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2026-04-19T15:50:32Z

Simplex: Verbesserung.

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Das '''Lemma von Sperner''' (oder auch '''spernersches Lemma'''), {{enS|Sperner’s lemma}}<ref>Henle: ''A Combinatorial Introduction to Topology.'' 1994, S. 36 ff.</ref>, {{frS|lemme de Sperner}}, ist ein [[mathematischer Lehrsatz]] aus dem [[Teilgebiete der Mathematik|Teilgebiet]] der [[Topologie (Mathematik)|Topologie]]. Es geht zurück auf den Mathematiker [[Emanuel Sperner]], der es im Jahr 1928 veröffentlicht hat.<ref name="Hamburg.265ff" /> Die Bedeutung des Lemmas liegt darin, dass mit seiner Hilfe – und damit lediglich mittels elementarer kombinatorischer Methoden – eine ganze Anzahl wichtiger mathematischer [[Lehrsatz|Lehrsätze]] hergeleitet werden können. Dazu gehören vor allem der [[Fixpunktsatz von Brouwer|brouwersche Fixpunktsatz]]<ref name="Fund. Math.14" /><ref>Dargestellt in Aigner, Ziegler, [[Das Buch der Beweise]], Kapitel 25.</ref> und verwandte Resultate<ref>Todd: ''The computation of fixed points and applications.'' 1976, S. 1 ff.</ref><ref name="Su" /> oder auch der [[Invarianz der offenen Menge|Satz von der Invarianz der offenen Menge]]<ref name="Hamburg.265ff" /> und nicht zuletzt der [[Pflastersatz von Lebesgue]].<ref>Harzheim: ''Einführung in die kombinatorische Topologie.'' 1978, S. 56 ff.</ref><ref>Rinow: ''Lehrbuch der Topologie.'' 1975, S. 341 ff.</ref><ref>Franz: ''Topologie I.'' 1968, S. 132 ff.</ref>

== Begrifflichkeit im Zusammenhang ==
Im Folgenden wird durchgängig ein [[euklidischer Raum]] <math>V</math> der [[Dimension (Mathematik)#Hamel-Dimension|endlichen Dimension]] <math>m \in \N</math> über dem [[Körper (Algebra)|Körper]] <math>\R</math> der [[Reelle Zahl|reellen Zahlen]] zugrunde gelegt.

=== Simplex ===
Bildet man in <math>V</math> zu einem [[Simplex (Mathematik)#Definitionen|affin unabhängigen]] [[Tupel]] <math>(x_i)_{i=0,1, \ldots , n} \; (n \in \N , n \leq m </math>) die [[konvexe Hülle]] dieser <math>n+1</math> Punkte, so erhält man das ''[[Simplex (Mathematik)|n-Simplex]] <math>\Delta = \Delta ({x_0 ,\, \ldots ,\, x_n}) \subset V</math>''. Die <math>x_0 ,\, \ldots ,\, x_n </math> heißen die ''Eckpunkte'' oder ''Ecken'' des zugehörigen n-Simplexes und <math>n</math> seine ''Dimension''.<ref>Harzheim: ''Einführung in die kombinatorische Topologie.'' 1978, S. 26 ff.</ref><ref>Ossa: ''Topologie.'' 2009, S. 7 ff.</ref><ref>Rinow: ''Lehrbuch der Topologie.'' 1975, S. 298 ff.</ref> Im Folgenden wird für die Menge <math>\{x_0 ,\, \ldots ,\, x_n \}</math> der Eckpunkte des n-Simplexes <math>\Delta </math> auch <math>E(\Delta) </math> geschrieben.

=== Seite eines Simplexes ===
Bildet man für eine [[Teilmenge]] <math>\{x_{i_0} ,\, \ldots ,\, x_{i_r} \} \subseteq \{x_0 ,\, \ldots ,\, x_n \}</math> mit <math>0 \leq i_1 < \dots < i_r \leq n</math> in gleicher Weise die konvexe Hülle, so erhält man ein ''Untersimplex <math>{\Delta}^* = \Delta ({x_{i_0} ,\, \ldots ,\, x_{i_r} }) \subseteq \Delta</math>'', welches man als ''(r-dimensionale) Seite von <math>\Delta </math>'' bezeichnet.<ref>Harzheim: ''Einführung in die kombinatorische Topologie.'' 1978, S. 29.</ref>

