imported>Andreas Ley: /* DT-Plasma im Gleichgewicht */ Interpunktion

2025-03-27T13:20:43Z

DT-Plasma im Gleichgewicht: Interpunktion

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Das '''Lawson-Kriterium''' (nach [[John Lawson (Physiker)|John Lawson]]<ref>{{Literatur |Autor=J D Lawson |Titel=Some Criteria for a Power Producing Thermonuclear Reactor |Sammelwerk=Proceedings of the Physical Society. Section B |Band=70 |Nummer=1 |Datum=1957-01-01 |Sprache=en |ISSN=0370-1301 |DOI=10.1088/0370-1301/70/1/303 |Seiten=6–10 |Online=https://iopscience.iop.org/article/10.1088/0370-1301/70/1/303 |Abruf=2024-02-11}}</ref>) ist eine [[Physik|physikalische]] Bedingung dafür, dass eine in einem [[Plasma (Physik)|Plasma]] ablaufende [[Kernfusion]]sreaktion sich selbst trägt, d. h. sich in einer [[makroskopisch]]en Brennstoffmenge selbsttätig aufrechterhält. Vereinfacht gesagt muss der im Plasma bleibende Anteil der freigesetzten [[Leistung (Physik)|Fusionsleistung]] mindestens so groß sein wie die Verlustleistung des Plasmas.

Das Kriterium wurde ursprünglich für die Fusion von [[Deuterium]] und [[Tritium]] (DT) formuliert, kann aber grundsätzlich auch auf andere Fusionsbrennstoffe verallgemeinert werden. Die Art des Plasmaeinschlusses, etwa [[Fusion mittels magnetischen Einschlusses]] oder [[Trägheitsfusion]], spielt dafür keine Rolle.<ref>T. J. M. Boyd, J. J. Sanderson: ''The Physics of Plasmas''. Cambridge University Press, 2003, ISBN 0-521-45290-2, Seite 3–4</ref>

Alle Versuche, das Lawson-Kriterium in einer kontrollierten Reaktion zu erreichen, scheiterten bisher (2016) daran, dass die Plasmavolumina zu klein waren und zu schnell abkühlten, um einen dauerhaft ablaufenden Fusionsprozess zu ermöglichen. Erreicht werden sollte es mit dem Ursprungsentwurf für [[ITER]], der in dieser Größe jedoch nicht bewilligt wurde. Bei seinem Nachfolger [[DEMO]] soll es möglich werden. Auch bei Trägheitsfusionsexperimenten wurde die Erfüllung des Kriteriums, die Zündung, noch nicht erreicht.

== DT-Plasma im Gleichgewicht ==
{{Siehe auch|Fusion mittels magnetischen Einschlusses}}
Das Kriterium ergibt sich aus einem Gleichgewicht. In einem DT-[[Plasma (Physik)|Plasma]] muss der von den entstehenden [[Alphastrahlung|Alphateilchen]] getragene Anteil <math>P_{f,\alpha}</math> der Fusionsleistung gleich der Verlustleistung <math>P_v</math> des Plasmas sein.

Die bei der Fusionsreaktion freigesetzten [[Neutron]]en verlassen, da sie elektrisch neutral sind, das Plasma sofort, und ihre kinetische Energie von 14,1 [[Elektronenvolt|MeV]] dient dann der Energiegewinnung. Die elektrisch geladenen Alphateilchen geben dagegen durch Stöße ihre Bewegungsenergie von 3,5 MeV noch im Plasma ab, sie heizen also das Plasma mit einer Leistung <math>P_{f,\alpha}</math>. Gleichzeitig verliert das Plasma Energie durch Bremsstrahlung und Transport; dies ist die Verlustleistung <math>P_v</math>. Im Gleichgewicht ist <math>P_{f,\alpha} = P_v</math>. Erfüllt ein DT-Plasma diese Bedingung, „zündet“ es, „brennt“ dann ohne Energiezufuhr weiter und liefert seinerseits Energie als kinetische Neutronenenergie. In [[Kernwaffe]]n und auch in [[Trägheitsfusion]]s-Reaktoren muss das Kriterium erfüllt sein. In Magneteinschluss-[[Fusionsreaktor]]en muss es dagegen nicht vollständig erfüllt werden; eine gewisse ständig nötige Fremdheizung (mit z. B. einigen Prozent der gewonnenen Neutronenenergie) hätte sogar den Vorteil, eine zusätzliche Steuermöglichkeit der Reaktion zu bieten.<ref>Weston M. Stacey: ''Fusion. An Introduction to the Physics and Technology of Magnetic Confinement Fusion.'' Wiley-VCH, 2010, ISBN 978-3-527-40967-9, {{Google Buch |BuchID=moC-FPqFi8gC}}, Seite 8–9</ref>

Die Alphateilchen-Leistung beträgt bei einem DT-Plasma

:<math>P_{f,\alpha} = n_1 n_2 \langle \sigma v\rangle \epsilon V</math>

mit den [[Teilchendichte]]n <math>n_i</math> der beiden Reaktionspartner, der über die Geschwindigkeitsverteilung der Teilchen gemittelten [[Kernreaktionsrate]] <math> \langle \sigma v \rangle </math> (Teilchengeschwindigkeit multipliziert mit dem geschwindigkeitsabhängigen [[Wirkungsquerschnitt]]), dem auf das Alphateilchen entfallenden Teil der freiwerdenden Energie pro Fusion <math>\epsilon</math> und dem Plasmavolumen <math>V</math>.

