imported>Paul Wenk: /* Legendre-Fenchel-Transformation */

2025-11-07T12:46:53Z

Legendre-Fenchel-Transformation

Neue Seite

Die '''Legendre-Transformation''' (nach [[Adrien-Marie Legendre]]) gehört zu den [[Berührungstransformation]]en und dient als wichtiges mathematisches Verfahren zur [[Variablentransformation]].

Eine Verallgemeinerung der Legendre-Transformation auf allgemeine Räume und nicht-konvexe Funktionen ist die [[Legendre-Transformation#Legendre-Fenchel-Transformation|Legendre-Fenchel-Transformation]] (auch ''Konvex-Konjugierte'' genannt).

== Definition ==
=== In einer Variablen ===
Sei <math>f \colon D \to \R</math> eine streng [[Konvexe und konkave Funktionen|konvexe Funktion]] einer reellen Variablen, definiert auf <math>D \subseteq \R</math>. Die Legendre-Transformierte <math>f^* \colon D^* \to \R</math> ist dann definiert als

:<math>f^*(u) = \sup_{x\in D}(ux-f(x)),\quad \text{mit} \,\, u\in D^*,\, D^*:=\left \{u\in \R:\sup_{x\in D}(ux-f(x))<\infty \right \}.</math>

Dabei ist mit <math>\sup</math> das [[Supremum]] gemeint.

Ist <math>f</math> zudem [[Differenzierbarkeit|differenzierbar]], mit [[Umkehrfunktion|invertierbarer]] erster Ableitung, dann lässt sich das Supremum mit Mitteln der [[Analysis#Eindimensionale reelle Analysis|elementaren Analysis]] auswerten. Da die Funktion <math>f</math> streng konvex ist, besitzt sie ein eindeutiges (lokales und globales) Minimum. Entsprechend ist die Funktion <math>x \mapsto ux-f(x)</math> streng [[Konvexe und konkave Funktionen|konkav]] und nimmt deswegen an der (eindeutigen) Stelle, an der die Ableitung gleich null ist, ein absolutes Maximum an. Daraus folgt, dass an der Stelle <math>x(u) = (f')^{-1}(u)</math> das Supremum in <math>f^*</math> angenommen wird, wobei <math>(f')^{-1}</math> hier die [[Umkehrfunktion]] der [[Differentialrechnung#Ableitungsberechnung|Ableitung]] von <math>f</math> beschreibt. Somit gilt:

:<math>f^*(u) = u\cdot x(u)-f\bigl(x(u)\bigr) = u\cdot (f')^{-1}(u) - f\bigl((f')^{-1}(u)\bigr);</math>
die Legendre-Transformierte kann also vollständig mithilfe von <math>f</math> und <math>(f')^{-1}</math> beschrieben werden.

=== In mehreren Variablen ===
Ähnlich wie in einer Dimension kann die Legendre-Transformation auch in höheren Dimensionen definiert werden. Sei <math>X \subset \R^n</math> konvex und <math>f\colon X \to \R</math> eine streng konvexe Funktion. Dann ist die Legendre-Transformierte <math>f^*\colon D^* \to \R</math> mit Definitionsmenge <math>D^*:=\left \{u\in \R^n:\sup_{x\in X}(\langle u,x\rangle-f(x))<\infty \right \}</math> und [[Skalarprodukt|Standardskalarprodukt]] <math>\langle \cdot,\cdot\rangle</math> definiert als

:<math>f^*(u) = \sup_{x\in X}(\langle u,x\rangle-f(x)),\quad u\in D^*</math>

== Geometrische Bedeutung ==
[[Datei:Legendre trafo 1d veransch.png|mini|Anschauliche Darstellung der Legendre-Transformation. In dieser Abbildung ist <math>g=-f^*</math>.]]

Geometrisch lässt sich der [[Sachverhalt]] wie in der Abbildung veranschaulichen: Die Kurve (rot) kann, statt die Punktmenge anzugeben, aus der sie besteht, auch durch die Menge aller [[Tangente]]n charakterisiert werden, die sie einhüllen. Genau das passiert bei der Legendre-Transformation. Die Transformierte <math>f^*(u)=ux(u)-f(x(u))</math> ordnet der Steigung <math>u</math> einer jeden Tangente deren negativen [[y-Achsenabschnitt]] zu. Es ist also eine Beschreibung derselben Kurve – nur über einen anderen Parameter, nämlich <math>u</math> statt <math>x</math>.

