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Das '''Lebesgue-Maß''' {{IPA|ləˈbɛg|Tondatei=Lebesgue.ogg}} (nach [[Henri Léon Lebesgue]]) ist das [[Maß (Mathematik)|Maß]] im [[Euklidischer Raum|euklidischen Raum]], das geometrischen Objekten ihren Inhalt (Länge, Flächeninhalt, Volumen …) zuordnet. Es ist ein Spezialfall des [[Lebesgue-Stieltjes-Maß]]es<ref>{{Literatur |Autor=Norbert Kusolitsch |Titel=Maß- und Wahrscheinlichkeitstheorie |TitelErg=Eine Einführung |Auflage=2., überarbeitete und erweiterte |Verlag=Springer-Verlag |Ort=Berlin Heidelberg |Datum=2014 |ISBN=978-3-642-45386-1 |Seiten=68 |DOI=10.1007/978-3-642-45387-8}}</ref> und dient zur Konstruktion des [[Lebesgue-Integral]]s.

== Hintergrund ==
Das Lebesgue-Maß ist aus der Sicht der modernen Mathematik der natürliche Begriff für Flächeninhalt und Volumen. Dieses Konzept ist das Endprodukt einer ganzen Reihe von Ideen, die versuchten, Begriffe wie Flächeninhalt und Volumen mathematisch exakt zu fassen. Erst mit dem Lebesgue-Maß kann dieser Prozess als abgeschlossen gelten. Das Lebesgue-Maß ordnet nicht nur einfachen geometrischen Objekten, sondern auch viel allgemeineren Mengen einschließlich aller [[Offene Menge|offenen]] und [[Abgeschlossene Menge|abgeschlossenen]] Mengen einen Inhalt zu. Die Existenz nicht Lebesgue-messbarer Mengen (etwa der [[Vitali-Menge]]n) lässt sich [[Konstruktiver Beweis|nicht-konstruktiv]] unter Verwendung des [[Auswahlaxiom]]s beweisen.

== Definition ==
Das '''Lebesgue-[[Borel-Maß]]''' auf der [[Borel-σ-Algebra]] <math>\mathcal B(\R^n)</math> (auch als ''Borel-Lebesgue-Maß'' oder nur ''Borel-Maß'' bezeichnet) ist das eindeutige [[Maß (Mathematik)|Maß]] <math>\lambda</math> mit der Eigenschaft, dass es <math>n</math>-dimensionalen [[Hyperrechteck]]en ihr <math>n</math>-dimensionales [[Volumen]] zuordnet:
::<math>\lambda([a_1, b_1]\times\dotsb\times[a_n, b_n]) = (b_1-a_1)\cdot \ldots \cdot (b_n-a_n)</math>.
Das heißt, es ist das Maß, das [[Intervall (Mathematik)|Intervallen]] ihre Länge zuordnet (im Eindimensionalen), [[Rechteck]]en ihren Flächeninhalt zuordnet (im Zweidimensionalen), [[Quader]]n ihr Volumen zuordnet (im Dreidimensionalen) usw. Durch diese Bedingung wird der Inhalt <math>\lambda(B)</math> beliebiger Borel-Mengen eindeutig festgelegt. Die Borel-Mengen werden auch ''Borel-messbar'' oder ''B-messbar'' genannt. Das Borel-Maß ist [[Bewegungsinvariante Funktion|bewegungsinvariant]] und normiert, aber nicht [[Vollständiges Maß|vollständig]].
Die Existenz des Lebesgue-Borel-Maßes wurde im Eindimensionalen zum ersten Mal von [[Émile Borel]] 1895 bewiesen, eine modernere Konstruktion über den [[Maßerweiterungssatz von Carathéodory|Maßerweiterungssatz]] geht auf [[Constantin Carathéodory]] (1918) zurück.<ref>[[Olav Kallenberg]]: ''Foundations of Modern Probability.'' 2nd edition. Springer, New York NY u. a. 2002, ISBN 0-387-95313-2, S. 570.</ref>

Das ''Lebesgue-Maß'' ist das [[Vervollständigung (Maßtheorie)|vollständige Maß]] <math>\lambda</math>, das man aus diesem Maß erhält, wenn man zu <math>\mathcal B(\R^n)</math> alle Mengen <math>A</math> hinzufügt, die zwischen zwei Borel-Mengen liegen (<math>B_1 \subset A \subset B_2</math>), welche denselben Inhalt haben, genauer <math>\lambda(B_2 \setminus B_1) = 0</math>, und so <math>\lambda(A)</math> festlegen. Die Mengen, für die das Lebesgue-Maß auf diese Weise definiert ist, heißen ''Lebesgue-messbar'' (oder ''L-messbar''). Sie bilden in der Folge die '''Lebesgue-<math>\sigma</math>-Algebra'''.

