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2024-11-03T22:15:57Z

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[[Datei:Pierre Fatou.jpg|mini|Namensgeber Pierre Fatou]]
Das '''Lemma von Fatou''' (nach [[Pierre Fatou]]) erlaubt in der [[Mathematik]], das [[Lebesgue-Integral]] des [[Limes inferior]] einer [[Funktionenfolge]] durch den Limes inferior der Folge der zugehörigen Lebesgue-Integrale nach oben abzuschätzen. Es liefert damit eine Aussage über die Vertauschbarkeit von [[Grenzwert (Folge)|Grenzwertprozessen]].

== Mathematische Formulierung ==
Sei <math>(S,\Sigma,\mu)</math> ein [[Maßraum]]. Für jede Folge <math>(f_n)_{n\in\N}</math> nichtnegativer, [[Messbare Funktion|messbarer Funktionen]] <math>f_n\colon S\to\R\cup\{\infty\}</math> gilt
:<math>\int_S \liminf_{n\rightarrow\infty} f_n \ \mathrm{d}\mu \le \liminf_{n\rightarrow\infty} \int_S f_n \ \mathrm{d}\mu,</math>
wobei auf der linken Seite der Limes inferior der Folge <math>(f_n)_{n\in\N}</math> [[Punktweise Konvergenz|punktweise]] zu verstehen ist.

Analog gilt dieser Satz auch für den Limes superior, sofern es eine nichtnegative, integrierbare Funktion <math>g</math> mit <math>f_n \le g</math> gibt:
: <math>\int_S \limsup_{n\rightarrow\infty} f_n \ \mathrm{d}\mu \ge \limsup_{n\rightarrow\infty} \int_S f_n \ \mathrm{d}\mu</math>.
Dies lässt sich zusammenfassen zu der Merkregel
:<math>\int_S \liminf_{n\rightarrow\infty} f_n \ \mathrm{d}\mu
\le \liminf_{n\rightarrow\infty} \int_S f_n \ \mathrm{d}\mu
\leq \limsup_{n\rightarrow\infty} \int_S f_n \ \mathrm{d}\mu
\leq \int_S \limsup_{n\rightarrow\infty} f_n \ \mathrm{d}\mu
\leq \int_S g \ \mathrm{d}\mu.</math>

== Beweisidee ==
Um das Lemma von Fatou für den Limes inferior zu beweisen, wendet man auf die [[monoton wachsende Funktionenfolge]]
: <math> g_n := \inf_{k\geq n}f_k \nearrow \liminf_{n\rightarrow\infty} f_n</math>
den [[Satz von der monotonen Konvergenz]] an. Mit der daraus resultierenden Gleichung und der auf der Monotonie des Integrals basierenden Ungleichung
: <math>\int_S\left(\inf_{k\geq n}f_k\right) \le \int_S f_n</math>
erhält man aus den Rechenregeln für den Limes:
: <math>\int_S \liminf_{n\rightarrow\infty} f_n = \lim_{n\rightarrow\infty} \int_S \left(\inf_{k\geq n}f_k\right) \le \liminf_{n\rightarrow\infty} \int_S f_n</math>.

Für das Lemma von Fatou mit Limes superior kann man analog verfahren, denn nach Voraussetzung ist
<math>g_1 = \sup_{k\geq 1}f_k \le g</math> mit <math>g</math> integrierbar, also ist <math>g_1</math> integrierbar.

== Beispiele für strikte Ungleichung ==
Der Grundraum <math>S</math> sei jeweils versehen mit der [[Borelsche σ-Algebra|borelschen σ-Algebra]] und dem [[Lebesgue-Maß]].
* Beispiel für einen [[Wahrscheinlichkeitsraum]]: Sei <math>S=[0,1]</math> das Einheitsintervall. Definiere <math>f_n(x)=n\mathbf{1}_{(0,\frac1n)}(x)</math> für alle <math>n\in\N</math> und <math>x\in S</math>, wobei <math>\mathbf{1}_{(0,\frac1n)}</math> die [[Indikatorfunktion]] des [[Intervall (Mathematik)|Intervalls]] <math>(0,\tfrac1n)</math> bezeichne.
* Beispiel mit [[Gleichmäßige Konvergenz|gleichmäßiger Konvergenz]]: Sei <math>S</math> die Menge der [[Reelle Zahl|reellen Zahlen]]. Definiere <math>f_n(x)=\tfrac1n \mathbf{1}_{[0,n]}(x)</math> für alle <math>n\in\N</math> und <math>x\in S</math>. (Beachte, dass es in diesem Beispiel keine integrierbare Majorante gibt und daher der sup-Teil des Lemmas von Fatou nicht anwendbar ist.)

