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2026-04-11T10:52:36Z

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{{Weiterleitungshinweis|∅|Für die Verwendung des Zeichens in der Linguistik siehe [[Nullmorphem]].}}
{{Zeichen|<nowiki>{ }</nowiki>}}{{Zeichen|∅}}Die '''leere Menge''' ist ein grundlegender Begriff aus der [[Mengenlehre]]. Man bezeichnet damit die [[Menge (Mathematik)|Menge]], die keine Elemente enthält. Da Mengen über ihre Elemente charakterisiert werden und zwei Mengen genau dann gleich sind, wenn sie dieselben Elemente haben (siehe [[Extensionalitätsaxiom]] der Mengenlehre), gibt es nur eine einzige leere Menge.

Die leere Menge ist nicht mit einer [[Nullmenge]] zu verwechseln, welche eine Menge mit dem [[Maß (Mathematik)|Maß]] null ist. Eine solche Menge kann sogar unendlich viele Elemente enthalten.

== Notation und Codierung ==

Als Zeichen für die leere Menge hat sich das von [[André Weil]] eingeführte<ref>Deiser, S. 31.</ref> und von [[Nicolas Bourbaki]] verwendete Zeichen <math>\varnothing</math> (ein durchgestrichener Kreis) weitgehend gegenüber anderen Notationen (wie <math>\Lambda</math> oder <math>\mathit{\Phi}</math>)<ref>{{Literatur
|Autor=[[Willard van Orman Quine]]
|Titel=Set Theory And Its Logic
|Verlag=Belknap Press of Harvard University Press
|Ort=Cambridge, USA
|Datum=1963 
|ISBN=0-674-80207-1 
|Sprache=en
|Seiten=359 (HC) / 380 (PB)}} – Hier: Seite 19.<br />
{{Literatur
|Autor=[[Willard van Orman Quine]]
|Titel=Mengenlehre und ihre Logik
|Reihe=Logik und Grundlagen der Mathematik (deutsche Übersetzung)
|BandReihe=10
|Verlag=Vieweg+Teubner Verlag 
|Datum=1973
|ISBN=3-528-08294-1 
|Seiten=264}} – Hier: [https://books.google.de/books?id=T3GeBgAAQBAJ&pg=PA47&lpg=PA47&dq=Quine+mengenlehre+und+ihre+logik&ots=giTUVyatvF&sig=MsLkICsoRFy5y3OxIVYUTgA7JTE&hl=de&ved=0ahUKEwjU4KW66-7YAhUGchQKHeCgBEkQ6AEILjAA#v=snippet&q=%22Wenn%20nach%20Kapitel%204%22&f=false Seite 14.]</ref><ref>Akihiro Kanamori: ''{{Webarchiv|url=https://pdfs.semanticscholar.org/79f4/eb47076249937c2057d53226c6f853298826.pdf |wayback=20180201075321 |text=The Empty Set, The Singleton, And The Ordered Pair. }}'' In: ''The Bulletin of Symbolic Logic.'' Bd. 9, Nr. 3, Sept. 2003, Seite 289 ([[Norbert Wiener]] zitierend).</ref> durchgesetzt. Eine typographische Variante davon ist <math>\emptyset</math> (ein durchgestrichenes schmales Oval). Vor allem in der Schulmathematik wird die leere Menge auch gern durch eine leere Mengenklammer dargestellt: <math>\left\{\right\}</math>. Dieses Zeichen wirkt einem Missverständnis entgegen: Die leere Menge ist nicht ''nichts,'' sondern eine Menge, die nichts enthält.

Das ∅ ist in [[Hypertext Markup Language|HTML]] als <code>&#8709;</code> bzw. als <code>&empty;</code> kodiert; in [[Unicode]] als <code>U+2205</code> und in [[LaTeX]] als <code>\varnothing</code>. Alternativ gibt es in LaTeX das Symbol <math>\emptyset</math>, das durch <code>\emptyset</code> erzeugt wird. Nicht verwechselt werden sollte es mit dem ähnlich aussehenden [[Durchmesserzeichen]] ⌀, das als <code>U+2300</code> kodiert ist, oder dem skandinavischen Buchstaben [[Ø]] (<code>U+00D8</code> bzw. <code>U+00F8</code>).

== Leermengenaxiom ==

Ein Axiom, das die Existenz einer leeren Menge fordert, wurde erstmals 1907 von [[Ernst Zermelo]] in der [[Zermelo-Mengenlehre]] formuliert. Es wurde später in die [[Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre]] ZF und andere axiomatische Mengenlehren übernommen. Dieses '''Leermengenaxiom''' lautet verbal: ''Es gibt eine Menge, die keine Elemente enthält.'' Die präzise [[logische Formel]] lautet:
: <math>\exist M\colon \forall X\colon \lnot (X \in M)</math>

Die Eindeutigkeit der leeren Menge folgt aus dem [[Extensionalitätsaxiom]]. Die Existenz der leeren Menge folgt mit dem [[Aussonderungsaxiom]] aus der Existenz irgendeiner anderen Menge. In ZF, das im [[Unendlichkeitsaxiom]] die Existenz einer Menge fordert, ist das Leermengenaxiom damit entbehrlich.

