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2023-07-31T08:20:46Z

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{{Dieser Artikel|behandelt das Lemma von Whitehead in der Ringtheorie, für das 1. und 2. Lemma von Whitehead in der Theorie der Lie-Algebren siehe [[Lie-Algebren-Kohomologie#Lie-Algebren-Kohomologie bzgl. einer Darstellung]].}}
Das '''Lemma von Whitehead''', benannt nach [[John Henry Constantine Whitehead]], ist eine Aussage aus dem mathematischen Gebiet der [[Ringtheorie]]. Das Lemma beschreibt die [[Kommutatorgruppe]] der linearen Gruppe über einem [[Ring (Algebra)|Ring]] mit [[Einselement]].

== Die lineare Gruppe ==
Es sei <math>R</math> ein Ring mit Einselement. Dann ist auch der [[Matrizenring]], das heißt die Menge <math>M_n(R)</math> der <math>n\times n</math>-Matrizen mit Komponenten aus <math>R</math>, ein Ring mit Einselement. Darin sei <math>GL(n,R)</math> die Gruppe der invertierbaren Elemente, die sogenannte [[allgemeine lineare Gruppe]] <math>n</math>-ten Grades. Die Abbildung
:<math>GL(n,R)\rightarrow GL(n+1,R),\,
\begin{pmatrix}
a_{1,1} & \ldots & a_{1,n} \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
a_{n,1} & \ldots & a_{n,n}
\end{pmatrix}
\mapsto
\begin{pmatrix}
a_{1,1} & \ldots & a_{1,n} & 0 \\
\vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\
a_{n,1} & \ldots & a_{n,n} & 0 \\
0 & \ldots & 0 & 1
\end{pmatrix}
</math>
ist offenbar ein [[Injektivität|injektiver]] [[Gruppenhomomorphismus]], mit dem man <math>GL(n,R)</math> als [[Untergruppe]] von <math>GL(n+1,R)</math> auffassen kann. Die Vereinigung <math>\textstyle GL(R):=\bigcup_{n\in \N}GL(n,R)</math> heißt ''lineare Gruppe'', manchmal auch ''stabile lineare Gruppe'', nach Konstruktion handelt es sich um die Gruppe aller invertierbaren <math>\infty\times\infty</math>-Matrizen, die bis auf endliche viele Ausnahmen mit der unendlichen [[Einheitsmatrix]] übereinstimmen.

In jeder Gruppe <math>GL(n,R)</math> sind die [[Elementarmatrix|Elementarmatrizen vom Typ 1]] enthalten, sie erzeugen eine Untergruppe <math>E(n,R)</math> und vermöge obigen Homomorphismus kann man <math>E(n,R)</math> als Untergruppe von <math>E(n+1,R)</math> auffassen und wieder die Vereinigung <math>\textstyle E(R)= \bigcup_{n\in \N}E(n,R)</math> bilden. Offenbar ist <math>E(R)\subset GL(R)</math> eine Untergruppe.

== Aussage des Lemmas von Whitehead ==
Es sei <math>R</math> ein Ring mit Einselement. Dann ist <math>E(R)=[GL(R),GL(R)]</math>, das heißt <math>E(R)</math> ist die Kommutatorgruppe von <math>GL(R)</math>. Darüber hinaus ist <math>E(R)=[E(R),E(R)]</math>, das heißt <math>E(R)</math> ist eine [[perfekte Gruppe]].<ref>Jonathan Rosenberg: ''Algebraic K-Theory and Its Applications'', Springer Verlag 1994, ISBN 3-540-94248-3, Satz 2.1.4</ref><ref>John Milnor: ''Introduction to algebraic K -theory'', Annals of Mathematics Studies 72, Princeton University Press, 1971. Abschnitt 3.1</ref>

== Bemerkungen ==
<math>E(R)</math> ist als Kommutatorgruppe ein [[Normalteiler]] in <math>GL(R)</math>, das heißt man kann die [[Faktorgruppe]] <math>GL(R)/E(R)</math> bilden. Diese hat eine große Bedeutung in der [[Algebraische K-Theorie|algebraischen K-Theorie]] und wird dort mit <math>K_1(R)</math> bezeichnet.
Da <math>K_1(R)=GL(R)/E(R) = GL(R)/[GL(R),GL(R)]</math>, ist <math>K_1(R)</math> die [[Abelisierung]] von <math>GL(R)</math>, insbesondere handelt es sich um eine [[abelsche Gruppe]].

Ist <math>R</math> ein [[Körper (Algebra)|Körper]], so hat man bekanntlich eine [[Determinantenfunktion|Determinanten-Abbildung]] <math>\det: GL(R)\rightarrow R^* = R\setminus\{0\}</math> in die Gruppe der invertierbaren Elemente des Körpers. Man kann zeigen, dass <math>E(R)</math> genau der [[Kern (Algebra)|Kern]] der Determinantenabbildung ist und die Determinantenabbildung daher einen Isomorphismus <math>K_1(R)=GL(R)/E(R)\rightarrow R^*</math> induziert.<ref>Jonathan Rosenberg: ''Algebraic K-Theory and Its Applications'', Springer Verlag 1994, ISBN 3-540-94248-3, Satz 2.2.2</ref>

Der einfachste Körper ist der [[Restklassenkörper]] <math>R=\Z/2 = \{0,1\}</math> und nach obigem ist <math>GL(\Z/2)/E(\Z/2) \cong (\Z/2)^* = \{1\}</math> einelementig und daher <math>GL(\Z/2)=E(\Z/2)</math>. Es ist
:<math>GL(2,\Z/2) =\{
\begin{pmatrix} 1 &0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix},
\begin{pmatrix} 1 &1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix},
\begin{pmatrix} 1 &0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix},
\begin{pmatrix} 0 &1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix},
\begin{pmatrix} 1 &1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix},
\begin{pmatrix} 0 &1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}
\}</math>
eine sechselementige, nicht-kommutative Gruppe, die daher zur [[S3 (Gruppe)|S<sub>3</sub>]] isomorph sein muss. Deren Kommutatorgruppe ist dreielementig, genauer
:<math>[GL(2,\Z/2),GL(2,\Z/2)] =\{
\begin{pmatrix} 1 &0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix},
\begin{pmatrix} 1 &1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix},
\begin{pmatrix} 0 &1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}
\}</math>,
aber <math>GL(2,\Z/2)</math> wird von den Elementarmatrizen erzeugt, das heißt für den Grad 2 gilt <math>E(2,\Z/2) \neq [GL(2,\Z/2),GL(2,\Z/2)]</math>. Dieses Beispiel zeigt, dass das Lemma von Whitehead für endliche Dimensionen nicht gilt. Man kann also nicht auf den Übergang zu unendlich-dimensionalen Matrizen verzichten.

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Gruppentheorie]]
[[Kategorie:Ringtheorie]]
[[Kategorie:Satz (Mathematik)|Whitehead, Lemma von]]

Lemma von Whitehead - Versionsgeschichte

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