=== Simplizialer Komplex und Eckenmenge ===
Ein ''(endlicher) simplizialer Komplex''<ref>Harzheim: ''Einführung in die kombinatorische Topologie.'' 1978, S. 33 ff.</ref><ref>In den meisten Quellen, vgl. etwa Harzheim: ''Einführung in die kombinatorische Topologie.'' 1978, S. 34, wird die Endlichkeit des Komplexes grundsätzlich vorausgesetzt.</ref> in dem euklidischen Raum <math>V</math> ist eine [[Familie (Mathematik)|Familie]] <math>\mathcal{K}</math> von [[Simplex (Mathematik)|Simplexen]] von <math>\mathcal {V}</math> mit folgenden Eigenschaften:
# Mit jedem Simplex <math>{{\Delta}^*} \in \mathcal{K}</math> gehört auch jede Seite von <math>{{\Delta}^*} </math> zu <math>\mathcal{K}</math>.
# Der Schnitt <math>{{\Delta}^*}_1 \cap {{\Delta}^*}_2 </math> zweier Simplexe von <math> {{\Delta}^*}_1 ,\, {{\Delta}^*}_2 \in \mathcal{K}</math> ist leer oder gemeinsame Seite beider Simplexe <math> {{\Delta}^*}_1 ,\, {{\Delta}^*}_2 </math>.
# <math>\mathcal{K}</math> ist eine [[endliche Menge]].

Die Familie der Seiten eines n-Simplexes <math>\Delta = \Delta ({x_0 ,\, \ldots ,\, x_n}) \subset V </math> bildet stets einen ''endlichen simplizialen Komplex''.

Bildet man die Vereinigungsmenge <math> E = E(\mathcal{K}) = \bigcup_{ {{\Delta}^*} \in \mathcal{K} } E({\Delta}^*) </math>, so erhält man die ''Eckenmenge von <math>\mathcal{K}</math>'', nämlich die Menge aller Eckpunkte der in <math>\mathcal{K}</math> vorkommenden Simplexe.

=== Polyeder und Triangulation ===
Die Vereinigungsmenge <math>\bigcup {\mathcal{K}} </math>, gebildet über alle Simplexe eines ''simplizialen Komplexes'' <math>\mathcal{K} </math>, nennt man das [[Simplex (Mathematik)#Euklidischer simplizialer Komplex|zu <math>\mathcal{K} </math> gehörige Polyeder]] und <math>\mathcal{K} </math> seine ''Triangulation''. Man sagt dann, das Polyeder werde ''durch <math>\mathcal{K} </math> trianguliert''. Da hier vorausgesetzt ist, dass <math>\mathcal{K} </math> eine endliche Familie ist, handelt es sich bei einem solchen Polyeder stets um eine [[Kompakter Raum#Kompaktheit in topologischen Räumen|kompakte Teilmenge]] des zugrundeliegenden euklidischen Raumes <math> V</math>.<ref>Harzheim: ''Einführung in die kombinatorische Topologie.'' 1978, S. 37.</ref>

=== Seitpunkt und mittlerer Punkt ===
Ein Punkt <math> x \in \Delta </math> heißt ein ''Seitpunkt von <math>\Delta = \Delta ({x_0 ,\, \ldots ,\, x_n})</math>'', wenn <math> x </math> in einer ''echten Seite'' <math> \Delta ({x_{i_0} ,\, \ldots ,\, x_{i_r} }) \subset \Delta </math> (mit <math>\{x_{i_0} ,\, \ldots ,\, x_{i_r} \} \subset \{x_0 ,\, \ldots ,\, x_n \} </math>) enthalten ist. Andernfalls wird er als ''mittlerer Punkt von <math>\Delta</math>'' bezeichnet.

<math> x \in \Delta </math> ist also ein ''mittlerer Punkt von <math>\Delta = \Delta ({x_0 ,\, \ldots ,\, x_n})</math>'' dann und nur dann, wenn seine bzgl. der Eckpunkte <math>x_0 ,\, \ldots ,\, x_n </math> gebildeten [[Baryzentrische Koordinaten|baryzentrischen Koordinaten]] alle größer <math> 0 </math> sind. Dementsprechend ist <math> x \in \Delta </math> ist genau dann ein ''Seitpunkt von <math>\Delta = \Delta ({x_0 ,\, \ldots ,\, x_n})</math>'', wenn eine seiner bzgl. <math>x_0 ,\, \ldots ,\, x_n </math> gebildeten baryzentrischen Koordinaten gleich <math> 0 </math> ist.<ref>Harzheim: ''Einführung in die kombinatorische Topologie.'' 1978, S. 30.</ref>