== Beispiele ==
* Gegeben sei die Funktion <math>f(x) = x^{2} + 1</math>. Dann gilt <math>u = f'(x) = 2x</math>, also
:: <math>x(u) = (f')^{-1}(u) = \frac{u}{2}</math>.
: Als Legendre-Transformierte <math>f^*</math> von <math>f</math> ergibt sich damit
:: <math>f^*(u) = ux(u) - f(x(u)) = \frac{u^2}{2} - \left(\frac{u^2}{4} + 1\right) = \frac{u^2}{4} - 1</math>.
* Für die [[Exponentialfunktion]] <math>f(x) = e^x</math> gilt <math>u = f'(x) = e^x</math>, also
:: <math>x(u) = (f')^{-1}(u) = \ln(u)</math>.
: Als Legendre-Transformierte <math>f^*</math> von <math>f</math> ergibt sich damit
:: <math>f^*(u) = ux(u) - f(x(u)) = u \ln(u) - u</math>
: für <math>u > 0</math>.
* Gegeben sei eine [[Symmetrische Matrix|symmetrische]] und [[Definitheit|positiv definite]] Matrix <math>A \in \R^{n \times n}</math>. Dann ist die durch <math>A</math> definierte [[quadratische Form]] <math>f \colon \R^n \to \R</math> mit <math>f(x) = \langle x, Ax \rangle</math> eine konvexe Funktion. Die durch <math>g(x) = \langle u,x \rangle - f(x)</math> mit <math>u \in \R^n</math> definierte Funktion hat den [[Gradient (Mathematik)|Gradienten]] <math>u - 2Ax</math> und die negativ definite [[Hesse-Matrix]] <math>-2A</math>. Die Funktion <math>g</math> nimmt daher an der Stelle <math>x = \tfrac{1}{2}A^{-1}u</math> ihr eindeutig bestimmtes globales Maximum an, d. h. für die Legendre-Transformierte <math>f^*</math> von <math>f</math> gilt
:: <math>f^*(u) = \sup_{x\in \R^n}(\langle u,x\rangle-f(x)) = g\left(\tfrac{1}{2}A^{-1}u\right) = \tfrac{1}{4}\langle u, A^{-1} u \rangle</math>.

== Bei Abhängigkeit von mehreren Variablen ==
Die Änderung der Abhängigkeit einer Funktion <math>f(x,y)</math> von einer unabhängigen Variablen <math>x</math> zu einer anderen <math>u</math> mittels einer [[Partielle Ableitung|partiellen Ableitung]] von <math>f</math> nach <math>x</math> ist:

:<math>u = \frac{\partial f}{\partial x}</math>.

Hierbei stellt <math>u(x,y)</math> geometrisch die [[Steigung]] in x-Richtung der Tangentenebene an die Funktion <math>f(x,y)</math> dar. Daher spricht man von [[Berührungstransformation]]. Die Funktion <math>F(u,y)</math> wird als ''Legendre-Transformierte bezüglich der Variablen <math>x</math>'' bezeichnet.

Die Legendre-Transformierte lässt sich wie folgt herleiten. Der Wert von <math>f(x,y)</math> kann alternativ als

:<math>f(x,y) \approx f(x_0,y)+\frac{\partial f} {\partial x} \Delta x,\; \Delta x = x-x_0</math>

geschrieben werden. Definiert man nun <math>f(x_0,y) \equiv F(u,y)</math>, erhält man für die Legendre-Transformierte

:<math>F(u,y) = f(x,y)-\frac{\partial f}{\partial x} \Delta x</math>.

Meistens wird <math>x_0 = 0</math> gewählt, und somit folgt

:<math>F(u,y) = f(x,y)-\frac{\partial f}{\partial x} x</math>.

Für letztere Definition ist die Legendre-Transformierte die <math>y</math>-Komponente des Schnittpunkts der Tangentenebene an <math>f(x,y)</math> mit der Ebene <math>x=0</math>. Für Funktionen in der Ebene spricht man vom Achsenabschnitt (siehe auch [[Geradengleichung]]).

Praktisch erfolgt also der Austausch der unabhängigen Variablen durch Subtraktion des Produkts aus alter und neuer Variable <math>u x</math> von der Ausgangsfunktion:

:<math>F(u,y) = f(x,y) - u x</math>.

Dies wird auch bei Betrachtung des totalen Differentials der Legendre-Transformierten deutlich:

:<math>\mathrm{d}(f(x,y) - u x) = \mathrm{d}f(x,y) - x\,\mathrm{d}u - u\,\mathrm{d}x = \frac{\partial f} {\partial x} \mathrm{d}x + \frac{\partial f} {\partial y} \mathrm{d}y - x \mathrm{d}u - u \mathrm{d}x = \frac{\partial f} {\partial y} \mathrm{d}y - x\,\mathrm{d}u = \mathrm{d}F(u,y)</math>.

