~2025-36250-77: /* Leeres kartesisches Produkt */

2025-11-25T18:37:31Z

Leeres kartesisches Produkt

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Das '''leere Produkt''' ist in der [[Mathematik]] der Sonderfall eines [[Produkt (Mathematik)|Produktes]] mit null [[Faktor (Mathematik)|Faktoren]]. Ihm wird in der Regel das neutrale Element <math>1</math> der jeweiligen Multiplikation zugewiesen.<ref>{{Literatur |Autor=Robert Clark Penner |Titel=Discrete Mathematics - Proof Techniques And Mathematical Structures |Auflage= |Verlag=World Scientific Publishing Company |Ort= |Datum=1999 |ISBN=9789813105614 |Seiten=14}}</ref>

In [[Kombinatorik|kombinatorischen]], abzählenden Betrachtungen ordnet sich das leere Produkt normalerweise ein, da es genau eine Möglichkeit gibt, ''Nichts'' zu multiplizieren. Es ist zu unterscheiden vom Produkt <math>0 \cdot 0</math>, welches genau zwei Faktoren hat, oder einem Produkt mit nur einem einzelnen Faktor (was dann gleich diesem Faktor ist).

In anderen Bereichen wie der [[Gruppentheorie|Gruppen-]], [[Ringtheorie|Ring-]] oder [[Körpertheorie]], in denen die [[Multiplikation]] als grundlegende, [[innere Verknüpfung]] betrachtet wird, werden Produkte mit beliebiger Faktorenzahl induktiv definiert, wobei das leere Produkt den Induktionsanfang bildet. Das leere Produkt taucht in mehreren Zusammenhängen auf, zum Beispiel bei [[Potenz (Mathematik)|Potenzen]] und der [[Fakultät (Mathematik)|Fakultät]].<ref>{{Literatur |Autor=C. W. Cryer |Titel=A Math Primer for Engineers |Verlag=IOS Press |Datum=2014-03-04 |ISBN=978-1-61499-299-8 |Seiten=462 |Online=https://books.google.de/books?id=_x3pAwAAQBAJ&pg=PA462&dq=empty+product+math&hl=de&newbks=1&newbks_redir=0&sa=X&ved=2ahUKEwjOtN6U5vL-AhXIhv0HHdoRBIAQ6AF6BAgjEAI#v=onepage&q=empty%20product%20math&f=false |Abruf=2023-05-13}}</ref>

== Zusammenhang zu Potenzen und der leeren Summe ==

Analog bezeichnet man die [[Addition]] von 0 [[Summand]]en als die [[leere Summe]] und gibt ihr den Wert [[Null]], nämlich das neutrale Element der Addition.

Für jedes endliche Produkt mit <math>N</math> Faktoren und den [[Logarithmus]] zu einer beliebigen Basis <math>b \in \R_{>0}</math> gilt nun:
: <math>\prod_{i=1}^{N} x_i = b^{\sum_{i=1}^N \log_b x_i},</math> da <math>\log xy = \log x + \log y.</math>

Wird <math>N = 0</math> gesetzt, erhält man links das leere Produkt und rechts im [[Exponent (Mathematik)|Exponenten]] die leere Summe:
: <math>\prod_{i\in\emptyset} x_i = b^{\sum_{i\in\emptyset}\log_b x_i} = b^0 = 1.</math>

Die Festlegungen des leeren Produkts und der leeren Summe auf die jeweiligen neutralen Elemente passen also in dieser Hinsicht gut zusammen.

== Konsequenzen der Wertzuweisung ==

Durch die Beziehung <math>b^0 = 1</math> für [[Reelle Zahl|reelles]] <math>b</math> sind die reellen [[Exponentialfunktion]]en <math>x\mapsto b^x</math> [[Stetige Funktion|stetig]] und [[Analytische Funktion|analytisch]] im Punkt <math>0</math>.

Die [[Funktion (Mathematik)|Funktion]] <math>f: \R_{\ge 0} \rightarrow \R</math> mit <math>f(a) = 0^a </math> hat eine [[Unstetigkeitsstelle]] bei <math>a = 0</math>. Siehe auch „[[null hoch null]]“.

