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In der [[Mathematik]], besonders in der [[Numerische Mathematik|numerischen Analysis]], schätzt das '''Bramble-Hilbert-Lemma''', benannt nach [[James H. Bramble]] und [[Stephen R. Hilbert]], den [[Fehler]] bei [[Approximation]] einer Funktion <math>u</math> durch ein [[Polynom]] der maximalen Ordnung <math>m-1</math> mit Hilfe der Ableitungen <math>m</math>-ter Ordnung von <math>u</math> ab. Sowohl der Approximationsfehler als auch die Ableitungen von <math>u</math> werden durch [[Lp-Raum|<math>L^p</math>-Normen]] auf einem beschränkten [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] im <math>\mathbb{R}^n</math> gemessen. In der klassischen numerischen Analysis entspricht dies einer Fehlerschranke mit Hilfe der zweiten Ableitungen von <math>u</math> bei [[lineare Interpolation|linearer Interpolation]] von <math>u</math>. Jedoch gilt das Bramble-Hilbert-Lemma auch in höheren [[Dimension (Mathematik)|Dimension]]en, und der Approximationsfehler und die Ableitungen von <math>u</math> können dabei durch allgemeinere Normen gemessen werden, nämlich nicht nur in der [[Supremumsnorm|Maximumnorm]], sondern auch in gemittelten <math>L^p</math>-Normen.

Zusätzliche Regularitätsannahmen an den Rand des Gebiets sind für das Lemma von Bramble-Hilbert erforderlich. [[Lipschitz-Stetigkeit]] des Randes ist hierfür ausreichend, insbesondere gilt das Lemma für konvexe Gebiete und <math>C^1</math>-Gebiete.

Die Hauptanwendung des Lemmas von Bramble-Hilbert ist der Nachweis von Fehlerschranken mit Hilfe der Ableitungen bis zur <math>m</math>-ten Ordnung für den Fehler bei Approximation durch einen [[Operator (Mathematik)|Operator]], der Polynome der Ordnung höchstens <math>m-1</math> erhält. Das ist ein wesentlicher Schritt beim Nachweis von Fehlerschätzungen für die [[Finite-Elemente-Methode]]. Das Lemma von Bramble-Hilbert wird dort auf dem Gebiet angewandt, das aus einem Element besteht.

== Formulierung ==

Es sei <math>\textstyle \Omega</math> ein beschränktes Gebiet im <math>\textstyle \mathbb{R}^{n}</math> mit [[Lipschitz-Rand]] und Durchmesser <math>\textstyle d</math>. Weiter sei <math>m \in \mathbb{N}</math> beliebig und <math>k \in \{0, \ldots, m\}</math>.

Auf dem [[Sobolew-Raum|Sobolev-Raum]] <math>W_p^k(\Omega)</math>, verwendet man die [[Halbnorm]]
:<math> |u|_{W_p^k(\Omega)} : = \left(\sum \limits_{|\alpha| = k} \|D^{\alpha}u \|_{L^p(\Omega)}^{p} \right)^{\frac{1}{p}}.</math>

Das Lemma von Bramble-Hilbert besagt nun, dass zu jedem <math>u \in W_p^m(\Omega)</math> ein Polynom <math>v</math> existiert, dessen Grad höchstens <math>m-1</math> beträgt, so dass die Ungleichung
:<math>|u-v|_{W_p^k(\Omega)} \leq C d^{m-k}|u|_{W_p^m(\Omega)}</math>
mit einer Konstanten <math>C = C(m, \Omega)</math> erfüllt ist.

== Weblinks ==
* Raytcho D. Lazarov: ''[https://encyclopediaofmath.org/wiki/Bramble-Hilbert_lemma Bramble-Hilbert lemma].'' In: ''[[Encyclopaedia of Mathematics]]'' (englisch).

[[Kategorie:Analysis]]
[[Kategorie:Numerische Mathematik]]
[[Kategorie:Ungleichung|Bramble-Hilbert, Lemma von]]
[[Kategorie:Satz (Mathematik)|Bramble-Hilbert, Lemma von]]

Lemma von Bramble-Hilbert - Versionsgeschichte

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