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2025-08-09T09:02:00Z

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Die '''Legendre-Polynome''' (nach [[Adrien-Marie Legendre]]), auch '''zonale Kugelfunktionen''' genannt, sind spezielle [[Polynom]]e, die auf dem Intervall <math>[-1,1]</math> ein [[Orthogonale Polynome|orthogonales]] Funktionensystem bilden. Sie sind die partikulären Lösungen der '''legendreschen Differentialgleichung'''. Eine wichtige Rolle spielen die Legendre-Polynome in der [[Theoretische Physik|theoretischen Physik]], insbesondere in der [[Elektrodynamik]] und in der [[Quantenmechanik]], sowie im Bereich der [[Filter (Elektrotechnik)|Filtertechnik]] bei den [[Legendre-Filter]]n.

== Differentialgleichung und Polynome ==
=== Legendresche Differentialgleichung ===

Die legendresche [[Differentialgleichung]]
: <math>\left(1-x^2\right)\,y''(x)-2x\,y'(x)+n(n+1)\,y(x)=0</math>
kann als gewöhnliche [[Lineare gewöhnliche Differentialgleichung|lineare Differentialgleichung]] zweiter Ordnung auch in der Form
: <math>\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left[ \left(1-x^2\right) \, y'(x) \right] + n(n+1) \, y(x) = 0</math>
für <math>x \in [-1,1]</math> und <math>n \in \N_0</math> dargestellt werden.

Sie ist ein Spezialfall der [[Sturm-Liouville-Problem|Sturm-Liouville-Differentialgleichung]]
: <math>- \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left((1-x^2) \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\right) = n(n+1) y. </math>

Die allgemeine Lösung dieser Differentialgleichung lautet
: <math>y(x)=A\,P_n(x)+B\,Q_n(x)</math>
mit den beiden linear unabhängigen Funktionen <math>P_n(x)</math> und <math>Q_n(x)</math>. Man bezeichnet die Legendre-Polynome <math>P_n(x)</math> daher auch als Legendre-Funktionen 1. Art und <math>Q_n(x)</math> als Legendre-Funktionen 2. Art, denn diese sind keine Polynome mehr.

Darüber hinaus existiert noch eine verallgemeinerte Legendresche Differentialgleichung, deren Lösungen [[zugeordnete Legendrepolynome]] heißen.

=== Erste Polynome ===
[[Datei:Legendrepolynome6.svg|mini|hochkant=1.8|Die ersten sechs Legendre-Polynome]]

Die ersten Legendre-Polynome lauten:

: <math>P_0(x) = 1\,</math>
: <math>P_1(x) = x\,</math>
: <math>P_2(x) = \frac{1}{2} (3x^2 - 1)</math>
: <math>P_3(x) = \frac{1}{2} (5x^3 - 3x)</math>
: <math>P_4(x) = \frac{1}{8}(35x^4-30x^2+3)</math>
: <math>P_5(x) = \frac{1}{8}(63x^5-70x^3+15x)</math>
: <math>P_6(x) = \frac{1}{16}(231x^6-315x^4+105x^2-5)</math>

Das <math>n</math>-te Legendre-Polynom lautet
: <math>P_n(x) = \sum_{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor} (-1)^k \frac{(2n - 2k)! \ }{(n-k)! \ (n-2k)! \ k! \ 2^n} x^{n-2k} </math>

mit der [[Gauß-Klammer]]
: <math>
\left\lfloor \frac{n}{2}\right\rfloor
= \begin{cases}
\frac{n}{2} & n \ \text{gerade}\\
\frac{n-1}{2} & n \ \text{ungerade}
\end{cases}
</math>

Das <math>n</math>-te Legendre-Polynom hat den Grad <math>n</math> und ist aus <math>\mathbb Q[x]</math>, d. h., es hat [[Rationale Zahl|rationale]] Koeffizienten. Für die Legendre-Polynome gibt es mehrere Darstellungsformen.

