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2026-02-13T10:19:09Z

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Das '''Lemma von Jordan''' (nach [[Marie Ennemond Camille Jordan]]) ist ein [[Mathematik|mathematisches]] Hilfsmittel der [[Funktionentheorie]]. Es wird zusammen mit dem [[Residuensatz]] verwendet, um Integrale aus der reellen Analysis zu berechnen.

== Aussage ==
Ist <math>\alpha>0</math> und konvergiert in der oberen [[Halbebene]] <math>g</math> [[Gleichmäßige Konvergenz|gleichmäßig]] gegen Null für alle <math>|z|\to\infty</math>, dann gilt
:<math>\int_{K_R} g(z)\, e^{i\alpha z} dz\to 0</math>
für <math>R\to\infty</math>.

Dies gilt auch, wenn <math>\alpha=0</math> ist und zusätzlich <math>z\cdot g(z)</math> in der oberen Halbebene gleichmäßig gegen Null strebt. Völlig analog lässt sich das Lemma für die untere Halbebene formulieren.

== Anwendung ==
[[Datei:Jordan_Kurve.png|miniatur|Integrationsweg <math>\gamma_R</math> als halbkreisförmige Kurve <math>K_R</math>, die durch das reelle Intervall [-R,R] geschlossen wird]]

Viele [[Uneigentliches Integral|uneigentliche Integrale]] der Form <math>\textstyle \int_{-\infty}^\infty f(z) \, dz</math> lassen sich, falls sie existieren, in der folgenden Weise berechnen: Man integriert <math>f</math> auf einer geschlossenen halbkreisförmigen [[Kurvenintegral|Kurve]] <math>\gamma_R</math>, die entsteht, wenn zuerst auf der reellen Achse von <math>-R</math> nach <math>R</math> und von dort im Halbkreisbogen <math>K_R</math> zurück nach <math>-R</math> integriert.

Man stellt fest, dass für <math>R\to\infty</math> das Integral <math>\textstyle \int_{K_R} f\, dz</math> verschwindet und somit
:<math>\oint_{\gamma_R} f dz=\int_{[-R,R]} f\, dz+\int_{K_R} f\, dz \xrightarrow[R\to\infty]\ \int_\mathbb{R} f \, dz</math> gilt.

Nach dem [[Residuensatz]] ist dann
:<math>\int_\mathbb{R} f \, dz=\lim_{R\to\infty}\oint_{\gamma_R} f dz=2\pi i\sum_{\mathrm{Im} z>0} \mathrm{Res} f|_z</math>.

Um dabei immer wiederkehrende Abschätzungen für Integrale der Form <math>\textstyle \int_{K_R} g(z)\, e^{i\alpha z} dz</math> zu vermeiden, benutzt man das Lemma von Jordan.

== Beispiele ==
=== 1. Beispiel ===
Es sei <math>g(z)=\tfrac{1}{1+z^2}</math> und <math>f(z)=g(z)\, e^{i\alpha z}</math>. Hier ist das Jordan-Lemma anwendbar und es gilt
:<math>\lim_{R\to\infty} \int_{K_R} f(z)\, dz=0.</math>

Also gilt für das Integral über die reelle Achse
:<math>\int_{\mathbb{R}} f(z)\, dz=2\pi i\, \mathrm{Res} f|_i=\pi\, e^{-\alpha}</math>.

Spaltet man <math>e^{i\alpha z}</math> mit Hilfe der [[Eulersche Identität|Eulerschen Identität]] in [[Realteil|Real- und Imaginärteil]] auf, so erhält man die Gleichheit
:<math>\int_{-\infty}^\infty \frac{\cos(\alpha x)}{1+x^2}\, dx=\pi\, e^{-\alpha}</math>.

=== 2. Beispiel ===
Es sei <math>g(z)=\tfrac{z}{1+z^2}</math>. Analog zum 1. Beispiel ist <math>\textstyle \int_{\mathbb{R}} f(z)\, dz=2\pi i\, \mathrm{Res} f|_i=i\pi\, e^{-\alpha}</math> und somit
:<math>\int_{-\infty}^\infty \frac{x\sin(\alpha x)}{1+x^2}\, dx=\pi\, e^{-\alpha}</math>.

== Beweis des Lemmas von Jordan ==
Das Integral <math>\textstyle I_R:=\int_{K_R} g(z)\, e^{i\alpha z}\, dz</math> lässt sich nach [[Integration durch Substitution|Substitution]] <math>z=R\, e^{i\varphi}</math> schreiben als <math>\textstyle \int_0^\pi g\left(R e^{i\varphi}\right)\, e^{i\alpha R e^{i\varphi}} \, R\, e^{i\varphi}\, i \, d\varphi</math>. Abschätzung des Betrages nach oben ergibt
:<math>|I_R|\le R \,\varepsilon_R \int_0^\pi e^{-\alpha R \sin \varphi}\, d\varphi</math>

mit <math>\textstyle \varepsilon_R:=\max_{z\in K_R} |g(z)|</math>. Daraus folgt
:<math>|I_R|\le 2R \,\varepsilon_R \int_0^\frac{\pi}{2} e^{-\alpha R \sin \varphi}\, d\varphi</math>,

da der Integrand <math>e^{-\alpha R \sin \varphi}</math> bezüglich <math>\varphi=\tfrac{\pi}{2}</math> achsensymmetrisch ist. Nach der Jordanschen Ungleichung ist <math>\sin(\varphi)\ge \tfrac{2}{\pi}\, \varphi</math> für alle <math>\varphi\in\left[0,\tfrac{\pi}{2}\right]</math> und daher
:<math>|I_R|\le 2R \, \varepsilon_R \int_0^\frac{\pi}{2} e^{-\alpha R \frac{2}{\pi} \varphi}\, d\varphi =\frac{\pi\, \varepsilon_R}{\alpha} \left(1-e^{-\alpha R}\right)\le \frac{\pi\, \varepsilon_R}{\alpha}\to 0</math> für <math>R\to\infty</math>.

== Literatur ==
* {{EoM
| Titel = Jordan Lemma
| Autor = E. D. Solomentsev
| Url = http://eom.springer.de/J/j054330.htm
}}

[[Kategorie:Funktionentheorie]]
[[Kategorie:Satz (Mathematik)|Jordan, Lemma von]]

Lemma von Jordan - Versionsgeschichte

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