imported>Tea2min: /* Geschichtliches zum Lebesgue-Integral */ Jordan ist generell unter seinem Vornamen "Camille Jordan" bekannt.

2025-09-19T06:45:14Z

Geschichtliches zum Lebesgue-Integral: Jordan ist generell unter seinem Vornamen "Camille Jordan" bekannt.

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{{Dieser Artikel|behandelt den allgemeinen Integral-Begriff, für die spezielle Integration bzgl. des [[Lebesgue-Maß]]es siehe dort.}}
[[Datei:Riemannvslebesgue.svg|hochkant=1.6|mini|'''Abbildung 1:''' Illustration der Grenzwertbildung beim Riemann-Integral (blau) und beim Lebesgue-Integral (rot)]]
Das '''Lebesgue-Integral''' (nach [[Henri Léon Lebesgue]] [{{IPA|ɑ̃ʁiː leɔ̃ ləˈbɛg}}], 1875–1941) ist der [[Integralrechnung|Integralbegriff]] der modernen Mathematik, der die Integration von [[Funktion (Mathematik)|Funktionen]] ermöglicht, die auf beliebigen [[Maßraum|Maßräumen]] definiert sind. Im Fall der [[Reelle Zahl|reellen Zahlen]] mit dem [[Lebesgue-Maß]] stellt das Lebesgue-Integral eine echte Verallgemeinerung des [[Riemann-Integral]]s dar.

Anschaulich gesprochen bedeutet dies: Zur Annäherung des Riemann-Integrals (Abb. 1 blau) wird die [[Abszisse]]nachse in Intervalle unterteilt ([[Partition (Mengenlehre)|Partitionen]]) und Rechtecke gemäß dem Funktionswert an einer [[Stützstelle]] innerhalb der betreffenden Intervalle konstruiert und diese Flächen addiert. Dagegen wird zur Annäherung des Lebesgue-Integrals (Abb. 1 rot) die [[Ordinate]]nachse in Intervalle unterteilt und die Flächen zur Approximation ergeben sich aus einer Stützstelle des jeweiligen Ordinatenintervalls multipliziert mit der Gesamtlänge der [[Vereinigung (Mengenlehre)|Vereinigung]] der [[Urbild (Mathematik)|Urbilder]] des Ordinatenintervalls (gleiche Rottöne). Die Summe der so gebildeten Flächen ergibt eine Approximation des Lebesgue-Integrals. Die Gesamtlänge der Urbild-Menge wird auch als ihr [[Maß (Mathematik)|Maß]] bezeichnet. Man vergleiche dazu auch das Zitat von Henri Lebesgue im [[#Riemann- und Lebesgue-Integral|Abschnitt unten]].

So wie ein Riemann-Integral durch die [[Konvergenz (Mathematik)|Konvergenz]] des [[Flächeninhalt]]es einer [[Folge (Mathematik)|Folge]] von [[Treppenfunktion (reelle Funktion)|Treppenfunktionen]] definiert ist, so ist das Lebesgue-Integral durch die Konvergenz einer Folge von sog. [[Einfache Funktion|einfachen Funktionen]] definiert.

== Geschichtliches zum Lebesgue-Integral ==
Die Begründung der Differential- und Integralrechnung beginnt im 17. Jahrhundert mit [[Isaac Newton]] und [[Gottfried Wilhelm Leibniz]] (1687 erscheint Newtons „Philosophiae Naturalis Principia Mathematica“). Sie stellt einen Meilenstein in der Wissenschaftsgeschichte dar, besaß man doch nun zum ersten Mal ein mathematisches Konzept zur Beschreibung kontinuierlicher, dynamischer Prozesse in der Natur und – dadurch motiviert – zur Berechnung krummlinig berandeter Flächen. Es sollten aber noch viele Jahrzehnte vergehen, bis die Integralrechnung gegen Mitte des 19. Jahrhunderts durch [[Augustin Louis Cauchy]] und [[Bernhard Riemann]] auf ein solides theoretisches Fundament gestellt wurde.