=== Konstruktion orthogonaler Polynome ===
Für ein Intervall <math>I = [a,b]</math> und eine darauf gegebene Gewichtsfunktion <math>w(x)</math> ist eine Folge <math>(P_n)</math> von reellen Polynomen <math>P_n\in\R[X]</math> [[Orthogonale Polynome|orthogonal]], wenn sie die Orthogonalitätsbedingung
: <math>\int\limits_a^b w(x) \, P_n(x) \, P_m(x) \, \mathrm{d}x = 0</math>
für alle <math>m, n\in\N_0</math> mit <math>m\neq n</math> erfüllt.

Für das Intervall <math>I = [-1,1]</math> zusammen mit der einfachsten aller Gewichtsfunktionen <math>w(x) = 1</math> können solche orthogonalen Polynome mit Hilfe des [[Gram-Schmidtsches Orthogonalisierungsverfahren|Gram-Schmidtschen Orthogonalisierungsverfahrens]] ausgehend von den [[Monom]]en <math>(x^n)_{n\in \N}</math> iterativ erzeugt werden. Die Legendre-Polynome ergeben sich, wenn dabei zusätzlich <math>P_n(1) = 1</math> gefordert wird.

== Eigenschaften ==
=== Rodrigues-Formel ===
: <math>P_n(x) = \frac{1}{2^n\,n!}\cdot \frac{\mathrm{d}^n}{\mathrm{d}x^n} \bigg( (x^2 -1)^n \bigg) </math>
Die [[Olinde Rodrigues|Rodrigues]]-Formel kann man mit der [[Formel von Faà di Bruno]] auswerten und erhält wieder die explizite Form des <math>n</math>-ten Legendre-Polynoms.

=== Integraldarstellung ===
Für alle <math>x \in \mathbb{C} \setminus \{+1, -1\}</math> gilt
: <math>P_n(x) = \frac{1}{\pi} \int_0^\pi \left(x + \sqrt{x^2 - 1} \cos\varphi\right)^n \, \mathrm{d}\varphi</math>

=== Rekursionsformeln ===
Für die Legendre-Polynome gelten folgende Rekursionsformeln:

: <math>\begin{align}
(n+1)P_{n+1}(x) &= (2n+1)xP_n(x)-nP_{n-1}(x) \,\,\,\,\,\quad\quad (n=1,2,\ldots; P_0=1; P_1=x)\\
(x^2-1) \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x } P_n(x) &= n xP_n(x)-nP_{n-1}(x)
\end{align}</math>

Die erste rekursive Formel lässt sich mittels der Substitution <math>n'=n+1</math> in folgender, häufig zu findender Weise darstellen:
: <math>nP_{n}(x) = (2n-1)xP_{n-1}(x)-(n-1)P_{n-2}(x) \,\,\,\,\,\qquad (n=2,3,\ldots; P_0=1; P_1=x) </math>

Ist <math>P_{n}(x) = \sum_{i=0}^n a_{n,i} x^i = a_{n,n} x^n + \cdots + a_{n,1} x + a_{n,0} </math> die Darstellung des Legendre-Polynoms, dann gilt für die Koeffizienten:

: <math>na_{n,i} = (2n-1)a_{n-1,i-1}(x)-(n-1)a_{n-2,i} </math>

Für alle geraden <math>n </math> ist <math>a_{n,i} = 0 </math> für alle ungeraden Indexe <math>i </math> und für alle ungeraden <math>n </math> ist <math>a_{n,i} = 0 </math> für alle geraden Indexe <math>i </math>.

Durch Anwendung der Ableitungsregel für Ausdrücke der Art <math>y = x^n </math> mit <math>y'=nx^{n-1} = nx^{-1}y</math>, bzw.
<math>y^{(m)} = (n-m+1)x^{-1}y^{(m-1)}</math> ergibt sich folgende rekursive Darstellung der Legendre-Polynome, welche auch die Ableitungen dieser Polynome berücksichtigt:

: <math>(n-m)P_{n}^{(m)}(x) = (2n-1)xP_{n-1}^{(m)}(x)-(n-1+m)P_{n-2}^{(m)}(x) \,\,\,\,\,\qquad (n>1;\,\, m=0\ldots n-1) </math>

Die Anfangsbedingungen lauten <math>P_m^{(m)}(x)=\frac{(2m)!}{2^m m!}</math> und <math>P_{k}^{(m)}(x)={0} \,\,\,\,\,\qquad (k<m) </math> .