== Eigenschaften ==

* Die leere Menge ist [[Teilmenge]] jeder Menge:
*: <math>\emptyset \subseteq A</math>
* Jede Menge bleibt bei [[Vereinigungsmenge|Vereinigung]] mit der leeren Menge unverändert:
*: <math>\emptyset \cup A = A</math>
* Für jede Menge ist der [[Schnittmenge|Durchschnitt]] mit der leeren Menge die leere Menge:
*: <math>\emptyset \cap A = \emptyset</math>
* Für jede Menge ist das [[Kartesisches Produkt|kartesische Produkt]] mit der leeren Menge die leere Menge:
*: <math>\emptyset \times A = \emptyset</math>
* Die einzige Teilmenge der leeren Menge ist die leere Menge:
*: <math>A \subseteq \emptyset \Rightarrow A = \emptyset</math>
* Daraus folgt, dass die [[Potenzmenge]] der leeren Menge genau ein Element enthält, nämlich die leere Menge selbst:
*: <math>\mathcal P(\emptyset) = \left\{ \emptyset \right\}</math>
* Für jede widersprüchliche Aussage oder nicht erfüllbare Eigenschaft <math>E(x)</math> gilt:
*: <math>\emptyset = \left\{ x \mid E(x) \right\}</math>, z. B. <math>\emptyset = \left\{ x \mid x\neq x \right\}</math> oder <math>\emptyset = \left\{ x \in \mathbb Z \mid x+1=x+2 \right\}</math>
: Damit ist die leere Menge insbesondere die [[Lösungsmenge]] einer [[Gleichung]] oder [[Ungleichung]], die keine Lösung besitzt.
* Jede Existenzaussage über Elemente der leeren Menge, etwa
*: ''„Es existiert ein x aus <math>\emptyset</math>, sodass gilt …“''
: ist falsch, denn es gibt kein Element, das die Bedingung erfüllen könnte.
* Jede Allaussage über Elemente der leeren Menge, etwa
*: ''„Für alle Elemente der Menge <math>\emptyset</math> gilt …“''
: ist wahr, denn es gibt kein Element, für das die fragliche Forderung falsch sein könnte.
* Sei <math>A</math> eine Menge und <math>f \colon A \to \emptyset</math> eine Abbildung. Dann ist <math>A</math> die leere Menge.
* Die leere Menge ist die einzige [[Basis (Vektorraum)|Basis]] des [[Nullvektorraum]]s.
* Die leere Menge ist definitionsgemäß in jedem [[Topologischer Raum|topologischen Raum]] zugleich [[Abgeschlossene Menge|abgeschlossen]] und [[Offene Menge|offen]].
* Jede endliche Teilüberdeckung enthält die leere Menge, also ist die leere Menge [[Kompakter Raum|kompakt]].
* Ebenfalls per definitionem ist die leere Menge in jedem [[Maßraum]] eine [[messbare Menge]] und besitzt das Maß 0.

== Die leere Funktion ==

Die leere Menge ist insbesondere eine leere Menge geordneter Paare und damit eine [[Funktion (Mathematik)|Abbildung]]. Daher gibt es für jede Menge <math>A</math> genau eine Abbildung
: <math>f \colon \emptyset \to A</math>,
nämlich <math>f = \emptyset</math>, die sogenannte ''leere Abbildung'' oder ''[[leere Funktion]].'' Das kann man auch so formulieren:
: Die leere Menge ist das [[Anfangsobjekt]] in der Kategorie der Mengen.
Im Gegensatz dazu gibt es nur für <math>A=\emptyset</math> eine Funktion <math>A \to \emptyset</math>.

== Kardinalität der leeren Menge ==

Die leere Menge ist die einzige Menge mit der [[Mächtigkeit (Mathematik)|Kardinalität]] (Mächtigkeit) [[null]]:
: <math>\left\vert \emptyset \right\vert = 0.</math>
Sie ist daher auch der einzige Repräsentant der [[Kardinalzahl (Mathematik)|Kardinalzahl]] 0 und der [[Ordinalzahl]] 0. Insbesondere ist sie eine [[endliche Menge]].

Die leere Menge ist auch die einzige Menge, die durch ihre Kardinalität bereits eindeutig bestimmt ist. (Für jede andere Kardinalzahl ist die Klasse der Mengen dieser Kardinalität sogar [[Echte Klasse|echt]].) 

== Literatur ==

* {{Literatur
|Autor=[[Oliver Deiser]]
|Titel=Einführung in die Mengenlehre
|TitelErg=Die Mengenlehre Georg Cantors und ihre Axiomatisierung durch Ernst Zermelo
|Auflage=3.
|Verlag=Springer Verlag
|Ort=Berlin, Heidelberg
|Datum=2010
|ISBN=978-3-642-01444-4
|DOI=10.1007/978-3-642-01445-1}}

== Weblinks ==

{{Wikibooks|Mathe für Nicht-Freaks: Leere Menge und Allklasse}}

== Einzelnachweise ==

<references />

{{Navigationsleiste ZFC Axiome}}

[[Kategorie:Mengenlehre]]

Leere Menge - Versionsgeschichte

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