Die Verallgemeinerung des so genannten [[Riemann-Integral]]s auf höherdimensionale Räume, zum Beispiel zur Berechnung der Volumina beliebiger Körper im Raum, erwies sich jedoch als schwierig. Die Entwicklung eines moderneren und leistungsfähigeren Integralbegriffes ist untrennbar mit der Entwicklung der [[Maßtheorie]] verknüpft. Tatsächlich begannen die Mathematiker erst reichlich spät systematisch zu untersuchen, wie sich beliebigen [[Teilmenge]]n des <math>\mathbb R^n</math> in sinnvoller Weise ein Volumen zuordnen lässt. Unverzichtbare Voraussetzung für diese Arbeiten war die strenge axiomatische Begründung der [[Reelle Zahlen|reellen Zahlen]] durch [[Richard Dedekind]] und [[Georg Cantor]] und die Begründung der [[Mengenlehre]] durch Cantor gegen Ende des 19. Jahrhunderts.

Erste Antworten auf die Frage nach dem Volumen beliebiger Teilmengen des <math>\mathbb R^n</math> gaben zum Beispiel [[Giuseppe Peano]] und [[Camille Jordan]]. Eine befriedigende Lösung dieses Problems gelang aber erst [[Émile Borel]] und [[Henri Lebesgue]] durch die Konstruktion des Lebesgue-Maßes. 1902 formulierte Lebesgue in seiner Pariser ''Thèse'' zum ersten Mal das moderne Maßproblem und wies explizit darauf hin, es nicht in voller Allgemeinheit lösen zu können, sondern nur für eine ganz bestimmte Klasse von Mengen, die er ''messbare Mengen'' nannte. Tatsächlich sollte sich herausstellen, dass das Maßproblem nicht allgemein lösbar ist, d. h. tatsächlich Mengen existieren, denen man kein sinnvolles Maß zuordnen kann (siehe [[Satz von Vitali (Maßtheorie)|Satz von Vitali]], [[Banach-Tarski-Paradoxon]]). Durch die Konstruktion des Lebesgue-Maßes stand nun der Weg für einen neuen, verallgemeinerbaren Integralbegriff offen. Die erste Definition des Lebesgue-Integrals gab denn auch Henri Lebesgue in seiner ''Thèse'' gleich selbst. Weitere bedeutende Definitionen des Lebesgue-Integrals stammten wenig später von [[William Henry Young]] (1905) und [[Frigyes Riesz]] (1910). Die nachfolgend vorgestellte Definition, die mittlerweile in der Fachliteratur am üblichsten ist, folgt der Konstruktion Youngs.

Heutzutage ist das Lebesgue-Integral der Integralbegriff der modernen Mathematik. Seine Verallgemeinerbarkeit und seine – aus mathematischer Sicht – schönen Eigenschaften machen ihn auch zu einem unverzichtbaren Werkzeug in der [[Funktionalanalysis]], der [[Physik]] und der [[Wahrscheinlichkeitstheorie]].

== Zur Konstruktion des Lebesgue-Integrals ==
=== Maßraum und messbare Mengen ===

Das Lebesgue-Integral wird für Funktionen auf einem beliebigen [[Maßraum]] definiert. Ein Maßraum auf einer Menge <math>\Omega</math> besteht aus einer Auswahl von Teilmengen von <math>\Omega</math>, die als ''messbar'' gelten, und einem sogenannten [[Maß (Mathematik)|Maß]] <math>\mu</math>, mit welchem einer messbaren Teilmenge <math>A</math> von <math>\Omega</math> ihr Maß <math>\mathcal\mu(A)</math> zugeordnet wird. Dieses Maß einer messbaren Teilmenge <math>A</math> ist stets eine nichtnegative reelle Zahl oder <math>+\infty</math>. Hierbei müssen sowohl die Auswahl der als messbar geltenden Teilmengen von <math>\Omega</math> als auch das Maß gewisse Axiome erfüllen.

Für die Integration von auf Teilmengen des <math>\R^n</math> definierten Funktionen verwendet man in der Regel das [[Lebesgue-Maß]] <math>\lambda</math>. Dieses ist dadurch charakterisiert, dass <math>n</math>-dimensionalen [[Hyperrechteck]]en ihr „normales“ <math>n</math>-dimensionales [[Volumen]] zugeordnet wird: <math>\lambda([a_1, b_1]\times\dotsb\times[a_n, b_n]) = (b_1-a_1)\cdot \ldots \cdot (b_n-a_n)</math>.