Bei <math>m=0</math> ergibt sich wiederum die weiter oben angegebene Formel mit ihren Anfangsbedingungen.

=== Vollständiges Orthogonalsystem ===
Man betrachte den [[Hilbertraum]] <math> V:= L^2([-1,1]; \R)</math> der [[quadratintegrierbar]]en auf <math>[-1,1]</math> definierten reellwertigen Funktionen ausgestattet mit dem Skalarprodukt
: <math>\langle f,g \rangle = \int_{-1}^1f(x)g(x)\mathrm{d}x</math>.
Die Familie <math>(P_n)_n</math> der Legendre-Polynome bildet auf <math>(V, \langle\cdot,\cdot\rangle)</math> ein vollständiges [[Orthogonalsystem]], sie sind also ein Spezialfall von [[Orthogonale Polynome|orthogonalen Polynomen]]. Normiert man diese, so bilden sie ein vollständiges Orthonormalsystem auf <math>V</math>.

Es gilt
: <math>\int\limits_{-1}^{1} P_n(x) P_m(x)\, \mathrm{d}x = \frac{2}{2n+1} \delta_{nm}</math>,
wobei <math>\delta_{nm}</math> das [[Kronecker-Delta]] bezeichnet.
Dabei bedeutet die Vollständigkeit, dass sich ''jede'' Funktion <math>f\in V </math> in der von <math> \langle\cdot,\cdot\rangle </math> erzeugten [[Normtopologie]] nach Legendre-Polynomen „entwickeln“ lässt:
: <math>f(x) = \sum_{n=0}^\infty c_n \, P_n(x)</math>
mit den Entwicklungskoeffizienten
: <math>c_n = \frac{2\,n+1}{2} \, \int\limits_{-1}^1 f(x)\,P_n(x) \, \mathrm{d}x.</math>

In der physikalischen oder technischen Literatur wird die Vollständigkeit gern wie folgt als [[Distribution (Mathematik)|Distributionsgleichung]] geschrieben:
: <math>\sum_{n=0}^\infty \frac{2\,n+1}{2} \, P_n(x') \, P_n(x) = \delta(x'-x)</math>,
wobei <math>\delta</math> die diracsche [[Delta-Distribution]] ist.
Eine solche Distributionsgleichung ist immer so zu lesen, dass beide Seiten dieser Gleichung auf Testfunktionen anzuwenden sind.
Wendet man die rechte Seite auf eine solche Testfunktion <math>x\mapsto f(x)</math> an, so erhält man <math>f(x')</math>.
Zur Anwendung der linken Seite muss man definitionsgemäß mit <math>f(x)</math> multiplizieren und anschließend über <math>x</math> integrieren. Dann erhält man aber genau obige Entwicklungsformel (mit <math>x'</math> an Stelle von <math>x</math>).
Orthogonalität und Vollständigkeit lassen sich daher kurz und prägnant wie folgt schreiben:

* Orthogonalität: <math>\langle P_n, P_m \rangle = 0</math> für <math>m \neq n</math>.
* Vollständigkeit: <math>f(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{2n+1}{2}\langle f,P_n\rangle \, P_n(x)</math> für alle <math> f\in L^2([-1,1]; \R)</math> (im Sinne der <math>L^2</math>-Konvergenz).

=== Nullstellen ===
<math>P_n(x)</math> hat auf dem Intervall <math>I = [-1,1]</math> genau <math>n</math> einfache Nullstellen. Sie liegen symmetrisch zum Nullpunkt der Abszisse, da Legendre-Polynome entweder gerade oder ungerade sind. Zwischen zwei benachbarten Nullstellen von <math>P_n(x)</math> liegt genau eine [[Nullstelle]] von <math>P_{n-1}(x)</math>. In welchem Verhältnis eine Nullstelle von <math>P_{n-1}(x)</math> das Intervall zwischen zwei Nullstellen von <math>P_n(x)</math> teilt, oder auch umgekehrt bis auf die äußeren von <math>P_n(x)</math>, ist dabei sehr variabel.