=== Trägersimplex ===
Für einen Punkt <math>x \in \Delta = \Delta ({x_0 ,\, \ldots ,\, x_n}) </math> existiert stets exakt eine Seite <math>{\Delta}_x \subseteq \Delta</math>, von welcher <math>x </math> ein ''mittlerer Punkt'' ist. Es ist <math>{\Delta}_x </math> die ''Seite kleinster Dimension'' unter all den Seiten <math> \Delta ({x_{i_0} ,\, \ldots ,\, x_{i_r} }) \subseteq \Delta </math>, in denen <math>x </math> enthalten ist. Dieses <math>{\Delta}_x </math> nennt man kurz das ''Trägersimplex von'' <math>x \, </math> (in <math> \Delta = \Delta ({x_0 ,\, \ldots ,\, x_n}) </math>).<ref name="Harzheim.37">Harzheim: ''Einführung in die kombinatorische Topologie.'' 1978, S. 37.</ref>

Die zu den Ecken dieser Seite <math>{\Delta}_x </math> gehörige Indexmenge <math>\{i_0 ,\, \ldots ,\, i_r\}</math> wird im Folgenden mit <math>I_x </math> bezeichnet.

=== Spernersche Eckpunktbezifferung und komplette Simplexe ===
Ist ein [[Simplex (Mathematik)|n-Simplex]] <math>\Delta = \Delta ({x_0 ,\, \ldots ,\, x_n}) \subset V </math> fest gegeben und dazu ein ''(endlicher) simplizialer Komplex'' <math>\mathcal{K} </math> , welcher dieses Simplex ''trianguliert'', und ist weiter <math>f\colon\, E \to \{ 0 ,\, \ldots , n \} </math> eine Abbildung, welche die Bedingung ''' <math> f(e) \in I_e </math>''' für jede <math>\mathcal{K} </math>-Ecke <math> e \in E = E(\mathcal{K}) </math> erfüllt ('''Sperner-Bedingung'''), so bezeichnet man ein solches <math>f\colon\, E \to \{ 0 ,\, \ldots , n \} </math> als '''Eckpunktbezifferung'''<ref name="Harzheim.37" /> oder '''spernersche Eckpunktbezifferung''' (engl. ''Sperner labelling''<ref>Henle: ''A Combinatorial Introduction to Topology.'' 1994, S. 38.</ref>).

Für jedes Simplex <math>{{\Delta}^*} \in \mathcal{K}</math> setzt man dann <math> f[{{\Delta}^*}] = \{f(e): e \in E({{\Delta}^*}) \} </math>.

Es ist offenbar stets <math> f[{{\Delta}^*}] \subseteq \{ 0 ,\, \ldots , n \} </math>. Gilt sogar ''' <math> f[{{\Delta}^*}] = \{ 0 ,\, \ldots , n \} </math>''', so bezeichnet man ein solches Simplex <math> {{\Delta}^*} \in \mathcal{K}</math> als '''komplett'''.<ref name="Harzheim.57">Harzheim: ''Einführung in die kombinatorische Topologie.'' 1978, S. 57.</ref>

=== Formulierung des Spernerschen Lemmas ===
Das '''Spernersche Lemma''' kann man formulieren wie folgt:<ref name="Harzheim.57" />
: ''Für jede Spernersche Eckpunktbezifferung ist die Anzahl der kompletten Simplexe ungerade. Insbesondere hat jede Spernersche Eckpunktbezifferung stets mindestens ein komplettes Simplex.''

== Zweidimensionales Beispiel ==
[[Datei:Sperner2d.svg|250px|mini|Spernersche Eckpunktbezifferung eines triangulierten 2-Simplex]]