=== Integration einfacher Funktionen ===

So wie das [[Riemann-Integral]] mittels Approximation durch [[Treppenfunktion (reelle Funktion)|Treppenfunktionen]] konstruiert wird, konstruiert man das Lebesgue-Integral mit Hilfe sogenannter [[Einfache Funktion|einfacher Funktionen]]. Diese Vorgehensweise wird manchmal auch als „[[Maßtheoretische Induktion|algebraische Induktion]]“ bezeichnet und findet in vielen Beweisen für messbare Funktionen Verwendung.
Eine einfache Funktion, auch ''Elementarfunktion'' genannt, ist eine nicht-negative [[messbare Funktion]], die nur endlich viele Funktionswerte <math>\alpha_i</math> annimmt. Somit lässt sich jede einfache Funktion <math>\phi</math> schreiben als
:<math>\phi=\sum_{i=1}^n\alpha_i \chi_{A_i}</math>.
Dabei ist, für <math>i=1, \ldots, n</math>, <math>\alpha_i</math> eine [[Positive Zahl|positive]] [[reelle Zahl]], <math>A_i</math> eine messbare Menge, <math>\chi_{A_i}</math> die [[Indikatorfunktion|charakteristische Funktion]] zu <math>A_i</math> (diese nimmt auf <math>A_i</math> den Wert <math>1</math> an und außerhalb von <math>A_i</math> den Wert <math>0</math>) und die <math>A_i</math> sind alle disjunkt.

Nun lässt sich auf sehr natürliche Weise das Integral einer einfachen Funktion <math>\phi</math> definieren:
:<math>\int_\Omega \phi\ \mathrm{d}\mu := \sum_{i=1}^n\alpha_i\mu(A_i)</math>
Das Integral von <math>\phi</math> über <math>\Omega</math> ist also einfach die Summe der Produkte aus dem Funktionswert von <math>\phi</math> und dem Maß der Menge, auf der die Funktion den jeweiligen Wert annimmt.

=== Integration nicht-negativer Funktionen ===

Nun definiert man zunächst das Integral für nicht-negative Funktionen, d. h. für Funktionen, die keine negativen Werte annehmen. Voraussetzung für die Integrierbarkeit einer Funktion ist ihre [[Messbare Funktion|Messbarkeit]].

Eine nicht-negative (numerische) Funktion <math>f\colon\left(\Omega,\Sigma,\mu\right)\to (\bar\R, \mathcal{B}(\bar\R))</math>, wobei <math>\mathcal{B}(\bar\R)</math> die [[Borelsche σ-Algebra]] auf <math>\bar\R</math> bezeichnet, ist genau dann messbar, wenn es eine Folge <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> von einfachen Funktionen gibt, die [[Punktweise Konvergenz|punktweise]] und monoton wachsend gegen <math>f</math> [[Grenzwert (Folge)|konvergiert]]. Man definiert nun das Integral einer nicht-negativen, messbaren Funktion durch
:<math>\int_\Omega f\, \mathrm d\mu=\lim_{n\rightarrow\infty}\int_\Omega f_n\, \mathrm d\mu</math>,
wobei die <math>f_n</math> einfach sind und punktweise und monoton wachsend gegen <math>f</math> konvergieren. Der Limes ist von der speziellen Wahl der Folge <math>f_n</math> unabhängig. Das Integral kann auch den Wert <math>+\infty</math> annehmen.

Häufig findet man in der Literatur auch folgende äquivalente Definition:
:<math>\int_\Omega f\, \mathrm d\mu=\sup\left\lbrace \int_\Omega \phi \, \mathrm d\mu \, \vert \, \phi \ \text{einfach}, 0 \leq \phi\leq f \right\rbrace</math>

Man definiert also das Integral einer nicht-negativen messbaren Funktion, indem man die Funktion „von unten“ beliebig genau durch einfache Funktionen approximiert.

