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2024-05-26T11:19:04Z

Derivationen des Laurent-Rings: Vereinfachung

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Ein '''Laurent-Polynom''' (nach [[Pierre Alphonse Laurent]]) ist in der [[Mathematik]] eine Verallgemeinerung des Begriffs [[Polynom]]. Beim Laurent-Polynom sind auch negative Exponenten zugelassen.

== Definition ==
Ein Laurent-Polynom über einem [[Kommutativer Ring|kommutativen Ring]] <math>R</math> ist ein Ausdruck der Form

: <math> p(X) = \sum_{k\in \Z} a_k X^k, \quad a_k\in R</math>,

bei dem nur endlich viele Ringelemente <math>a_k</math> von 0 verschieden sind. Ein Laurent-Polynom kann also als eine [[Laurent-Reihe]] mit nur endlich vielen von 0 verschiedenen Koeffizienten angesehen werden.

== Der Ring der Laurent-Polynome ==
Mit Laurent-Polynomen rechnet man formal wie folgt:

Addition: <math>{}\quad\quad \sum_{i\in\Z} a_iX^i\, + \, \sum_{i\in\Z} b_iX^i = \sum_{i\in\Z} (a_i+b_i)X^i</math>,

Multiplikation: <math>\sum_{i\in\Z} a_iX^i\, \cdot \, \sum_{j\in\Z} b_jX^j = \sum_{k\in\Z} \left(\sum_{i,j: i + j = k} a_i b_j\right)X^k</math>.

Diese Operationen machen die Menge <math>R[X,X^{-1}]</math> zu einem Ring, dem sogenannten ''Laurent-Ring'' über <math>R</math>.
Es handelt sich sogar um einen [[Modul (Mathematik)|R-Modul]], wenn man die Multiplikation mit Elementen <math>a \in R</math> in naheliegender Weise wie folgt definiert:

Skalare Multiplikation: <math>a \cdot \sum_{i\in\Z} a_iX^i\, = \, \sum_{i\in\Z} (a a_i)\,X^i</math>.

In vielen Anwendungen ist <math>R</math> ein [[Körper (Algebra)|Körper]], <math>R[X,X^{-1}]</math> ist dann eine <math>R</math>-[[Algebra über einem Körper|Algebra]].

== Eigenschaften ==
* Man erhält <math>R[X,X^{-1}]</math> aus dem [[Polynomring]] <math>R[X]</math>, indem man die Unbestimmte <math>X</math> ''invertiert''. Der Laurent-Ring über <math>R</math> ist damit die [[Lokalisierung (Algebra)|Lokalisierung]] von <math>R[X]</math> nach der von den positiven Potenzen von <math>X</math> erzeugten [[Halbgruppe]].
* Die [[Einheit (Mathematik)|Einheiten]] von <math>R[X,X^{-1}]</math> sind von der Form <math>aX^i</math>, wobei <math>a\in R</math> eine Einheit und <math>i\in \Z</math> ist.
* Der Laurent-Ring über <math>R</math> ist isomorph zum [[Gruppenring]] von <math>\Z</math> über <math>R</math>.

== Derivationen des Laurent-Rings ==
Es sei <math>R</math> ein Körper. Dann ist die Menge der [[Derivation (Mathematik)|Derivationen]] auf <math>R[X,X^{-1}]</math> eine [[Lie-Algebra]].
Die formale Ableitung
:<math>\frac{\partial}{\partial X}:\, \sum_{i\in\Z} a_iX^i \mapsto \sum_{i\in\Z} i\cdot a_iX^{i-1}</math>
ist eine solche Derivation. Daher ist auch für jedes <math>p(X)\in R[X,X^{-1}]</math> durch die Definition <math>\textstyle T_{p(X)}:=p(X)\frac{\partial}{\partial X}</math> eine Derivation gegeben. Dies ist die allgemeinste Derivation auf <math>R[X,X^{-1}]</math>.
Ist nämlich <math>T</math> eine solche Derivation, so ist <math>p(X):=T(1\cdot X) \in R[X,X^{-1}]</math> und man kann <math>T=T_{p(X)}</math> zeigen.<ref>[[Igor Frenkel]], [[James Lepowsky]], [[Arne Meurman]]: ''Vertex Operator Algebras and the Monster'', Academic Press, New York (1988) ISBN 0-12-267065-5, Satz 1.9.1</ref>

Die Derivationen <math>\textstyle d_n := T_{-X^{n+1}} = -X^{n+1}\frac{\partial}{\partial X},\, n\in\Z</math>, bilden daher eine Basis. Durch eine kurze Rechnung bestätigt man die [[Kommutator (Mathematik)|Kommutator]]relationen

* <math> [d_m,d_n] \,=\, (m-n)d_{m+n} </math> für alle <math>m,n\in \Z</math>.

(siehe [[Witt-Algebra]]). Weiter gilt

* <math>d_0(X^n) = -n\cdot X^n</math> für alle <math>n\in \Z</math>.

Daher nennt man <math>-d_0\,</math> auch die ''Grad-Derivation''.

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Kommutative Algebra]]
[[Kategorie:Theorie der Lie-Gruppen]]
[[Kategorie:Polynom]]

Laurent-Polynom - Versionsgeschichte

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