== Leeres kartesisches Produkt ==

Das [[Kartesisches Produkt|kartesische Produkt]] zweier Mengen <math>A \times B</math> ist definiert als die Menge aller [[Geordnetes Paar|geordneten Paare]]: <math>\left\{(a, b) \mid a \in A, b \in B\right\}</math>. Allgemeiner kann man dies für jede beliebige Indexmenge <math>I</math> wie folgt definieren:
: <math>\prod_{i \in I} A_i = \{f\colon\, I \to \textstyle\bigcup\limits_{i \in I} A_i \mid \forall i \in I \colon f(i) \in A_i\}</math>.

Gilt nun
: <math>A_i = A</math> für alle <math>i \in I,</math>
dann ist die <math>I</math>-te Potenz einer jeden Menge <math>A</math> (auch für <math>A = \emptyset</math>) gegeben durch
: <math>A^I = \prod_{i \in I} A = \{f\colon\, I \to A\}</math>.

Damit ergibt sich für das ''leere kartesische Produkt'':
: <math>\prod_{i \in \emptyset} A_i = A^\emptyset = \{f\colon\, \emptyset \to A\} = \{\emptyset\}</math>,
weil als [[Funktion (Mathematik)|spezielle Relation]] <math>f \subseteq \emptyset \times A = \{(b, a) \mid b \in \emptyset, a \in A\} = \emptyset</math>.<ref>{{Literatur |Autor=Terence Tao |Titel=Analysis I: Fourth Edition |Verlag=Springer Nature |Datum=2023-02-22 |ISBN=978-981-19-7261-4 |Seiten=54 |Online=https://books.google.de/books?id=x7avEAAAQBAJ&pg=PA54&dq=empty+cartesian+product&hl=de&newbks=1&newbks_redir=0&sa=X&ved=2ahUKEwi2uub45_L-AhV-gf0HHSqzBrEQ6AF6BAgMEAI#v=onepage&q=empty%20cartesian%20product&f=false |Abruf=2023-05-13}}</ref>

Da die [[Natürliche Zahlen#Von Neumanns Modell der natürlichen Zahlen|Zahlen]] <math>0, 1</math> mengentheoretisch als <math>0 := \emptyset</math> und <math>1 := \{\emptyset\}</math> definiert werden können, folgt weiter:
: <math>A^0 = 1</math> und insbesondere auch <math>0^0 = 1</math>.<ref>{{Literatur |Autor=Paul R. Halmos |Titel=Naive Set Theory |Sammelwerk=Undergraduate Texts in Mathematics |Datum=1974 |ISBN=0387900926 |ISSN=0172-6056 |DOI=10.1007/978-1-4757-1645-0 |Seiten=33}}</ref>

== Weitere Zusammenhänge ==

* Betrachtet man die Eins, die keine [[Primfaktor]]en hat, ist es konsistent, ihr die leere [[Primfaktorzerlegung]] zuzuordnen, also das leere Produkt.
* Genauso wie die [[leere Summe]] gleich dem [[Neutrales Element|neutralen Element]] der Addition ist, ist das leere Produkt gleich dem neutralen Element der [[Multiplikation]].<ref>{{Literatur |Autor=P. A. Grillet |Titel=Commutative Semigroups |Verlag=Springer Science & Business Media |Datum=2013-06-29 |ISBN=978-1-4757-3389-1 |Seiten=3 |Online=https://books.google.de/books?id=FiflBwAAQBAJ&pg=PA3&dq=empty+product+neutral+element&hl=de&newbks=1&newbks_redir=0&sa=X&ved=2ahUKEwjA_OiG6fL-AhWFg_0HHfNMAZUQ6AF6BAgWEAI#v=onepage&q=empty%20product%20neutral%20element&f=false |Abruf=2023-05-13}}</ref>
* Aus den Definitionen von leerem Produkt und [[Fakultät (Mathematik)|Fakultät]] folgt: <math>\textstyle 0! = \prod_{i=1}^0 i = \prod_{i\in\emptyset} i = 1.</math>
* Es gibt genau eine Möglichkeit, nichts aus <math>n</math> Stück auszuwählen – entsprechend gilt für die [[Binomialkoeffizient]]en <math>\tbinom n 0 = 1</math>, insbesondere <math>\tbinom 0 0 = 1</math>. Sie lassen sich direkt auf die Fakultät von null zurückführen.

== Weblinks ==
{{Wikibooks|Mathe für Nicht-Freaks: Summe und Produkt#Leeres Produkt|Mathe für Nicht-Freaks: Leeres Produkt}}

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Mengenlehre]]
[[Kategorie:Multiplikation]]

Leeres Produkt - Versionsgeschichte

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