=== Integration beliebiger messbarer Funktionen und Integrierbarkeit ===

Um das Integral einer beliebigen messbaren Funktion zu definieren, zerlegt man diese in ihren [[Positivteil und Negativteil einer reellwertigen Funktion|positiven und negativen Anteil]], integriert diese beiden einzeln und zieht die Integrale voneinander ab. Das ergibt aber nur dann einen Sinn, wenn die Werte dieser beiden Integrale endlich sind (zumindest der Wert eines der beiden Integrale).

Der ''[[Positivteil]]'' <math>f^+</math> einer Funktion <math>f</math> ist (punktweise) definiert als <math>f^+ = \max \{ f , 0 \}</math>.

Der ''[[Negativteil]]'' <math>f^-</math> wird entsprechend (punktweise) durch <math>f^- = \max \{-f , 0\}</math> definiert.

Es gilt dann (punktweise) <math>f^+ \ge 0</math>, <math>f^- \ge 0</math>, <math>f = f^+ - f^-</math> und <math>f^+ + f^- = |f|</math>.

Eine Funktion heißt ''[[Quasiintegrierbare Funktion|µ-quasiintegrierbar]]'' oder ''quasiintegrierbar bezüglich des Maßes µ'', wenn mindestens eines der beiden Integrale
:<math>\int_\Omega f^+\ \mathrm d\mu</math> oder <math>\displaystyle\int_\Omega f^-\ \mathrm d\mu</math>
endlich ist.

In diesem Falle heißt
:<math>\int_\Omega f\ \mathrm d\mu = \int_\Omega f^+\ \mathrm d\mu-\int_\Omega f^-\mathrm d \mu</math>.
das <math>\mu</math>-Integral von <math>f</math> über <math>\Omega</math>.

Für alle messbaren Teilmengen <math> A\subseteq\Omega </math> ist dann
:<math>\int_A f \mathrm d\mu=\int_\Omega f \cdot \chi_A\ \mathrm d\mu</math>
das <math>\mu</math>-Integral von <math>f</math> über <math>A</math>.

Eine Funktion heißt ''µ-integrierbar'' oder ''integrierbar bezüglich des Maßes µ'', wenn beide Integrale
:<math>\int_\Omega f^+\ \mathrm d\mu</math> und <math>\displaystyle\int_\Omega f^-\ \mathrm d\mu</math>
endlich sind.
Äquivalent dazu ist die Bedingung
:<math>\int_\Omega |f| \,\mathrm d\mu<\infty</math>.

Offensichtlich ist jede integrierbare Funktion quasiintegrierbar.

== Schreibweisen und Spezialfälle ==
Für das Lebesgue-Integral werden zahlreiche Schreibweisen verwendet: Im Folgenden sei <math> A\subseteq\Omega </math> eine messbare Menge. Will man bei der Integration die Integrationsvariable <math>x</math> angeben, so schreibt man
:<math>\int_A f(x)\,\mathrm{d}\mu(x)</math> oder <math>\int_A f(x)\,\mu(\mathrm{d}x)</math> oder auch <math>\int_A \mu(\mathrm{d}x)\,f(x)</math>.

Für <math>\Omega=\mathbb R^n</math> und das Lebesgue-Maß <math>\lambda</math> schreibt man statt <math>\mathrm{d}\lambda(x)</math> einfach <math>\mathrm{d}x</math>, im eindimensionalen Fall, also <math>\Omega=\mathbb R</math>, schreibt man auch
:<math>\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x</math>
für das Integral über das Intervall <math>[a,b]</math> oder <math>]a,b[</math>.

Wenn das Maß <math>\mu</math> eine [[Satz von Radon-Nikodým|Radon-Nikodým-Dichte]] <math>h</math> bezüglich des Lebesgue-Maßes besitzt, gilt
:<math>\int_A f(x) \, \mathrm d\mu(x) = \int_A f(x) \, h(x)\mathrm d x</math> .
In Anwendungsgebieten wird die Schreibweise
:<math>\int_A f(x) \, h(x)\,\mathrm{d}x</math>
häufig auch dann verwendet, wenn <math>\mu</math> formal keine Dichte besitzt. Dies ist jedoch nur dann sinnvoll, wenn man <math>h</math> nicht als Funktion, sondern als [[Distribution (Mathematik)|Distribution]] auffasst.

