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2026-03-25T14:41:23Z

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Die '''legendresche Chi-Funktion''' (nach [[Adrien-Marie Legendre]]) ist eine [[spezielle Funktion]] in der [[Mathematik]].

== Definition ==
Die legendresche Chi-Funktion ist folgendermaßen definiert:

:<math>\chi_\nu(z) = \sum_{k=0}^\infty \frac{z^{2k+1}}{(2k+1)^\nu}.</math>

Sie lässt sich auch mit dem [[Polylogarithmus]] <math>\mathrm{Li}_\nu(z)</math> ausdrücken:

:<math>\chi_\nu(z) = \frac{1}{2}\left[\operatorname{Li}_\nu(z) - \operatorname{Li}_\nu(-z)\right]</math>
:<math>\chi_\nu(z) = \operatorname{Li}_\nu(z) - \frac{1}{2^\nu}\operatorname{Li}_\nu(z^2)</math>

Die Reihendarstellungen entsprechen den geschlossenen Ausdrücken:
:<math>\chi_{-1}\left(x\right)=\frac{x\left(1+x^{2}\right)}{\left(1-x^{2}\right)^{2}} </math>
:<math>\chi_{0}\left(x\right)=\frac{x}{1-x^{2}} </math>
:<math>\chi_1(x) =\operatorname{arctanh}(x) =\frac{1}{2}\ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right)</math>
Für große <math>\nu</math> strebt die Funktion gegen <math>x</math>, d. h. <math>\chi_\infty(x) = x</math>.

Funktion für ''v'' = 2:
:<math>\chi_2(x) = \sum_{k=0}^\infty \frac{x^{2k+1}}{(2k+1)^2}</math>
Folgende Darstellungen als Integrale hat diese Funktion:
:<math>\chi_2(x) = \int_0^1\frac{\operatorname{artanh}(xy)}{y} \,\mathrm{d}y</math>
:<math>\chi_2(x) = \int_0^1\frac{\operatorname{arcsin}(xy)}{\sqrt{1-y^2}} \,\mathrm{d}y</math>
Folgende Ableitung hat diese Funktion:
:<math>\frac{\mathrm d}{\mathrm d x}\chi_2(x) = \frac{\operatorname{artanh}(x)}{x}</math>

== Spezielle Werte ==

=== Beweis für den Chi-2-Funktionswert von Eins ===
Es gilt folgende Ableitung:

: <math>\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}y} \,\frac{1}{x} \biggl[\operatorname{artanh}(x) - \operatorname{artanh}\biggl(\frac{x\,\sqrt{1 - y^2}}{\sqrt{1 - x^2 y^2}}\biggr)\biggr] = \frac{y}{\sqrt{(1-x^2y^2)(1-y^2)}}</math>

Deswegen gilt auch folgendes Integral:

: <math>\frac{1}{x} \operatorname{artanh}(x) = \int_0^1 \frac{y}{\sqrt{(1-x^2y^2)(1-y^2)}} \,\mathrm{d}y</math>

Durch Bildung der Ursprungsstammfunktion bezüglich x entsteht diese bereits im Definitionsabschnitt genannte Formel:

: <math>\chi_2(x) = \int_0^1 \frac{\operatorname{arcsin}(xy)}{\sqrt{1-y^2}} \,\mathrm{d}y</math>

Exemplarisch eingesetzt wird der Wert <math>x = 1</math> in die nun genannte Formel, so dass die folgende Formel entsteht:

: <math>\chi_2(1) = \int_0^1 \frac{\operatorname{arcsin}(y)}{\sqrt{1-y^2}} \,\mathrm{d}y = \biggl[\frac{1}{2}\arcsin(y)^2\biggr]_{y = 0}^{y = 1} = \frac{\pi^2}{8}</math>

=== Theorem für tangentielle Gegenstücke ===
Folgende Formel dient für die Werte 0 < x < 1 zur Ermittlung der Chi-Funktionswerte:
:<math>\chi_2(x) + \chi_2\bigl(\frac{1-x}{1+x}\bigr) = \frac{\pi^2}{8} -2\operatorname{artanh}(x)\operatorname{artanh}\bigl(\frac{1-x}{1+x}\bigr) </math>
Beispielsweise gilt:
:<math>\chi_2\bigl(\frac{1}{2}\bigr) + \chi_2\bigl(\frac{1}{3}\bigr) = \frac{\pi^2}{8} -2\operatorname{artanh}\bigl(\frac{1}{2}\bigr)\operatorname{artanh}\bigl(\frac{1}{3}\bigr) </math>
Mit Hilfe genannten allgemeinen Formel für tangentielle Gegenstücke und mit Hilfe des [[Dilogarithmus]] können folgende Funktionswerte ermittelt werden:
:<math>\begin{matrix}
\chi_2(1) &=& \frac18\pi^2
\\ \chi_2(-1) &=& -\frac18\pi^2
\\ \chi_2(\sqrt{2}-1) & = & \frac1{16}\pi^2-\frac14\bigl[\ln(\sqrt{2}+1)\bigr]^2
\\ \chi_2(\Phi^{-1}) &=& \frac1{12}\pi^2-\frac34\bigl[\ln(\Phi)\bigr]^2
\\ \chi_2(\Phi^{-3}) &=& \frac1{24}\pi^2-\frac34\bigl[\ln(\Phi)\bigr]^2
\\ \chi_2(\mathrm i) & = & \mathrm i\cdot G
\end{matrix}</math>

mit der [[Imaginäre Einheit|imaginären Einheit <math>\rm i</math>]], der [[Goldener Schnitt|Goldenen Zahl]] <math>\Phi = (\sqrt{5} + 1)/2</math> und der [[Catalansche Konstante|catalanschen Konstanten <math>G</math>]].

== Spezialfälle und Verallgemeinerungen ==
Zu den Spezialfällen gehören die [[Dirichletsche Lambdafunktion|Dirichletsche Lambda-Funktion]] <math>\lambda</math>
:<math>\lambda(n)=\chi_n(1)\,</math>
und die [[dirichletsche Beta-Funktion]] <math>\beta</math>:
:<math>\beta(n)=\frac1{\rm i}\chi_n(\mathrm i).</math>

Die transzendente [[lerchsche Zeta-Funktion]] verallgemeinert die legendresche Chi-Funktion:

:<math>\chi_n(z)=2^{-n}z\,\Phi (z^2,n,\tfrac12).</math>

== Siehe auch ==
* [[Hurwitzsche Zeta-Funktion]]

== Referenzen ==
* {{MathWorld|LegendresChi-Function|Legendre's Chi Function}}
* Djurdje Cvijović und Jacek Klinowski, "[http://www.ams.org/journal-getitem?pii=S0025-5718-99-01091-1 Values of the Legendre chi and Hurwitz zeta functions at rational arguments]", Math. of Comp. '''68''' (1999), 1623–1630.


[[Kategorie:Analytische Funktion]]

Legendresche Chi-Funktion - Versionsgeschichte

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