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2023-02-13T00:19:06Z

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{{Dieser Artikel|erläutert den Satz über die holomorphe Fortsetzung in Polyzylindern, für andere Bedeutungen siehe [[Satz von Hartogs]].}}

In der [[Funktionentheorie]] wird üblicherweise als '''Lemma von Hartogs''' (manchmal auch ''[[Kontinuitätssatz von Hartogs]]'') eine Aussage bezeichnet, wonach eine in einer Umgebung des Randes eines [[Polyzylinder]]s definierte [[holomorphe Funktion]] in den ganzen Polyzylinder holomorph fortgesetzt werden kann.

== Aussage ==
Sei <math>P := \left\{ (z_1, \dots, z_n) \in \mathbb{C}^n \,:\, \left| z_j \right| < 1 \; j=1,\dots,n \right\}</math> der Einheits-Polyzylinder in <math>\mathbb{C}^n, \quad n>1</math>, <math>V \subseteq \mathbb{C}^n</math> eine Umgebung des Randes <math>\partial P</math> derart, dass <math>V \cap P</math> zusammenhängend ist. Dann existiert für jede holomorphe Funktion <math>f\colon V \rightarrow \mathbb{C}</math> eine holomorphe Funktion <math>F\colon V \cup P \rightarrow \mathbb{C}</math> so, dass <math>F|_V = f</math> gilt, also <math>F</math> eine holomorphe Fortsetzung von <math>f</math> auf ganz <math>P</math> darstellt.

== Bedeutung ==
Die Bedingung <math>n > 1</math> ist wesentlich. Im komplex-eindimensionalen Fall ist eine entsprechende Aussage falsch; z. B. ist die Funktion <math>f \colon \mathbb{C}^* \rightarrow \mathbb{C}, \; z \mapsto \tfrac{1}{z}</math> holomorph in einer Umgebung des Randes der [[Einheitskreisscheibe]], besitzt aber offensichtlich keine holomorphe Fortsetzung im Nullpunkt. Im höherdimensionalen Fall kann dieses Phänomen jedoch nicht mehr auftreten, weil die Singularitäten holomorpher Funktionen nicht mehr isoliert liegen und in keinem [[Kompakter Raum|Kompaktum]] innerhalb des Polyzylinders Platz fänden, also ebenfalls am Rand liegen würden, was aber nach der Voraussetzung des Satzes ausgeschlossen ist.

== Literatur ==
* Steven G. Krantz: ''Function Theory of Several Complex Variables.'' AMS Chelsea Publishing, Providence, Rhode Island 1992.

[[Kategorie:Funktionentheorie]]
[[Kategorie:Satz (Mathematik)|Hartogs]]

Lemma von Hartogs - Versionsgeschichte

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