Ist das Maß <math>\mu</math> im Fall <math>\Omega=\mathbb R</math> durch eine [[Verteilungsfunktion (Maßtheorie)|Verteilungsfunktion]] <math>F</math> definiert, so erhält man das [[Lebesgue-Stieltjes-Integral]], das mit
:<math>\int_A f(x) \,\mathrm{d}F(x)</math> oder <math>\int_A f \,\mathrm{d}F</math>
bezeichnet wird.

Ist <math>\mu</math> ein [[Wahrscheinlichkeitsmaß]], so kann man <math> f </math> als [[Zufallsvariable]] auffassen (wofür die Notation <math> X </math> statt <math> f </math> üblich ist). Man definiert dann den [[Erwartungswert]] <math> \mathbb E(f) </math> von <math> f </math> als
:<math>\int_\Omega f\,\mathrm{d}\mu\,</math>.
In der [[Theoretische Physik|theoretischen Physik]] wird die Schreibweise <math>\langle f \rangle</math> verwendet, in der [[Funktionalanalysis]] manchmal die Schreibweise<math> \ \mu(f) </math>, in der Maßtheorie auch <math> \mu f </math><ref> {{Literatur |Autor=[[Olav Kallenberg]] |Titel=Foundations of Modern Probability |Reihe=Probability Theory and Stochastic Modelling |BandReihe=99 |Auflage=3 |Verlag=Springer |Ort=Cham |Datum=2021 |ISBN=978-3-030-61870-4 |DOI=10.1007/978-3-030-61871-1 |Seiten=21}}</ref>.

== Nullmengen und fast überall bestehende Eigenschaften ==
Eine Menge <math>N \subset \Omega</math>, die das Maß 0 besitzt, heißt [[Nullmenge]], im Falle des Lebesgue-Maßes auch speziell ''Lebesgue-Nullmenge''.
Ist also <math>N \subset \Omega</math> mit <math> \ \mu(N)=0 \ </math> und <math>f</math> eine integrierbare Funktion, so gilt:
:<math>\int_\Omega f \, \mathrm d\mu = \int_{\Omega \setminus N}f\, \mathrm d\mu + \int_N f \, \mathrm d\mu = \int_{\Omega \setminus N}f \, \mathrm d\mu</math>
da das Integral über die Nullmenge <math>N</math> den Wert 0 annimmt. (<math>\Omega\setminus N</math> bezeichnet die Menge <math>\Omega</math> ohne die Menge <math>N</math>)

Folglich ändert sich der Wert des Integrals nicht, wenn man die Funktion <math>f</math> auf einer Nullmenge ändert. Besitzt eine Funktion eine Eigenschaft (Stetigkeit, punktweise Konvergenz etc.) auf dem gesamten Definitionsbereich mit Ausnahme einer Menge vom Maß 0, so sagt man, diese Eigenschaft bestehe ''[[fast überall]]''. In der Lebesgue’schen Integrationstheorie ist es folglich oft sinnvoll, zwei Funktionen, die fast überall übereinstimmen, auch als ''gleich'' anzusehen – man fasst sie zu einer [[Äquivalenzrelation|Äquivalenzklasse]] zusammen (siehe hierzu auch [[Lp-Raum|''L<sup>p</sup>'']]).

Es ist sogar oft so, dass man Funktionen, die nur fast überall definiert sind (z. B. der punktweise Limes einer [[Funktionenfolge]], die nur fast überall konvergiert), als Funktionen auf dem ganzen Raum auffasst und ohne Bedenken
:<math>\int_\Omega f\,d\mu</math>
schreibt, auch wenn <math>f</math> gar nicht auf ganz <math>\Omega</math> definiert ist. Dieses Vorgehen ist dadurch gerechtfertigt, dass jede Fortsetzung von <math>f</math> sich nur auf einer Nullmenge <math>N</math> von <math>f</math> unterscheidet und somit das Integral der Fortsetzung über ganz <math>\Omega</math> den gleichen Wert hat wie das Integral über <math>\Omega\setminus N</math>.

