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2025-10-04T16:25:36Z

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Die '''Laurent-Reihe''' (nach [[Pierre Alphonse Laurent]]) ist eine [[unendliche Reihe]] ähnlich einer [[Potenzreihe]], aber zusätzlich mit negativen [[Exponent (Mathematik)|Exponenten]]. Allgemein hat eine Laurent-Reihe in <math display="inline">x</math> mit Entwicklungspunkt <math display="inline">c</math> diese Gestalt:

:<math>f(x) = \sum_{n=-\infty}^\infty a_n (x-c)^n</math>

Dabei sind die <math display="inline">a_n</math> und <math display="inline">c</math> meist [[komplexe Zahlen]], es gibt aber auch andere Möglichkeiten, die im Abschnitt [[#Formale Laurent-Reihe|Formale Laurent-Reihe]] weiter unten beschrieben sind. Für komplexe Laurent-Reihen benutzt man meist die Variable <math display="inline">z</math> anstatt <math display="inline">x</math>.

Summanden, deren Koeffizient <math display="inline">a_n = 0</math> ist, werden meist nicht mitgeschrieben, daher muss nicht jede Laurent-Reihe in beide Richtungen ins Unendliche reichen. Dies geschieht genauso, wie es bei Potenzreihen üblich ist, und ähnelt der Darstellung abbrechender [[Dezimalbruch|Dezimalbrüche]], bei denen formal unendlich viele Nullen hinter der letzten Ziffer stehen.

Die Reihe der Terme mit negativen Exponenten nennt man den ''Hauptteil'' der Laurent-Reihe, die Reihe der Terme mit nichtnegativen Exponenten nennt man den ''Nebenteil'' oder den ''regulären Teil''.

Eine Laurent-Reihe mit verschwindendem Hauptteil ist eine [[Potenzreihe]]; hat sie außerdem nur endlich viele Terme, dann ist sie ein [[Polynom]]. Hat eine Laurent-Reihe insgesamt nur endlich viele Terme (mit negativem oder positivem Exponent), dann nennt man sie ein [[Laurent-Polynom]].

Die Laurent-Reihe wurde 1843 von dem französischen Mathematiker [[Pierre Alphonse Laurent]] vorgestellt. Aufzeichnungen im Nachlass des deutschen Mathematikers [[Karl Weierstraß]] deuten jedoch darauf hin, dass dieser sie bereits 1841 entdeckt hatte.

==Laurent-Zerlegung==
Das Prinzip der Entwicklung einer [[Holomorphe Funktion|holomorphen Funktion]] in eine Laurent-Reihe basiert auf der Laurent-Zerlegung. Dazu betrachte man ein Kreisringgebiet <math>\mathcal{R} = \{z \in \mathbb{C} \; |\; r < |z| < R\} </math>. Nun definiere man zwei holomorphe Funktionen <math>g</math> und <math>h</math>:

:<math>g\colon U_R(0) \rightarrow \mathbb{C}</math>

:<math>h\colon U_{\frac{1}{r}}(0) \rightarrow \mathbb{C}</math>.

Das heißt, die Funktionen <math>g</math> und <math>h</math> sind auf einer Kreisscheibe von Radius <math>R</math> bzw. <math>1/r</math> um den Mittelpunkt holomorph. Da das Argument der Funktion <math>h</math> innerhalb des so definierten Kreisgebietes liegen muss, erkennt man schnell, dass die Funktion <math>h(1/ z)</math> für Werte <math>|z|>r</math> definiert ist. Damit ist auch die Summe der beiden Funktionen

:<math>f(z)=g(z)+h\left(\frac{1}{z}\right)</math>

auf dem Kreisring <math>\mathcal{R}</math> analytisch. Es lässt sich zeigen, dass sich jede auf einem Ringgebiet holomorphe Funktion auf diese Weise zerlegen lässt. Setzt man dazu noch <math>h(0)= 0</math> voraus, so ist die Zerlegung eindeutig.

Entwickelt man diese Funktion nun in Form von Potenzreihen, so ergibt sich folgende Darstellung:

:<math>f(z)=g(z)+h\left(\frac{1}{z}\right) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n z^n + \sum_{n=1}^{\infty}b_n z^{-n} = \sum_{n=-\infty}^{\infty}a_n z^n</math>.

Dabei wurde <math>b_{n}\equiv a_{-n}</math> definiert. Außerdem folgt <math>b_0 = 0</math> aus der Bedingung <math>h(0)=0</math>. Erweitert man diese Überlegungen nun auf die Entwicklung um einen Punkt <math>c</math>, und nicht so wie eben um den Ursprung, so ergibt sich die eingangs angeführte Definition der Laurent-Reihe für eine holomorphe Funktion <math>f</math> um den Entwicklungspunkt <math>c</math>:

:<math>f(z)= \sum_{n=-\infty}^{\infty}a_n (z-c)^n</math>

== Beispiel ==
Im Folgenden bezeichnet <math display="inline">\mathbb{K}</math> wahlweise die [[Reelle Zahl|reellen]] oder [[Komplexe Zahl|komplexen Zahlen]].
:<math>f\colon \mathbb{K}\to \mathbb{K} \colon x\mapsto\begin{cases} \exp\left(-\frac{1}{x^2}\right), & x\neq 0\\ 0, & \text{sonst}\end{cases}</math>.