Die Bestimmung der Nullstellen der Legendre-Polynome ist in der [[Numerische Mathematik|numerischen Mathematik]] eine häufige Aufgabe, da sie eine zentrale Rolle bei der [[Gauß-Quadratur#Gauß-Legendre-Integration|Gauß-Legendre-Quadratur]] oder der unter [[#Vollständiges Orthogonalsystem|„Vollständiges Orthogonalsystem“]] erwähnten Entwicklung „beliebiger“ Funktionen nach Polynomen spielen. Es gibt zwar zahlreiche Tabellenwerke dafür, aber oft ist ihr Gebrauch mit Unannehmlichkeiten verbunden, weil man für eine flexible Reaktion eine Vielzahl an Tabellen in geeigneten Genauigkeiten vorhalten müsste. Bei der Nullstellensuche ist die Kenntnis des Intervalls nur von beschränktem Wert bei der Wahl eines Iterationsanfangs, zumal auch noch die Kenntnis der Nullstellen eines anderen Polynoms erforderlich ist. Eine mit zunehmendem <math>n</math> genauer werdende Näherung der <math>k</math>-ten Nullstelle <math>x_k</math> von <math>P_n(x)</math> ist gegeben durch:<ref>[[Numerical Recipes]]: Codeausschnitt aus [http://apps.nrbook.com/c/index.html Numerical Recipes in C, Seite 152]: „z=cos(3.141592654*(i-0.25)/(n+0.5));“</ref><ref>[[Abramowitz-Stegun]]: ''Handbook of Mathematical Functions''. Asymptotische Entwicklung der Nullstellen in [http://people.math.sfu.ca/~cbm/aands/page_787.htm Formel 22.16.6, Seite 787]</ref>

: <math> x_k \approx \cos\left(\pi\,\frac{4k-1}{4n+2}\right),\quad k=1,\ldots,n.</math>

Für beispielsweise <math>P_{10}(x)</math> werden so alle Nullstellen auf wenigstens zwei Dezimalstellen genau abgeschätzt, mit Fehlern zwischen <math>0{,}00102</math> und <math>0{,}00016</math>, während das kleinste Nullstellenintervall von <math>P_{9}(x)</math> nur <math>0{,}13</math> ist.
Bei <math>P_{20}(x)</math> sind bereits drei Dezimalstellen sicher, mit Fehlern zwischen <math>0{,}00028</math> und <math>0{,}00002</math>, während die beste Einschachtelung durch <math>P_{19}(x)</math> nur <math>0{,}032</math> ist.
Der maximale Schätzfehler für <math>P_{200}(x)</math> ist nur <math>0{,}0000031</math> bei den beiden fünften Nullstellen von außen, deren exakter Betrag mit <math>0{,}99722851428\ldots</math> beginnt.

Mit einem solchen Startwert und den beiden ersten [[#Rekursionsformeln|„Rekursionsformeln“]] lassen sich mit einem Rechengang sowohl der Funktionswert als auch dessen Ableitung bestimmen. Mithilfe des [[Newton-Verfahren]]s lassen sich alle Nullstellen bis auf die beiden äußeren mit mehr als quadratischer Konvergenz finden, da sich die Nullstellen in unmittelbarer Nähe der Wendestellen befinden. Die beiden äußeren Nullstellen konvergieren „nur“ quadratisch, d. h. ein anfänglicher Abstand zur Nullstelle von <math>0{,}00102</math> verkleinert sich nach einer Iteration zunächst auf ungefähr <math>0{,}00102^2</math>, dann auf <math>0{,}00102^4, 0{,}00102^8</math> und <math>0{,}00102^{16}</math>.

Die angegebene Abschätzung ist Teil eines sehr kurzen [[Algorithmus]], die sowohl alle Nullstellen eines Legendre-Polynoms als auch die passenden Gewichte für die Gauß-Legendre-Quadratur liefert.

=== Allgemeine Eigenschaften ===
Für jedes <math>n \in \N</math> und jedes <math>x \in [-1,1]</math> gilt:
: <math>\begin{align}
& P_n(1) = 1\\&
P_n(-x) = (-1)^n \, P_n(x)\\&
P_{2n}(0) = (-1)^n \frac{1 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot (2n-1)}{2 \cdot 4 \cdot \ldots \cdot 2n}\\&
P_{2n+1}(0) = 0\\&
P'_n(0) = nP_{n-1}(0)
\end{align}
</math>

=== Erzeugende Funktion ===
Für alle <math>x \in \mathbb{R}</math>, <math>z \in \mathbb{C}</math>, <math>|z| < 1</math> gilt

: <math>(1 - 2xz + z^2)^{-1/2} = \sum_{n=0}^\infty P_n(x) z^n\ .</math>

Dabei hat die [[Potenzreihe]] auf der rechten Seite für <math>-1 \le x \le +1</math> den
[[Konvergenzradius]] 1.