Die im Plasma enthaltene thermische Energie ist

:<math>W = 3 \ n_e k_\mathrm{B} T\,V</math>

mit der Elektronendichte <math>n_e</math>, der [[Boltzmannkonstante]] <math>k_\mathrm{B}</math> und der Temperatur <math>T</math>.

Strahlungs- und Teilchentransportvorgänge bewirken eine Verlustleistung <math>P_v</math>. Der Quotient aus der thermischen Energie und der Verlustleistung hat die Dimension einer Zeit und wird als ''Energieeinschlusszeit'' <math>\tau_E</math> bezeichnet:

:<math>\tau_E = \frac{W} {P_v}</math>.

Zum Erreichen des selbsttätigen Brennens muss gelten:

:<math>P_{f,\alpha} \ge P_v</math>.

Mit der Annahme, dass beide Reaktionspartner in gleichen Mengen vorhanden sind, also die gleiche Teilchendichte haben und quasi vollständig ionisiert sind

:<math>n_1 = n_2 \approx \frac{1}{2}n_e \quad \leftrightarrow \quad n_1 n_2 = \frac{n_e^2}{4}</math>

folgt das '''Lawson-Kriterium''':

:<math>n_e\tau_E \ge \frac{12 \ k_\mathrm{B} T}{ \langle \sigma v\rangle \epsilon}</math>.

Bei vorgegebener Temperatur ergibt sich also der Mindestwert des Produkts aus Teilchendichte ''n'' und Energieeinschlusszeit <math>\tau_E</math> für die selbsttätig brennende Fusionsreaktion. Dieses Produkt ist eine Funktion der Temperatur und Kernreaktionsrate, die für jede Fusionsreaktion etwas anders verläuft, aber immer ein absolutes Minimum hat. Für die DT-Reaktion beispielsweise erhält man

:<math>n_e\tau_E \ge 1{,}5 \cdot 10^{20}\,\mathrm{m^{-3}\,s}</math>
wobei das Minimum bei einer Temperatur von ungefähr 25 keV liegt.

== Das Tripelprodukt ==
Anstelle von <math>n_e\tau_E</math> wird meistens das sogenannte Tripelprodukt <math>n_e\tau_E T </math> als Maß für das Erreichen der Zündbedingung verwendet. Das Lawson-Kriterium lautet dann

:<math>n_e\tau_E T \ge \frac{12 \; k_\mathrm{B} T^2}{ \langle \sigma v\rangle \epsilon}</math>.

Dieses hat den Vorteil, dass das Minimum von <math>n_e\tau_E T </math> als Funktion der Temperatur bei ca. 14 keV liegt (mit <math>n_e\tau_E T = 2{,}8 \cdot 10^{21} \mathrm{\,m^{-3}\, s\, keV}</math>), dem Wert, der ungefähr notwendig ist, um einen Fusionsreaktor zu betreiben.

== Verluste durch Bremsstrahlung ==
Insbesondere hoch ionisierte Verunreinigungen im Plasma (z. B. <math>\mathrm{C}^{6+}, \mathrm{Fe}^{20+}</math>) führen zu einem Energieverlust durch [[Bremsstrahlung]]. Der für eine Zündung notwendige Wert des Tripelproduktes liegt dadurch höher.

Die Bremsstrahlungsverluste sind gegeben durch

:<math> P_B = c_1 n_e^2 Z_\text{eff} \sqrt{T} \, V </math>

mit der Konstanten <math> c_1 = 1{,}59 \cdot 10^{-40} \mathrm{\,W\,m^{3}\,K^{-\frac{1}{2}}} </math> und der
effektiven Ladung <math> Z_\text{eff} = \frac{1}{n_e} \sum_s Z_s^2 n_s</math> (die Summe läuft über alle Ionenspezies des Plasmas).

Für eine selbstständig ablaufende Fusionsreaktion ergibt sich damit aus der Bedingung
<math> P_{f,\alpha} \ge P_v + P_B</math> (wobei <math>P_v </math> hier nur den Verlust durch Transportvorgänge beschreibt) das Kriterium

:<math> n_e\tau_E T \ge \frac{12 k_\mathrm{B} T^2}{ \langle \sigma v\rangle \epsilon-4 c_1 Z_\text{eff} \sqrt{T}}</math>.

Ohne Verunreinigungen, d. h. <math> Z_\text{eff}=1 </math>, ergibt sich damit am Minimum der Wert
<math>n_e\tau_E T =3 \cdot 10^{21} \mathrm{\,m^{-3}\, s\, keV}</math>. Enthält das Plasma z. B. 0,5 % Verunreinigung durch <math>\mathrm{Fe}^{20+}</math>, d. h. <math> Z_\text{eff} = 2{,}9 </math>, so erhöht sich der Wert des Tripelproduktes am Minimum auf
<math>n_e\tau_E T = 3{,}3 \cdot 10^{21} \mathrm{\,m^{-3}\, s\, keV}</math>. Es wird also schwieriger, die für eine Zündung notwendigen Bedingungen zu erreichen.

== Literatur ==
*J. D. Lawson: ''Some Criteria for a Power Producing Thermonuclear Reactor.'' In: ''Proceedings of the Physical Society. Section B.'' 70, 1957, S. 6–10, {{DOI|10.1088/0370-1301/70/1/303}}. Erweiterte Version des A.E.R.E. report GP/R 1807, December 1955, declassified April 9th 1957

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Kernfusion]]

Lawson-Kriterium - Versionsgeschichte

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