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Das '''Lemma von Jones''' ist ein Resultat aus dem [[Mathematik|mathematischen]] [[Teilgebiete der Mathematik|Teilgebiet]] der [[Topologie (Mathematik)|Topologie]], welches auf den US-amerikanischen Mathematiker [[F. Burton Jones]] (1910–1999) zurückgeht.<ref>Jones: ''Remarks on the Normal Moore Space Metrization Problem.'' In: Bing, Bean (Hrsg.): ''Topology Seminar Wisconsin, 1965.'' 1966, S. 115–119, hier S. 117.</ref><ref>Dugundji: ''Topology.'' 1973, S. 144.</ref><ref>Willard: ''General Topology.'' 1970, S. 100.</ref> Es liefert ein Kriterium, mit dem sich zeigen lässt, dass ein [[topologischer Raum]] ''kein [[normaler Raum]]'' ist. Die Frage der [[Normalität (Topologie)|Normalität]] eines topologischen Raumes ist wegen des Zusammenhangs mit dem [[Metrisationsproblem]]<ref>Dugundji: ''Topology.'' 1973, S. 193.</ref><ref>Führer: ''Allgemeine Topologie mit Anwendungen.'' 1977, S. 127 ff.</ref><ref>Nagata: ''Modern General Topology.'' 1985, S. 244 ff.</ref><ref>Schubert: ''Topologie.'' 1975, S. 95 ff.</ref><ref>Willard: ''General Topology.'' 1970, S. 161.</ref> bedeutsam, denn ein [[metrischer Raum]] ist stets normal.<ref>Schubert: ''Topologie.'' 1975, S. 78.</ref>

== Formulierung des Resultats ==
Gegeben seien ein topologischer Raum <math>X</math> und darin eingelagert zwei [[Unterraum#Topologischer Raum|Unterräume]] <math>D_0 \subseteq X</math> und <math>D_1 \subseteq X</math>, für welche die folgenden Nebenbedingungen erfüllt seien:

* <math>D_0</math> sei ein [[Abgeschlossene Menge|abgeschlossener]] Unterraum von <math>X</math> und bzgl. der [[Unterraumtopologie]] [[Diskrete Topologie|diskret]].
* <math>D_1</math> liege [[Dichte Teilmenge|dicht]] in <math> X </math>.
* Es sei <math> |D_0| \geq 2^{|D_1|}</math> .

Dann ist <math>X</math> nicht normal.

== Beispiel: Der Niemytzki-Raum ==
Der [[Niemytzki-Raum]] <math> \Gamma </math>, also die abgeschlossene obere Halbebene <math>\overline{\mathbb{H}} \subset {\mathbb{R} \times \mathbb{R}}</math>, versehen mit der Niemytzki-Topologie, erfüllt die Voraussetzungen des Lemmas von Jones mit <math>D_0 = \mathbb{R} \times \{ 0 \} </math> und <math>D_1 = ({\mathbb{Q} \times \mathbb{Q}}) \cap \overline{\mathbb{H}} </math>.<ref>Naber: ''Set-theoretic Topology.'' 1977, S. 109–110.</ref><ref>Nagata: ''Modern General Topology.'' 1985, S. 83–84.</ref>

== Literatur ==
'''Artikel'''
* F. Burton Jones: ''Remarks on the Normal Moore Space Metrization Problem.'' In: [[R. H. Bing]], Ralph J. Bean (Hrsg.): ''Topology Seminar Wisconsin, 1965'' (= ''Annals of Mathematics Studies.'' Bd. 60, {{ISSN|0066-2313}}). Princeton University Press, Princeton NJ 1966, S. 115–119.

'''Monographien'''
* {{Literatur
|Autor=[[James Dugundji]]
|Titel=Topology
|Verlag=8th printing. Allyn and Bacon
|Ort=Boston MA
|Datum=1973}}
* {{Literatur
|Autor=[[Lutz Führer]]
|Titel=Allgemeine Topologie mit Anwendungen
|Verlag=Vieweg
|Ort=Braunschweig
|Datum=1977
|ISBN=3-528-03059-3}}
* {{Literatur
|Autor=Gregory Naber
|Titel=Set-theoretic Topology. With Emphasis on Problems from the Theory of Coverings, Zero Dimensionality and Cardinal Invariants
|Verlag=University Microfilms International
|Ort=Ann Arbor MI
|Datum=1977
|ISBN=0-8357-0257-X}}
* {{Literatur
|Autor=[[Jun-iti Nagata]]
|Titel=Modern General Topology
|Reihe=North Holland Mathematical Library
|BandReihe=33
|Auflage=2. überarbeitete
|Verlag=North-Holland Publishing
|Ort=Amsterdam / New York / Oxford
|Datum=1985
|ISBN=0-444-87655-3
|Online=[http://ams.math.uni-bielefeld.de/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&review_format=html&s4=Nagata&s5=Modern&s6=&s7=&s8=All&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=1&mx-pid=831659 MR0831659]}}
* {{Literatur
|Autor=[[Horst Schubert (Mathematiker)|Horst Schubert]]
|Titel=Topologie. Eine Einführung
|Auflage=4.
|Verlag=B. G. Teubner
|Ort=Stuttgart
|Datum=1975
|ISBN=3-519-12200-6}}
* {{Literatur
|Autor=Stephen Willard
|Titel=General Topology
|Verlag=Addison-Wesley
|Ort=Reading MA u. a.
|Datum=1970}}

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Satz (Mathematik)|Jones, Lemma von]]
[[Kategorie:Trennbarkeit]]

Lemma von Jones - Versionsgeschichte

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