathrm{Re}\,s<0</math>.

=== Identitäten und weitere Formeln ===

:<math>\Phi(z,s,a)=z^n\,\Phi(z,s,a+n) + \sum_{k=0}^{n-1} \frac {z^k}{(k+a)^s}</math>

:<math>\Phi(z,s-1,a)=\left(a+z\frac{\partial}{\partial z}\right) \Phi(z,s,a)</math>

:<math>\Phi(z,s+1,a)=-\,\frac{1}{s}\,\frac{\partial}{\partial a} \Phi(z,s,a)</math>

Ferner gilt für die Integraldarstellung mit <math>\{z\in\Complex\,\setminus [1,\infty) \text{ und } \mathrm{Re}\;s>-2 \}</math> oder
<math>\{ z=1\text{ und Re}\;s>-1\}</math><ref>Guillera, Sondow 2008, Theorem 3.1 (siehe Lit.)</ref>
:<math>\int\limits_0^1\int\limits_0^1 \frac{x^{u-1}\cdot y^{v-1}}{1-x\,y\,z} (-\log(x\,y))^s\,\mathrm dx\,\mathrm dy =\Gamma(s+1)\,\frac{\Phi(z,s+1,v)-\Phi(z,s+1,u)}{u-v}</math>

und

:<math>\int\limits_0^1\int\limits_0^1 \frac{(x\,y)^{u-1}}{1-x\,y\,z} (-\log(x\,y))^s\,\mathrm dx\,\mathrm dy =\Gamma(s)\,\Phi(z,s+2,u)</math>.

== Literatur ==

* [[Mathias Lerch]]: ''Démonstration élémentaire de la formule:'' <math>\textstyle \frac{\pi^2}{\sin^2{\pi x}}=\sum_{\nu=-\infty}^{\infty}\frac{1}{(x+\nu)^2}</math>, L'Enseignement Mathématique '''5'''(1903): S. 450–453
* M. Jackson: [http://jlms.oxfordjournals.org/cgi/content/citation/s1-25/3/189 ''On Lerch's transcendent and the basic bilateral hypergeometric series'' <math>{}_2\psi_2</math>], J. London Math. Soc. '''25''' (3), 1950: S. 189–196
* Jesús Guillera, Jonathan Sondow: ''Double integrals and infinite products for some classical constants via analytic continuations of Lerch's transcendent''. In: ''Ramanujan J.'' Band 16, Nummer 3, 2008, Seiten 247–270; vgl. in [http://arxiv.org/abs/math/0506319 arxiv]
* Antanas Laurinčikas und Ramūnas Garunkštis: ''The Lerch zeta-function'', Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 2002, ISBN 978-1-4020-1014-9 [http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=1979048 online]

== Weblinks ==
* Ramunas Garunkstis: ''[http://www.mif.vu.lt/~garunkstis Home Page]'' (Referenzensammlung)
* Ramunas Garunkstis, ''[http://www.mif.vu.lt/~garunkstis/preprintai/approx.pdf Approximation of the Lerch Zeta Function] (PDF; 112 kB)''
* {{Webarchiv |url=http://www.nias.res.in/docs/hrj/27Article3.pdf |wayback=20140413141459 |text=S. Kanemitsu, Y. Tanigawa und H. Tsukada: A generalization of Bochner's formula, undatiert, 2005 oder früher }}
* {{MathWorld|LerchTranscendent|Lerch Transcendent}}

== Einzelnachweise ==
<references/>

[[Kategorie:Analytische Funktion]]

Lerchsche Zeta-Funktion - Versionsgeschichte