Man muss beachten, dass eine Nullmenge nur im Sinne des Maßes vernachlässigbar „klein“ ist. Sie kann aber auch durchaus unendlich viele Elemente enthalten. So ist zum Beispiel die Menge <math>\Q \subset \R</math>, also die Menge der [[Rationale Zahl|rationalen Zahlen]] als Teilmenge der [[Reelle Zahl|reellen Zahlen]] eine Lebesgue-Nullmenge. Die [[Dirichlet-Funktion]]
:<math>f(x)=\begin{cases}1 & x\in\Q\\ 0 & \text{sonst}\end{cases}</math>
ist also im oben genannten Sinne gleich der Funktion, die konstant den Wert Null annimmt ([[Nullfunktion]]), obwohl es keine noch so kleine Umgebung gibt, in der ihre Werte übereinstimmen. Eine bekannte überabzählbare (zu <math>\R</math> gleichmächtige) Lebesgue-Nullmenge ist die [[Cantor-Menge]].

== Wichtige Eigenschaften des Lebesgue-Integrals ==
Das Integral ist linear in <math>\mathcal{L}^1</math> ([[Lp-Raum|Raum der integrierbaren Funktionen]]), d. h. für integrierbare Funktionen <math> \ f \ </math> und <math> \ g \ </math> und beliebige <math> \alpha , \beta \in \mathbb R </math> ist auch <math> \ \alpha f + \beta g \ </math> integrierbar und es gilt:
:<math> \int_ \Omega (\alpha f + \beta g) \, \mathrm d\mu = \alpha \cdot \int_\Omega f \, \mathrm d\mu + \beta \cdot \int_\Omega g \, \mathrm d\mu </math>

Das Integral ist monoton, d. h. sind <math> \ f \ </math> und <math> \ g \ </math> zwei messbare Funktionen mit <math>f\leq g</math>, so gilt
:<math>\int_\Omega f\ \mathrm d\mu\leq \int_\Omega g\ \mathrm{d}\mu</math>.

Das Integral kann getrennt werden
:<math>\int_\Omega f\ \mathrm d\mu = \int_{\Omega\backslash N} f\ \mathrm d\mu + \int_N f\ \mathrm d\mu</math>
:<math>\int_{\Omega \cup N} f\ \mathrm d\mu = \int_\Omega f\ \mathrm d\mu + \int_N f\ \mathrm d\mu - \int_{\Omega \cap N} f\ \mathrm d\mu</math>

Ist <math>A \in \mathcal P(\Omega)</math> messbar mit <math> \ \mu(A)=0 \ </math>, so gilt
:<math> \ \int_ A f \mathrm d\mu = 0 \ </math>

== Konvergenzsätze ==
Einer der wichtigsten Vorzüge des Lebesgue-Integrals sind die aus mathematischer Sicht sehr schönen Konvergenzsätze. Dies betrifft die Vertauschbarkeit von Grenzwert und Integral bei Funktionenfolgen der Form <math> \ (f_n)_{n\in\mathbb{N}} \ </math>. Die wichtigsten Konvergenzsätze sind:

;[[Satz von der monotonen Konvergenz]] ([[Beppo Levi]], 1906): Ist <math> f_n\colon(\Omega,\Sigma,\mu)\to(\bar\R,\mathcal{B}(\bar\R)), n\in\mathbb N </math> eine [[Monoton wachsende Funktionenfolge|monoton wachsende Folge]] von nichtnegativen, messbaren Funktionen, so gilt:
::<math> \int_\Omega \sup_{n\in\mathbb{N}} f_n\ \mathrm{d}\mu = \int_\Omega \lim_{n\rightarrow\infty} f_n\ \mathrm{d}\mu= \lim_{n\rightarrow\infty}\int_\Omega f_n\ \mathrm{d}\mu </math>.