== Verallgemeinerungen ==
=== Legendre-Fenchel-Transformation ===
Die '''Legendre-[[Werner Fenchel|Fenchel]]-Transformation'''<ref>{{Internetquelle|url=https://www.math.univ-toulouse.fr/~jbhu/A_note_on_the_LF_transform.pdf|titel=A note on the LF transform|abruf=2021-02-03}}</ref> (auch '''Konvex-Konjugierte''' genannt), ist die Verallgemeinerung der Legendre-Transformation für allgemeine Funktionen. Sei <math>f:X\to \mathbb{R}\cup \{\infty\}</math> eine Funktion, dann ist die Legendre-Fenchel-Transformation <math>\Lambda^*_f:X^*\to \mathbb{R}\cup \{\infty\}</math>, also eine Funktion auf dem [[Dualraum#Topologischer Dualraum eines normierten Raums|topologischen Dualraum]] <math>X^*</math>, gegeben durch
:<math>\Lambda^*_f\left(x^*\right)=\sup_{x\in X}\left\{\left\langle x,x^*\right\rangle-f(x)\right\}</math>
wobei es sich bei <math>\langle .,.\rangle</math> um die [[duale Paarung]] handelt.

== Anwendungsgebiete ==
Verwendung in der Physik findet die Legendre-Transformation vor allem in der (statistischen) [[Thermodynamik]] (z. B. Umwandlung der [[Fundamentalgleichung]] bzw. beim Übergang zwischen thermodynamischen Potentialen unter verschiedenen Randbedingungen) und beim Übergang von der Lagrangeschen zur Hamiltonschen Mechanik ([[Lagrange-Funktion]] zu [[Hamilton-Funktion]]). In der Thermodynamik verwendet man die untere Vorzeichenkonvention (<math>g=f-ux</math>).

Die Legendre-Transformation spielt – wie die [[Berührungstransformation]]en insgesamt – des Weiteren eine Rolle in der [[Mechanik]], der [[Variationsrechnung]] und in der Theorie der [[Partielle Differentialgleichung|partiellen Differentialgleichungen 1. Ordnung]]. In der Mechanik verwendet man die obere Vorzeichenkonvention (<math>g=ux-f</math>).

== Beispiele von Anwendungen in der Physik ==
In der [[Analytische Mechanik|analytischen Mechanik]] gewinnt man durch Legendre-Transformation aus der [[Lagrangefunktion]] die [[Hamiltonfunktion]] und umgekehrt:

:<math>H(q,p)=p\,\dot{q}(q,p)-L(q,\dot{q}(q,p))\quad\text{mit}\quad p=\frac{\partial L}{\partial\dot{q}}</math>

In der [[Thermodynamik]] kann man durch Legendre-Transformation aus der [[Fundamentalgleichung|Fundamentalgleichung der Thermodynamik]] die [[Thermodynamisches Potential|thermodynamischen Potentiale]] ableiten. Dabei findet beispielsweise ein Übergang von der [[Innere Energie|inneren Energie]] <math>U</math> (abhängig von der [[Entropie (Thermodynamik)|Entropie]] <math>S</math>) zur [[Helmholtz-Energie]] <math>F</math> (abhängig von der [[Temperatur]] <math>T</math>) statt. Im Fall eines [[Ideales Gas|idealen Gases]] gilt also:

:<math>F(T,V,N) = U(S,V,N) - \left(\frac{\partial U}{\partial S}\right)_{V,N} \cdot S = U - T S</math>.

Die hier verwendete Ableitungsnotation bedeutet Ableitung der Funktion <math>U(S,V,N)</math> nach <math>S</math>, wobei <math>V</math> und <math>N</math> konstant gehalten werden.

Analog dazu ist auch ein Übergang von einem thermodynamischen Potential zu einem anderen möglich, beispielsweise von der [[Enthalpie]] <math>H</math> zur [[Gibbs-Energie]] <math>G</math>:

:<math>G(T,p,N) = H(S,p,N) - \left(\frac{\partial H}{\partial S}\right)_{p,N} \cdot S = (U + p V) - T S</math>.

Auf die gleiche Weise erhält man auch die anderen thermodynamischen Potentiale, wobei durch eine Legendre-Transformation immer eine [[generalisierte Koordinate]] durch die konjugierte thermodynamische Kraft ersetzt wird.

== Weblinks ==
* {{Internetquelle |url=https://www.uni-muenster.de/Physik.TP/archive/fileadmin/lehre/Physik_II_SS_15/Die_Legendre-Transformation_als_anschauliches_Mittel_der_Variablentransformation_in_der_Physik.pdf |autor=Alexander Leifhelm |titel=Die Legendre-Transformation als geometrisches Mittel der Variablentransformation in der Physik |datum=2015-10-12 |format=PDF |zugriff=2019-08-04}}
* [https://arxiv.org/pdf/0806.1147v2.pdf Making Sense of the Legendre Transform] (PDF; 231 kB) by R. K. P. Zia, Edward F. Redish and Susan R. McKay

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Analysis]]
[[Kategorie:Theoretische Mechanik]]
[[Kategorie:Thermodynamik]]
[[Kategorie:Transformation]]

Legendre-Transformation - Versionsgeschichte

imported>Paul Wenk: /* Legendre-Fenchel-Transformation */