Die Funktion ist unendlich oft reell [[Differenzierbarkeit|differenzierbar]], sie ist jedoch an der Stelle <math>x = 0</math> nicht [[komplex differenzierbar]] und hat dort sogar eine [[wesentliche Singularität]].

Indem man nun <math display="inline">-\frac{1}{x^2}</math> in die Potenzreihenentwicklung der [[Exponentialfunktion]] einsetzt, erhält man die Laurent-Reihe von <math display="inline">f</math> mit Entwicklungspunkt <math display="inline">0</math>:
[[Bild:Laurentreihe_Exp_-X-2.png|mini|hochkant=1.5|Annäherung an die Laurentreihe <math>f</math> am Punkt 0<br />für unterschiedliche Anzahlen <math>n</math> von Potenzreihengliedern.]]

:<math>\begin{align}f(x) &= \sum_{j=0}^\infty (-1)^j\frac{x^{-2j}}{j!} \\ &= 1 + \sum_{j=1}^\infty (-1)^j\frac{x^{-2j}}{j!} \\ &= 1 + \sum^{j=-1}_{-\infty} (-1)^j\frac{x^{2j}}{(-j)!} \\ &= \sum^{j=0}_{-\infty} (-1)^j\frac{x^{2j}}{(-j)!}~. \end{align}</math>

Sie konvergiert für jede komplexe Zahl <math display="inline">x \neq 0</math>.

Das Bild rechts zeigt, wie sich die Partialsummenfolge
:<math>f_n(x) = \sum_{j=0}^n (-1)^j\frac{x^{-2j}}{j!}</math>
an die Funktion annähert.

== Konvergenz von Laurent-Reihen ==

Laurent-Reihen sind wichtige Hilfsmittel der [[Funktionentheorie]], vor allem zur Untersuchung von Funktionen mit [[Isolierte Singularität|isolierten Singularitäten]].

Laurent-Reihen beschreiben komplexe Funktionen, die auf einem [[Kreisring]] [[Holomorphe Funktion|holomorph]] sind, so wie Potenzreihen Funktionen beschreiben, die auf einer [[Kreis (Geometrie)|Kreisscheibe]] holomorph sind.

Sei
:<math>\sum_{n=-\infty}^\infty a_n (z-c)^n</math>
eine Laurent-Reihe in <math>z</math> mit komplexen Koeffizienten <math>a_n</math> und Entwicklungspunkt <math>c</math>. Dann gibt es zwei eindeutig bestimmte Zahlen <math>r</math> und <math>R</math>, so dass Folgendes gilt:
* Die Laurent-Reihe konvergiert auf dem offenen Kreisring <math>A := \{ z : r < \vert z - c \vert < R \}</math> [[Normale Konvergenz|normal]], also insbesondere [[Absolute Konvergenz|absolut]] und lokal [[Gleichmäßige Konvergenz|gleichmäßig]]. Damit meint man, dass Haupt- und Nebenteil normal konvergieren. Lokal gleichmäßige Konvergenz impliziert gleichmäßige Konvergenz auf jeder [[Kompakter Raum|kompakt]]en Teilmenge von <math>A</math>, also insbesondere auf den Bildern von Kurven in <math>A</math>. Die Laurent-Reihe definiert auf <math>A</math> eine holomorphe Funktion <math>f</math>.
* Außerhalb des Kreisrings divergiert die Laurent-Reihe. Das heißt, dass für jeden Punkt im Äußeren von <math>A</math>, <math>\{ z : r > \vert z - c \vert\vee\vert z - c \vert > R\}</math>, die Reihe der Terme mit positiven oder die Terme mit negativen Exponenten divergiert.
* Auf dem Rand des Kreisrings kann man keine allgemeinen Aussagen machen, außer dass es mindestens einen Punkt auf der äußeren Begrenzung und mindestens einen Punkt auf der inneren Begrenzung gibt, in die <math>f</math> nicht holomorph fortgesetzt werden kann.

Es ist möglich, dass <math>r = 0</math> und <math>R = \infty</math> ist, es kann aber auch sein, dass <math>r = R</math> ist. Die beiden Radien können wie folgt mit der [[Satz von Cauchy-Hadamard|Formel von Cauchy-Hadamard]] berechnet werden:

:<math>r = \limsup_{n\to\infty} \vert a_{-n} \vert ^{1/n}</math>
:<math>R = \frac{1}{\limsup_{n\to\infty} \vert a_n \vert ^{1/n}}</math>
Man setzt <math>\frac{1}{0}=\infty</math> und <math>\frac{1}{\infty}=0</math> in der zweiten Formel.