;[[Satz von der majorisierten Konvergenz|Satz von der majorisierten (dominierten) Konvergenz]] (Henri Léon Lebesgue, 1910): Konvergiert die Folge der messbaren Funktionen <math>f_n\colon (\Omega,\Sigma,\mu)\to(\bar\R,\mathcal{B}(\bar\R))</math> <math>\mu</math>-fast überall gegen die messbare Funktion <math>f\colon (\Omega,\Sigma,\mu)\to(\bar\R,\mathcal{B}(\bar\R))</math> und sind die Funktionen <math>f_n</math>, <math>n \in \N</math>, betragsmäßig <math>\mu</math>-fast überall durch eine integrierbare Funktion <math>g\colon (\Omega,\Sigma,\mu)\to(\bar\R,\mathcal{B}(\bar\R))</math> beschränkt, dann gilt:

:*<math>f</math> ist integrierbar,
:*<math>\lim_{n\rightarrow\infty}\int_\Omega f_n\ \mathrm{d}\mu=\int_\Omega f\ \mathrm{d}\mu</math> und
:*<math>\lim_{n\rightarrow\infty}\int_\Omega |f-f_n|\ \mathrm{d}\mu=0.</math>

;[[Lemma von Fatou]] ([[Pierre Fatou]], 1906): Sind <math>f_n\colon(\Omega,\Sigma,\mu)\to(\bar\R,\mathcal{B}(\bar\R))</math>, <math>n\in\mathbb N</math>, nichtnegative messbare Funktionen, dann gilt:
::<math>\int_\Omega \liminf_{n\rightarrow\infty} f_n \ \mathrm{d}\mu \le \liminf_{n\rightarrow\infty} \int_\Omega f_n \ \mathrm{d}\mu</math>

== Riemann- und Lebesgue-Integral ==
[[Datei:Lebesgue vs riemann.pdf|mini|hochkant=1.6|'''Abbildung 2:''' Partialsummen der alternierenden harmonischen Reihe]]
Im Fall <math>\Omega = \mathbb R</math> mit dem Lebesgue-Maß gilt: Ist eine Funktion auf einem kompakten Intervall [[Riemann-Integral|Riemann-integrierbar]], so ist sie auch Lebesgue-integrierbar und die Werte beider Integrale stimmen überein. Hingegen ist nicht jede Lebesgue-integrierbare Funktion auch Riemann-integrierbar.

Allerdings muss eine [[Uneigentliches Integral|uneigentlich Riemann-integrierbare Funktion]] nicht ''als Ganzes'' Lebesgue-integrierbar sein; der entsprechende Grenzwert von Lebesgue-Integralen existiert jedoch nach den obigen Bemerkungen und liefert denselben Wert wie für die Riemann-Integrale. Ist aber <math>|f|</math> uneigentlich Riemann-integrierbar, dann ist <math>f</math> sogar als Ganzes Lebesgue-integrierbar.

Man kann leicht ein Beispiel einer uneigentlich Riemann-integrierbaren Funktion angeben, die nicht Lebesgue-integrierbar ist: Ist nämlich <math>f</math> eine Treppenfunktion mit den Flächen ''1'', ''-1/2'', ''1/3'' usw., dann ist <math>f</math> uneigentlich Riemann-integrierbar. Denn das Integral entspricht gerade der [[Harmonische Reihe|alternierenden harmonischen Reihe]]. Wäre <math>f</math> Lebesgue-integrierbar, so würde <math>\textstyle\int_{\mathbb{R}^+}|f|\,\mathrm d\lambda<\infty</math> gelten. Dies ist jedoch nicht der Fall, da die [[harmonische Reihe]] divergent ist. Folglich existiert das entsprechende Lebesgue-Integral ''nicht''. Die Situation ist in Abbildung 2 dargestellt.

Wichtiger ist der umgekehrte Fall einer Lebesgue-integrierbaren Funktion, die nicht Riemann-integrierbar ist.