== B-messbar und L-messbar ==
Es lässt sich zeigen, dass die Menge der L-messbaren Mengen <math>\mathcal L(\R^n)</math> wesentlich ''größer'' als die Menge der B-messbaren Mengen ist:<ref name="Leinert">[[Michael Leinert (Mathematiker)|Michael Leinert]]: ''Integration und Maß.'' Vieweg, Braunschweig u. a. 1995, ISBN 3-528-06385-8, 4.20.</ref><ref>Beispiele für nicht B-messbare L-messbare Mengen sind zum ersten Mal von Suslin gegeben worden. Er hat dabei das System der sogenannten [[Analytische Menge|analytischen Mengen]] entwickelt, das eine echte Erweiterung des Systems der Borelschen Mengen ist und komplett im System der L-messbaren Mengen liegt.</ref>
:<math> \operatorname{card}(\mathcal L(\R^n))=
\operatorname{card}(\operatorname{Pot}(\R^n))=
2^{\operatorname{card}(\mathbb{R}^n)}=
2^{\operatorname{card}(\mathbb{R})}
>\operatorname{card}(\R)=\operatorname{card}(\R^n)
=\operatorname{card}(\mathcal B(\R^n))\,,</math>
wobei <math>\operatorname{card}</math> für [[Kardinalität (Mathematik)|Kardinalität]] und <math>\operatorname{Pot}</math> für die Potenzmenge einer Menge steht.

== Nullmengen ==
Mengen, deren Lebesgue-Maß gleich 0 ist, werden ''Lebesgue-[[Nullmenge]]n'' genannt. [[Abzählbare Menge|Abzählbare]] Mengen wie z. B. die Menge der [[Rationale Zahlen|rationalen Zahlen]] sind Lebesgue-Nullmengen. Ein Beispiel für eine [[überabzählbar]]e Lebesgue-Nullmenge ist das [[Cantor-Menge|Cantorsche Diskontinuum]].<ref>Das cantorsche Diskontinuum ist auch eine borelsche Nullmenge. Da das Lebesgue-Maß vollständig ist, sind alle Untermengen des cantorschen Diskontinuums L-messbar. Daraus folgt die erste von den oben erwähnten Ungleichungen – nämlich, dass das System der L-messbaren Mengen echt mächtiger als das [[Kontinuum (Mathematik)|Kontinuum]] ist.</ref> Gilt eine mathematische Aussage für ein Gebiet mit Ausnahme einer Lebesgue-Nullmenge innerhalb des Gebietes, so sagt man: Die Aussage gilt ''Lebesgue-[[fast überall]]''.

== Eigenschaften ==
[[Datei:Translation of a set.svg|mini|300px|Da das Lebesgue-Maß translationsinvariant ist, ist das Lebesgue-Maß von <math>A</math> und <math>A+t</math> das gleiche.]]
Das Lebesgue-Maß ist das [[Haar-Maß]] auf der [[lokalkompakt]]en [[Topologische Gruppe|topologischen Gruppe]] <math>\R^n</math> mit der [[Addition]], die Existenz folgt daher bereits aus der Existenz des Haarmaßes. Insbesondere ist es [[Translationsinvarianz|translationsinvariant]], das bedeutet, dass sich das Maß einer Menge unter [[Parallelverschiebung|Translation]] nicht ändert. In Formeln ist das <math>\lambda(h+A)=\lambda(A)</math> für alle <math>h\in \R^n</math> und alle Lebesgue-messbaren Mengen <math>A</math>, wobei <math>h+A=\{h+a\mid a\in A\}</math>. Zudem ist es invariant unter [[Spiegelung (Geometrie)|Spiegelungen]] und [[Drehung]]en <math>R</math>, also sogar invariant unter [[Isometrie]]n in <math>\R^n</math>
:<math>\lambda(x)=\lambda(x_0+Rx),\quad R^TR=I_n.</math>
Das Lebesgue-Maß ist [[σ-endliches Maß|σ-endlich]] und [[Reguläres Maß|regulär]].

== Charakterisierung der Lebesgue-Messbarkeit ==
Eine Teilmenge <math>A</math> des <math>\R^n</math> ist Lebesgue-messbar genau dann, wenn sie die folgende [[Charakteristikum|charakteristische Eigenschaft]] aufweist:<ref name="Elstrodt">[[Jürgen Elstrodt]]: ''Maß- und Integrationstheorie.'', 7., korrigierte und aktualisierte, Springer, Heidelberg u. a. 2011, ISBN 978-3-642-17904-4, S. 67.</ref>
: ''Zu jeder vorgegebenen [[Beschränktheit#Beschränktheit bezüglich einer Ordnungsrelation|Schranke]] <math>\varepsilon > 0</math> gibt es im <math>\R^n</math> stets eine [[offene Menge]] <math>U</math> sowie eine [[abgeschlossene Menge]] <math>F</math> mit''
: <math>F \subseteq A \subseteq U</math> ''und'' <math> \lambda^{n}(U \setminus F) < \varepsilon </math>.

