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2025-01-24T15:48:21Z

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[[Datei:Lemoine punkt.svg|mini|hochkant=1.7|Lemoine-Punkt L als Schnittpunkt der Symmediane (rot) <br/> Schwerpunkt G als Schnittpunkt der Mediane (schwarz)]]

Der '''Lemoinepunkt''' eines [[Dreieck]]s, auch '''Lemoinescher Punkt''', '''Grebepunkt''' oder '''Symmedianenpunkt''' genannt, ist ein [[Ausgezeichnete Punkte im Dreieck|ausgezeichneter Punkt im Dreieck]]. Er ist der Schnittpunkt der an den [[Winkelhalbierende]]n gespiegelten [[Seitenhalbierende]]n, der [[Symmediane]].<ref name="Grundmann-Lemoinepunkt">{{Literatur |Titel=Dreieckgeometrie |Autor=Wolfgang Grundmann |Verlag=AVM |Ort=München |Datum=2010 |ISBN=978-3-89975-808-5 |Seiten=83-84}}</ref>

== Eigenschaften ==

* Der Lemoinepunkt ist definitionsgemäß [[Isogonal konjugierte Punkte|isogonal konjugiert]] zum [[Geometrischer Schwerpunkt|Schwerpunkt]].
* Wenn wir das Dreieck mit ''ABC'' bezeichnen und den Lemoinepunkt mit ''L'', dann sind die [[Abstand|Abstände]] des Punktes ''L'' zu den [[Gerade]]n ''BC'', ''CA'' und ''AB'' [[proportional]] zu den Längen der Seiten ''BC'', ''CA'' und ''AB'' des Dreiecks ''ABC''.
* Der Lemoinepunkt ist Lösung eines gelegentlich wichtigen [[Optimierungsproblem]]s: Wenn wir einen Punkt ''P'' in der Ebene des Dreiecks ''ABC'' betrachten, dann ist die Summe der [[Quadratzahl|Quadrate]] der [[Abstand|Abstände]] von dem Punkt ''P'' zu den Seiten ''BC'', ''CA'' und ''AB'' genau dann [[Extremwert|minimal]], wenn ''P'' mit dem Lemoinepunkt ''L'' des Dreiecks ''ABC'' übereinstimmt.
* Dieses Optimierungsproblem wird ebenfalls gelöst bzw. der Lemoinepunkt gefunden, wenn die drei Seiten des Dreiecks durch drei lineare Gleichungen der entsprechenden Geraden in [[Hesse-Normalform]] in zwei Variablen ausgedrückt werden und eine ausgleichende Lösung des überbestimmten [[Lineares Gleichungssystem|linearen Gleichungssystems]] mit Hilfe der [[Methode der kleinsten Quadrate]] bestimmt wird.
* Der Lemoinepunkt des größeren Dreiecks, das durch die drei Ankreismittelpunkte bestimmt wird, ist der sogenannte [[Mittenpunkt]] des Dreiecks.

== Koordinaten ==

Die [[Trilineare Koordinaten|trilinearen Koordinaten]] des Lemoine-Punkts (<math>X_6</math>) sind (gleichwertig)
:<math>a : b : c</math> oder
:<math>\sin\alpha : \sin\beta : \cos\gamma</math>.<ref name="ETC-X6">{{Internetquelle |url=https://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html#X6 |autor=Clark Kimberling |titel=Enyclopedia of Triangle Centers, X(6) |abruf=2025-01-24}}</ref>

Die [[Baryzentrische Koordinaten|baryzentrischen Koordinaten]] sind
:<math>a^2 : b^2 : c^2</math>.<ref name="ETC-X6" />

Dabei sind <math>a, b, c</math> die Seitenlängen des Dreiecks und <math>\alpha, \beta, \gamma</math> die Größen der Innenwinkel.

== Geschichte ==
Der Punkt ist in England und Frankreich nach dem französischen Mathematiker [[Émile Lemoine]] und in Deutschland auch nach dem deutschen Mathematiker [[Ernst Wilhelm Grebe]] benannt, die beide zu ihm publizierten. Allerdings war der Punkt bereits vor ihren Publikationen bekannt.

== Literatur ==
* Roger A. Johnson: ''Advanced Euclidean Geometry''. Dover 2007, ISBN 978-0-486-46237-0, S. 213, 268, 271, 303 (Erstveröffentlichung 1929 bei der Houghton Mifflin Company (Boston) unter dem Titel ''Modern Geometry'').
* J. S. Mackay: ''Early History of the Symmedian Point''. In: ''Proceedings of the Edinburgh Mathematical Society'', Band 11, Februar 1892, S. 92–103 ([https://www.cambridge.org/core/journals/proceedings-of-the-edinburgh-mathematical-society/article/early-history-of-the-symmedian-point/9B8FED488A463550BE6D823A669A7383 Digitalisat])
* A. Emmerich: ''Die Brocardschen Gebilde und ihre Beziehungen zu den verwandten merkwürdigen Punkten und Kreisen des Dreiecks''. Verlag Georg Reimer, Berlin 1891
* [[Ross Honsberger]]: ''Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry''. MAA, 1995, S. 53–78 ([https://archive.org/details/episodes-in-nineteenth-and-twentieth-century-euclidean-geometry-ross-honsberger/page/53/mode/2up Digitalisat])

== Weblinks ==

* {{MathWorld |id=SymmedianPoint |title=Symmedian Point}}
* [https://www.math.uni-bremen.de/didaktik/ma/ralbers/Materialien/Dreieckszentren/X6_Symmedian/X6_Symmedian.html X6 Der Symmedian Point.] Eine umfangreiche Darstellung mit diversen weiterführenden Aussagen

== Einzelnachweise ==

<references />

[[Kategorie:Ausgezeichnete Punkte im Dreieck]]

Lemoinepunkt - Versionsgeschichte

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