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2021-02-07T21:26:47Z

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Eine '''Lebesguezahl''' ist eine (nicht eindeutige) Zahl, die man einer [[Offene Überdeckung|offenen Überdeckung]] eines [[Kompakter Raum|kompakten]] [[Metrischer Raum|metrischen Raums]] zuordnen kann. Benannt wurde sie nach dem französischen Mathematiker [[Henri Léon Lebesgue]].

Sie dient oft als Hilfsmittel, wenn Endlichkeitsbedingungen gegeben sind.

== Satz von der Existenz ==
Der ''Satz von der Existenz einer Lebesguezahl'' oder das ''Lemma von Lebesgue'' ist ein Lemma aus dem Gebiet der [[Topologie (Mathematik)|Topologie]].

Er besagt, dass für jeden [[Kompakter Raum|kompakten]] [[Metrischer Raum|metrischen Raum]] <math>X</math> mit Metrik <math>d</math> gilt:

Zu jeder [[Offene Überdeckung|offenen Überdeckung]] <math>\mathcal U</math> existiert eine Zahl <math>\delta > 0</math> sodass jede Teilmenge <math>A \subseteq X</math> mit [[Durchmesser]] <math>d(A) < \delta</math> in einer Überdeckungsmenge <math>U \in \mathcal U</math> enthalten ist, also <math>A \subseteq U</math>.
Eine solche Zahl <math>\delta</math> heißt ''Lebesguezahl'' der Überdeckung <math>\mathcal U</math> für <math>X</math>.

Jede kleinere Zahl ist somit natürlich auch eine Lebesguezahl zu dieser Überdeckung und diesem Raum.

== Beweis ==
Wenn <math>X \in \mathcal U</math>, kann jede Zahl <math>\delta > 0</math> gewählt werden, da ja alle Teilmengen <math>A \subseteq X</math> in einer Überdeckungsmenge enthalten sind.

Sei also nun <math>X \not\in \mathcal U</math>.
Da <math>X</math> kompakt ist, lässt sich aus <math>\mathcal U</math> eine endliche Teilüberdeckung wählen, sei also <math>\{A_1, \dots, A_n\} \subseteq \mathcal U</math> eine (endliche) Überdeckung von ''X''.

Für alle <math>i \in \{1, \dots, n\}</math>, setze <math>C_i := X \setminus A_i</math> und definiere eine Funktion <math>f \colon X \rightarrow \mathbb R</math> durch <math>\textstyle f(x) := \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n d(x,C_i)</math>.

Für ein beliebiges, aber festes <math>x \in X</math> wähle nun <math>i</math> so, dass <math>x \in A_i</math>.
Wähle nun ein <math>\epsilon > 0</math> klein genug, sodass die [[Umgebung (Mathematik)|<math>\epsilon</math>-Umgebung]] von <math>x</math> in der gewählten Überdeckungsmenge liegt, also <math>U_\epsilon(x) \subseteq A_i</math>.
Nun ist <math>d(x,C_i) \ge \epsilon</math>, also ist <math>f(x) \ge \frac{\epsilon}{n}</math>. Die Funktion <math>f</math> ist somit
auf ganz <math>X</math> positiv.

Da <math>f</math> [[Stetige Funktion|stetig]] und auf einem [[Kompakter Raum|Kompaktum]] definiert ist, nimmt es ein [[Größtes und kleinstes Element|Minimum]] <math>\delta>0</math> an. Dieses ist die gesuchte Lebesguezahl:

Sei <math>B \subseteq X, d(B) < \delta</math> eine Teilmenge mit Durchmesser kleiner <math>\delta</math>. Für jedes <math>x \in B</math> liegt <math>B</math> nun in der <math>\delta</math>-Umgebung von <math>x</math>. Wähle nun ein beliebiges <math>x_0 \in B</math>.

Sei nun <math>m</math> so gewählt, dass <math>d(x_0,C_i)</math> für <math>i=m</math> maximal wird.
Nun ist <math>\delta \le f(x_0) \le d(x_0,C_m)</math> und die <math>\delta</math>-Umgebung <math>U_\delta(x_0)</math> von <math>x_0</math> und damit <math>B</math> liegen ganz in <math>A_m = X \setminus C_m</math> aus der Überdeckung <math>\mathcal U</math>.
Damit ist jetzt also ein <math>\delta</math> mit der Eigenschaft der Lebesguezahl gefunden.

== Anwendungen ==

Die Lebesguezahl wird beim Beweis verschiedener grundlegender Sätze der [[Algebraische Topologie|Algebraischen Topologie]] verwendet, so beim Beweis des [[Satz von Seifert-van Kampen|Satzes von Seifert-van Kampen]] oder der [[Mayer-Vietoris-Sequenz]] und des [[Ausschneidungsaxiom]]s der [[Singuläre Homologie|singulären Homologie]].

== Weblinks ==
* [https://www.uni-math.gwdg.de/schick/teach/KnotenSeminar/seifert-vankampen.pdf Skript zum Satz von Seifert van Kampen] für eine Anwendung der Lebesguezahl (und einen weiteren Beweis; PDF-Datei; 505 kB)

[[Kategorie:Topologie]]

Lebesguezahl - Versionsgeschichte

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