In der Abbildung rechts bildet das äußerste Dreieck den 2-Simplex <math>\Delta = \Delta(x_0, x_1, x_2)</math>
und die kleineren Dreiecke zusammen mit ihren Seiten und Ecken die Triangulation <math>\mathcal K</math>.
Die spernersche Eckpunktbezifferung lässt sich als Färbung der Menge <math>E(\mathcal K)</math> veranschaulichen, die Werte <math>0</math>, <math>1</math> und <math>2</math> entsprechen dabei ''rot'', ''grün'' und ''blau''.
Die Ecken von <math>\Delta</math> müssen stets unterschiedlich gefärbt sein, also unterschiedliche Werte <math>f(e)</math> erhalten, da sie nur für ihre jeweiligen 0-Untersimplizies mittlere Punkte sind.
Das Trägersimplex der obersten roten Ecke ist beispielsweise <math>\Delta_{x_0} = \Delta(x_0)</math> und ihre Indexmenge ist entsprechend <math>I_{x_0} = \{0\}</math>.
Die Ecken der Triangulation, die auf einer der Seiten des äußerem Dreiecks liegen, dürfen jeweils aus den beiden Farben der Endpunkte dieser Seite wählen.
Die grüne Ecke im unteren rechten Bereich des Dreiecks ist die einzige, deren Trägersimplex ganz <math>\Delta</math> ist, sie kann also eine beliebige der drei Farben annehmen.
Das spernersche Lemma besagt nun, dass es in jeder solchen Färbung eine ungerade Anzahl von kleineren Dreiecken gibt, deren Eckpunkte alle unterschiedlich gefärbt sind.
Im Beispiel sind das die drei grau hinterlegten, für diese Simplizes <math>\Delta^*</math> gilt <math>f[\Delta^*] = \{0,1,2\}</math>.

== Anwendung des Lemmas: Der Pflastersatz von Lebesgue ==
Zu den bedeutenden topologischen Sätzen, welche mit dem Spernerschen Lemma zu gewinnen sind, zählt als einer der wichtigsten der ''Pflastersatz von Lebesgue'', der eine wesentliche Rolle in der [[Dimensionstheorie]] spielt:<ref name="EH-01">Harzheim: ''Einführung in die kombinatorische Topologie.'' 1978, S. 64.</ref>
: ''Es seien <math>n \in \N</math> sowie <math>\Delta \subset \R^n</math> ein gegebenes n-Simplex mit den Eckpunkten <math>x_0 ,\, \ldots ,\, x_n</math>. Für <math>j=0,1, \ldots , n</math> sei <math>{\Delta }_j</math> die dem Eckpunkt <math>x_j</math> in <math>\Delta</math> gegenüberliegende <math>(n-1)</math>-dimensionale Seite, also diejenige Seite, deren Eckenmenge aus allen <math>x_k \neq x_j</math> besteht.''
: ''Weiter sei eine [[endliche Menge]] <math>\mathcal {A}</math> von [[Abgeschlossene Teilmenge|abgeschlossenen Teilmengen]] des <math>\R^n</math> gegeben, welche <math>\Delta</math> [[Überdeckung (Mathematik)|überdecken]].''
: ''Dann gilt:''
: ''Gibt es zu jedem <math>A \in \mathcal {A}</math> mindestens ein <math>{\Delta }_{j(A)}</math> derart, dass die [[Schnittmenge]] <math>A \cap {\Delta }_{j(A)}</math> die [[leere Menge]] ist, so gibt es in <math>\mathcal {A}</math> stets <math>n+1</math> Mengen, die eine [[nichtleer]]e Schnittmenge haben.''

=== Korollar ===
Der Lebesgue’sche Pflastersatz zieht eine direkte Folgerung nach sich. Sie besagt:<ref name="EH-01" />
: ''Für <math>n \in \N</math> und für jedes beliebige n-Simplex <math>\Delta \subset \R^n</math> gibt es stets ein <math>\epsilon > 0</math> mit folgender Eigenschaft:''
: ''Ist <math>\mathcal {A}</math> eine endliche Menge abgeschlossener Teilmengen des <math>\R^n</math>, die <math>\Delta</math> überdecken, und hat jedes <math>A \in \mathcal {A}</math> einen [[Durchmesser#Durchmesser in metrischen Räumen|Durchmesser]] <math>\operatorname{diam}(A) < \epsilon</math>, so gibt es in <math>\mathcal {A}</math> stets <math>n+1</math> Mengen mit nichtleerer Schnittmenge.''