Umgekehrt kann man mit einem Kreisring <math>A := \{ z : r < \vert z - c \vert < R \}</math> und einer auf <math>A</math> holomorphen Funktion <math>f</math> beginnen. Dann existiert immer eine eindeutig bestimmte Laurent-Reihe mit Entwicklungspunkt <math>c</math>, die (mindestens) auf <math>A</math> konvergiert und dort mit <math>f</math> übereinstimmt. Für die Koeffizienten gilt
:<math>a_n=\frac{1}{2\pi\mathrm{i}}\oint_{\partial U_\varrho(c)}\frac{f(\zeta)}{\left(\zeta-c\right)^{n+1}}\mathrm{d}\zeta</math>
für alle <math>n\in\mathbb{Z}</math> und ein <math>\varrho\in(r,R)</math>. Wegen des [[Cauchyscher Integralsatz|Integralsatzes von Cauchy]] kommt es auf die Auswahl von <math>\varrho</math> nicht an.

Der Fall <math>r = 0</math>, also der einer holomorphen Funktion <math>f</math> auf einer gelochten Kreisscheibe um <math>c</math>, ist besonders wichtig. Der Koeffizient <math>a_{-1}</math> der Laurentreihenentwicklung von <math>f</math> heißt [[Residuum (Funktionentheorie)|Residuum]] von <math>f</math> in der isolierten Singularität <math>c</math>, er spielt eine große Rolle im [[Residuensatz]].

== Formale Laurent-Reihe ==
{{Hauptartikel|Formale Potenzreihe}}
Formale Laurent-Reihen sind Laurent-Reihen in einer [[Unbestimmte]]n <math>X</math>, für deren Konvergenzverhalten an einem Entwicklungspunkt (wie dem <math>c</math> in der Einleitung) man sich (zumindest zunächst) nicht interessiert. Die Koeffizienten <math>a_k</math> können dann aus einem beliebigen [[kommutativ]]en [[Ring (Algebra)|Ring]] <math>R</math> mit Einselement stammen. Üblicherweise werden formale Laurent-Reihen mit nur endlich vielen negativen Exponenten betrachtet, also mit einem so genannten ''endlichen Hauptteil''.

Damit entsprechen die formalen Laurent-Reihen unendlichen Folgen aus <math>R^\Z</math>, bei denen nur endlich viele Koeffizienten mit negativem Index von Null verschieden sind.
Die Unbestimmte <math>X</math> entspricht der Folge
:<math> X = \left(c_k \right)_{k\in\Z} </math> mit <math>c_1 = 1 </math> und <math> c_k = 0 </math> für <math>k \in \Z \! \setminus \! \{1\} </math>,
also
:{| style="text-align:left"
|-
|<math> X = (\dotsc,\,0,\,0,</math>||<math>0,</math>||<math>1,\,0,\,0,\dotsc)</math>
|-
| ||<math>\uparrow</math>||<math>\uparrow</math>
|-
| style="text-align:right" | Index   || 0 || 1
|}
Zwei formale Laurent-Reihen sind per Definition genau dann gleich, wenn sie in allen Koeffizienten übereinstimmen. Zwei Laurent-Reihen werden addiert, indem die Koeffizienten mit gleichem Index (also [[Folgenraum#Einführung|komponentenweise]]) addiert werden, und, weil sie nur endlich viele Terme mit negativem Exponenten haben, können sie durch [[Faltung (Mathematik)|Faltung]] ihrer Koeffizientenfolgen multipliziert werden, so wie es mit Potenzreihen gemacht wird. Mit diesen Verknüpfungen wird die Menge aller Laurent-Reihen zu einem kommutativen Ring, der mit <math>R (( X ))</math> bezeichnet wird.

Ist <math>K</math> ein [[Körper (Algebra)|Körper]], dann bilden die [[Formale Potenzreihe|formalen Potenzreihen]] in der Unbestimmten <math>X</math> über <math>K</math> einen [[Integritätsring]], der mit <math>K [[ X ]]</math> bezeichnet wird. Sein [[Quotientenkörper]] ist [[Isomorphismus|isomorph]] zum Körper <math>K (( X ))</math> der Laurent-Reihen über <math>K</math>.

== Literatur ==
* [[Eberhard Freitag]], Rolf Busam: ''Funktionentheorie 1''. Springer-Verlag, Berlin, ISBN 3-540-67641-4

[[Kategorie:Funktionentheorie]]
[[Kategorie:Folgen und Reihen]]

Laurent-Reihe - Versionsgeschichte

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