Die Funktion <math>z \mapsto (1 - 2xz + z^2)^{-1/2}</math> wird daher als ''[[erzeugende Funktion]]'' der Legendre-Polynome <math>P_n</math> bezeichnet.

Der in der Physik oft auftretende Term <math>1/|\vec{x}-\vec{x}\,'|</math> (z. B. in den [[Potential (Physik)|Potentialen]] der [[Newtonsches Gravitationsgesetz|newtonschen Gravitation]] oder der [[Elektrostatik]]; [[Multipolentwicklung]]) lässt sich damit in eine Potenzreihe entwickeln für <math>\tfrac{|\vec{x}\,'|}{|\vec{x}|}=\tfrac{r\,'}{r}<1</math>:

: <math>\begin{align}
\frac{1}{|\vec{x}-\vec{x}\,'|}
&=\frac{1}{\sqrt{\vec{x}\,^{2}-2\vec{x}\cdot\vec{x}\,'+\vec{x}\,'^{2}}}
=\frac{1}{\sqrt{r^{2}-2rr\,'\cos\alpha+r\,'^{2}}}
=\frac{1}{r\sqrt{1-2\frac{r'}{r}\cos\alpha+(\frac{r'}{r})^{2}}}
\\&=\frac{1}{r}\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{r\,'}{r}\right)^{n}P_{n}(\cos\alpha)
\end{align}</math>

== Legendre-Funktionen 2. Art ==
[[Datei:Mplwp legendreQ04.svg|mini|Die ersten fünf Legendre-Funktionen 2. Art]]
Die Rekursionsformeln der Legendre-Polynome gelten auch für die Legendre-Funktionen 2. Art, so dass diese sich iterativ mit der Angabe der ersten bestimmen lassen:
: <math>Q_0(x) = \frac{1}{2}\,\ln\left( \frac{1+x}{1-x} \right) = \operatorname{artanh}(x)</math>
: <math>Q_1(x) = \frac{x}{2}\,\ln\left( \frac{1+x}{1-x} \right) - 1 =x \operatorname{artanh}(x) - 1</math>
: <math>Q_2(x) = \frac{3\,x^2 - 1}{4} \, \ln\left( \frac{1+x}{1-x} \right) - \frac{3\,x}{2} = \frac 3 2 \left( \left(x^2-\frac 1 3 \right) \operatorname{artanh}(x) -x\right) </math>
: <math>Q_3(x) = \frac{5\,x^3 - 3\,x}{4} \, \ln\left( \frac{1+x}{1-x} \right) - \frac{5\,x^2}{2} + \frac{2}{3}</math>
Hierbei ist für den [[Logarithmus]] der [[Logarithmus#Komplexer Logarithmus|Hauptzweig]] zu verwenden, wodurch sich Singularitäten bei <math>x=\pm 1</math> und in der komplexen Ebene Verzweigungsschnitte<ref>[http://mathworld.wolfram.com/BranchCut.html ''Branch Cut''.] Wolfram Research, abgerufen am 19. September 2018.</ref> entlang <math>(-\infty,-1)</math> und <math>(1,\infty)</math> ergeben.

== Anwendungsgebiete ==
Unter anderem wird das Legendre-Polynom für Simulationen von Kugelsphären verwendet, so zum Beispiel zur Ermittlung des Taylor-Winkels im [[Taylor-Kegel]], welcher beim [[Elektrospinnen]] der Geometrie zu Grunde liegt.

== Weblinks ==
* {{MathWorld |id=LegendrePolynomial |title=Legendre Polynomial}}
* J. B. Calvert: [http://mysite.du.edu/~jcalvert/math/legendre.htm ''Legendre Polynomials''.] (englisch)

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Analytische Funktion]]
[[Kategorie:Polynom]]

Legendre-Polynom - Versionsgeschichte

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