== Verwandter Artikel ==
*[[Satz von Borsuk-Ulam]]

== Literatur ==
'''Artikel'''
* {{Literatur
|Autor=[[Bronisław Knaster]], [[Kazimierz Kuratowski|Casimir Kuratowski]], [[Stefan Mazurkiewicz]]
|Titel=Ein Beweis des Fixpunktsatzes für n-dimensionale Simplexe
|Sammelwerk=[[Fundamenta Mathematicae]]
|Band=14
|Datum=1929
|Seiten=132–137
|DOI=10.4064/fm-14-1-132-137}}
* {{Literatur
|Autor=Emanuel Sperner
|Titel=Neuer Beweis für die Invarianz der Dimensionszahl und des Gebietes
|Sammelwerk=[[Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg|Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Hamburgischen Universität]]
|Band=6
|Datum=1928
|Seiten=265–272
|DOI=10.1007/BF02940617}}
* {{Literatur
|Autor=Francis Edward Su
|Titel=Rental Harmony: Sperner’s Lemma in Fair Division
|Sammelwerk=[[American Mathematical Monthly|The American Mathematical Monthly]]
|Band=106
|Nummer=10
|Datum=1999
|Seiten=930–942
|DOI=10.2307/2589747}}

'''Monographien'''
* {{Literatur
|Autor=[[Wolfgang Franz (Mathematiker)|Wolfgang Franz]]
|Titel=Topologie I: Allgemeine Topologie
|Reihe=[[Sammlung Göschen]]
|BandReihe=1181
|Auflage=3.
|Verlag=Walter de Gruyter & Co.
|Ort=Berlin
|Datum=1968
|Seiten=132–135
|Online=[https://mathscinet.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Franz%20&s5=Topologie&s6=&s7=&s8=All&sort=Newest&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=3&mx-pid=264578 MR0264578]}}
* {{Literatur
|Autor=[[Egbert Harzheim]]
|Titel=Einführung in die kombinatorische Topologie
|Verlag=Wissenschaftliche Buchgesellschaft
|Ort=Darmstadt
|Datum=1978
|ISBN=3-534-07016-X}}
* {{Literatur
|Autor=Michael Henle
|Titel=A Combinatorial Introduction to Topology
|Auflage=Überarbeitete
|Verlag=Dover Publications
|Ort=New York
|Datum=1994
|ISBN=0-486-67966-7
|JahrEA=1979}}
* {{Literatur
|Autor=Erich Ossa
|Titel=Topologie. Eine anschauliche Einführung in die geometrischen und algebraischen Grundlagen
|Auflage=2., überarbeitete
|Verlag=Vieweg+Teubner
|Ort=Wiesbaden
|Datum=2009
|ISBN=978-3-8348-0874-5}}
* {{Literatur
|Autor=[[Willi Rinow]]
|Titel=Lehrbuch der Topologie
|Reihe=Hochschulbücher für Mathematik
|BandReihe=79
|Verlag=Deutscher Verlag der Wissenschaften
|Ort=Berlin
|Datum=1975}}
* {{Literatur
|Autor=[[Michael Jeremy Todd|Michael J. Todd]]
|Titel=The computation of fixed points and applications
|Reihe=Lecture notes in economics and mathematical systems
|BandReihe=124
|Verlag=Springer
|Ort=Berlin u. a.
|Datum=1976
|ISBN=3-540-07685-9}}

== Weblinks ==
* {{TIBAV |11510 |Linktext=Das Spernersche Lemma |Herausgeber=IWF |Jahr=1983 |DOI=10.3203/IWF/D-1504 }}

== Einzelnachweise ==
<references>
<ref name="Fund. Math.14">
{{Literatur
|Autor=Knaster, Kuratowski, Mazurkiewicz
|Titel=Ein Beweis des Fixpunktsatzes für n-dimensionale Simplexe
|Sammelwerk= Fundamenta Mathematicae
|Band=14
|Datum=1929
|Seiten=132 ff}}
</ref>
<ref name="Hamburg.265ff">
{{Literatur
|Autor=Sperner
|Titel=Neuer Beweis für die Invarianz der Dimensionszahl und des Gebietes|Sammelwerk=Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Hamburgischen Universität
|Band=6
|Datum=1928
|Seiten=265 ff}}
</ref>
<ref name="Su">
{{Literatur
|Autor=Su
|Titel=Rental Harmony: Sperner’s Lemma in Fair Division
|Sammelwerk=The American Mathematical Monthly
|Band=106
|Datum=1999
|Seiten=930 ff}}
</ref>
</references>

[[Kategorie:Satz (Algebraische Topologie)|Sperner, Lemma von]]
[[Kategorie:Satz (Topologie)|Sperner, Lemma von]]

Lemma von Sperner - Versionsgeschichte

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