== Konstruktion des Lebesgue-Maßes ==
Eine mögliche Definition des Lebesgue-Maßes ist die Konstruktion von [[Constantin Carathéodory|Carathéodory]]. Sei <math>\mathcal{D}</math> die Menge der [[Dyadische Elementarzellen|dyadischen Elementarzellen]] und <math>\operatorname{vol}(A_i)</math> das Volumen von <math>A_i</math>; da diese Mengen nur aus Produkten von Intervallen bestehen, definiert man das Volumen einfach als Produkt der einzelnen Seitenlängen. <math>\mathcal{D}</math> ist ein [[Halbring (Mengensystem)|Halbring]] und <math>\operatorname{vol}</math> ein <math>\sigma</math>-endlicher [[Inhalt (Maßtheorie)|Inhalt]], also ein [[Prämaß]]. Dieses Prämaß wird auch das [[Lebesguesches Prämaß|Lebesguesche Prämaß]] genannt. Nach dem [[Maßerweiterungssatz von Carathéodory]] lässt es sich eindeutig zu einem Maß auf der erzeugten <math>\sigma</math>-Algebra, das sind gerade die Borel-Mengen, fortsetzen. Diese Fortsetzung ist das Lebesgue-Borel-Maß.

Konkret lässt sich der Beweis wie folgt führen (der Beweis des allgemeinen Maßerweiterungssatzes geht in den wesentlichen Punkten analog): Für eine gegebene Menge <math>A \subseteq \R^n</math> definiert man

:<math> \lambda^*(A) := \inf \left\{\sum_{i \geq 1} \operatorname{vol}(A_i): A \subseteq \bigcup_{i \geq 1} A_i,\ A_i \in \mathcal{D}\right\} </math>.

Die Funktion <math>\lambda^*</math> ist auf der gesamten [[Potenzmenge]] <math>\mathcal{P}(\R^n)</math> definiert und ein [[äußeres Maß#Metrisches äußeres Maß|metrisches äußeres Maß]], jedoch kein [[Maßtheorie#Maß|Maß]]. Um zu einem Maß zu kommen, kann man wie folgt von der Potenzmenge zu einem kleineren [[Mengensystem]] übergehen.

Eine Menge <math>A \in \mathcal{P}(\R^n)</math> ist <math>\lambda^*</math>-messbar, wenn für alle <math>B \in \mathcal{P}(\R^n)</math> gilt:

:<math> \lambda^*(B) = \lambda^*(A\cap B) + \lambda^*(B \setminus A) </math>
(siehe [[Messbarkeit nach Carathéodory]]).

Alle bezüglich <math>\lambda^*</math> messbaren Mengen aus <math>\mathcal{P}(\R^n)</math> bilden eine [[σ-Algebra]] <math>\mathcal{A}</math> und <math>\lambda^*</math> darauf ein [[Maßtheorie#Maß|Maß]], d. h., <math> \lambda := \lambda^*\vert_\mathcal{A} </math> ist ein Maß.

== Lebesgue-Maß in unendlichdimensionalen Räumen ==
{{Hauptartikel|Unendlichdimensionales Lebesgue-Maß}}
Es gibt ein Resultat von Gowrisankaran, dass wenn auf einer hausdorffschen [[topologische Gruppe]] ein nicht-triviales links-invariantes [[Radon-Maß]] existiert, diese Gruppe [[Lokalkompakter Raum|lokalkompakt]] sein muss.<ref>{{Literatur |Autor=Chandra Gowrisankaran |Titel=Radon Measures on Groups |Sammelwerk=Proceedings of the American Mathematical Society 25 |Nummer=2 |Datum=1970 |Seiten=381–84 |DOI=10.2307/2037226}}</ref> Hausdorffsche topologische Vektorräume sind aber nur dann lokalkompakt, wenn sie endlichdimensional sind. Da das Lebesgue-Maß zu den Radon-Maßen gehört, existiert somit ein unendlichdimensionales Lebesgue-Maß auf hausdorffschen topologischen Gruppen nicht. Es gibt aber Möglichkeiten, wie man Maße in unendlichdimensionalen Räumen konstruiert, die viele Eigenschaften des Lebesgue-Maßes besitzen.

Linksinvariant bedeutet, dass für ein Maß <math>\mu</math> auf einer Gruppe <math>(G,\cdot)</math> die Eigenschaft <math>\mu(gB)=\mu(B)</math> für all <math>g\in G</math> und messbaren <math>B</math> gilt. Im Falle eines Vektorraumes ist die Gruppenoperation die Addition <math>gB=g+B=\{g+b\mid b\in B\}.</math>

== Siehe auch ==
* [[Lebesgue-Integral]]
* [[Lp-Raum|''L''<sup>''p''</sup>-Raum]]
* [[Maßproblem]]

== Quellen und weiterführende Informationen ==
<references />

{{SORTIERUNG:Lebesgue-Mass}}
[[Kategorie:Maß (Mathematik)]]

Lebesgue-Maß - Versionsgeschichte

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