Das bekannteste Beispiel dafür ist die [[Dirichlet-Funktion]]:
:<math>f\colon[0,1]\rightarrow[0,1]</math>
:<math>x\mapsto\begin{cases}1 & , x\in\mathbb{Q}\\ 0 & , \text{sonst}.\end{cases}</math>
<math>f</math> ist nicht Riemann-integrierbar, da alle Untersummen stets 0 und alle Obersummen stets 1 sind. Da aber <math>\mathbb Q\,,</math> die Menge der rationalen Zahlen, in der Menge der reellen Zahlen eine Lebesgue-Nullmenge ist, ist die Funktion ''fast überall 0''. Also existiert das Lebesgue-Integral und besitzt den Wert 0.

Der wesentliche Unterschied im Vorgehen bei der Integration nach Riemann bzw. Lebesgue besteht darin, dass beim Riemann-Integral der ''Definitionsbereich'' ([[Abszisse]]), beim Lebesgue-Integral jedoch die ''Bildmenge'' ([[Ordinate]]) der Funktion unterteilt wird. An obigen Beispielen lässt sich bereits erkennen, dass sich dieser Unterschied durchaus als entscheidend herausstellen kann.

Henri Lebesgue sagte über den Vergleich zwischen Riemann- und Lebesgue-Integral:
{{Zitat|1=Man kann sagen, dass man sich bei dem Vorgehen von Riemann verhält wie ein Kaufmann ohne System, der Geldstücke und Banknoten zählt in der Reihenfolge, wie er sie in die Hand bekommt; während wir vorgehen wie ein umsichtiger Kaufmann, der sagt:
:Ich habe <math>m(E_1)</math> Münzen zu einer Krone, macht <math>1\cdot m(E_1)</math>,
:ich habe <math>m(E_2)</math> Münzen zu zwei Kronen, macht <math>2\cdot m(E_2)</math>,
:ich habe <math>m(E_3)</math> Münzen zu fünf Kronen, macht <math>5\cdot m(E_3)</math>,
usw., ich habe also insgesamt <math>S=1\cdot m(E_1)+2\cdot m(E_2)+5\cdot m(E_3)+ \ldots</math>.<br />
Die beiden Verfahren führen sicher den Kaufmann zum gleichen Resultat, weil er – wie reich er auch sei – nur eine endliche Zahl von Banknoten zu zählen hat; aber für uns, die wir unendlich viele Indivisiblen zu addieren haben, ist der Unterschied zwischen beiden Vorgehensweisen wesentlich.|Autor=Henri Lebesgue, 1926|Quelle=nach Jürgen Elstrodt}}

== Bochner-Integral ==
{{Hauptartikel|Bochner-Integral}}

Eine direkte Verallgemeinerung des Lebesgue-Integrals für [[Banachraum]]-wertige Funktionen stellt das [[Bochner-Integral]] dar. Es hat fast alle Eigenschaften des Lebesgue-Integrals, wie zum Beispiel den Satz von der majorisierten Konvergenz.

== Literatur ==
* {{Literatur |Autor=[[Jürgen Elstrodt]] |Titel=Maß- und Integrationstheorie |Auflage=Achte, erweiterte und aktualisierte Auflage |Verlag=Springer Spektrum |Ort=Berlin |Datum=2018 |ISBN=978-3-662-57938-1 |Kapitel=IV. Das Lebesgue-Integral |Seiten=135–177 |DOI=10.1007/978-3-662-57939-8}}
* {{Literatur
|Autor=[[Walter Rudin]]
|Titel=Analysis
|Auflage=2., korrigierte
|Verlag=Oldenbourg
|Ort=München / Wien
|Datum=2002
|ISBN=3-486-25810-9
|Kapitel=11. Die Lebesguesche Theorie
|Seiten=353–392}}
* {{Literatur |Autor=Klaus D. Schmidt |Titel=Maß und Wahrscheinlichkeit |Auflage=2., durchgesehene Auflage |Verlag=Springer |Ort=Berlin / Heidelberg |Datum=2011 |ISBN=978-3-642-21025-9 |Kapitel=8. Lebesgue-Integral, 9. Berechnung des Lebesgue-Integral |Seiten=109–190 |DOI=10.1007/978-3-642-21026-6}}
== Einzelnachweise ==
<references/>
[[Kategorie:Integralbegriff]]
[[Kategorie:Maß (Mathematik)]]

Lebesgue-Integral - Versionsgeschichte

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