Jedes <math>f_n</math> hat Integral eins,
:<math>\int_S f_n \ \mathrm{d}\mu=1</math>
deshalb gilt
:<math>1
=\lim_{n\rightarrow\infty} \int_S f_n \ \mathrm{d}\mu
=\liminf_{n\rightarrow\infty} \int_S f_n \ \mathrm{d}\mu
=\limsup_{n\rightarrow\infty} \int_S f_n \ \mathrm{d}\mu</math>
Die Folge <math>(f_n)_{n\in\N}</math> konvergiert auf <math>S</math> punktweise gegen die [[Nullfunktion]]
:<math>0
=\lim_{n\rightarrow\infty} f_n
=\liminf_{n\rightarrow\infty} f_n
=\limsup_{n\rightarrow\infty} f_n,</math>
daher ist das Integral ebenfalls Null
:<math>0=\int_S \liminf_{n\rightarrow\infty} f_n \ \mathrm{d}\mu
= \int_S \limsup_{n\rightarrow\infty} f_n \ \mathrm{d}\mu,</math>
daher gelten hier die strikten Ungleichungen
:<math>\int_S \liminf_{n\rightarrow\infty} f_n \ \mathrm{d}\mu < \liminf_{n\rightarrow\infty} \int_S f_n \ \mathrm{d}\mu,</math>
: <math>\int_S \limsup_{n\rightarrow\infty} f_n \ \mathrm{d}\mu < \limsup_{n\rightarrow\infty} \int_S f_n \ \mathrm{d}\mu</math>

== Diskussion der Voraussetzungen ==
Auf die Voraussetzung der Nichtnegativität der einzelnen Funktionen kann nicht verzichtet werden, wie das folgende Beispiel zeigt: Sei <math>S</math> das halboffene Intervall <math>[0, \infty)</math> mit der borelschen σ-Algebra und dem Lebesgue-Maß. Für alle <math>n \in \N</math> definiere <math>f_n(x):=-\tfrac{1}{n} \mathfrak{1}_{[0,n]}(x)</math>. Die Folge <math>(f_n)_{n\in\N}</math> konvergiert auf <math>S</math> (sogar gleichmäßig) gegen die Nullfunktion (mit Integral 0), jedes <math>f_n</math> hat aber Integral −1. Daher ist
:<math>0 = \int_S \lim_{n\rightarrow\infty} f_n \ \mathrm{d}\mu > \lim_{n\rightarrow\infty} \int_S f_n \mathrm{d}\mu = -1 </math>.

== Siehe auch ==
* [[Satz von der majorisierten Konvergenz]]
* [[Satz von der monotonen Konvergenz]]

== Literatur ==
* [[Elliott H. Lieb]], [[Michael Loss]]: ''Analysis.'' (= ''Graduate Studies in Mathematics.'' Bd. 14). 2. Auflage. American Mathematical Society, Providence RI 2001, ISBN 0-8218-2783-9.
* [[Walter Rudin]]: ''Analysis.'' Deutsche Ausgabe neu bearbeitet von [[Norbert Herrmann]]. 2., korrigierte Auflage. Oldenbourg, München u. a. 2002, ISBN 3-486-25810-9, S. 376: Kapitel 11, Satz 11.31.

[[Kategorie:Integralrechnung]]
[[Kategorie:Maßtheorie]]
[[Kategorie:Satz (Mathematik)|Fatou, Lemma von]]
[[Kategorie:Ungleichung|Fatou, Lemma von]]

Lemma von Fatou - Versionsgeschichte

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