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2023-11-02T02:08:06Z

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Die '''Laue-Bedingung''', nach [[Max von Laue]], ist eine zur [[Bragg-Bedingung]] äquivalente Beschreibung von Beugungseffekten an [[Kristall]]en. Sie gibt Auskunft über das Auftreten von Beugungsreflexen bei elastischer Streuung von [[Röntgenbeugung|Röntgenstrahlung]], [[Elektronenbeugung|Elektronen]] oder [[Neutronenbeugung|Neutronen]] an Kristallen.

Zur Erklärung der Röntgenbeugung gibt es zwei äquivalente Ansätze. In beiden werden Kristalle als starre periodische Strukturen von mikroskopischen Objekten angesehen. Bei der ''Bragg-Theorie'' werden die Atome im Kristall in parallelen Gitterebenen mit konstantem Abstand angeordnet. An diesen Ebenen kommt es zur spiegelnden Reflexion der Strahlung. Bei der ''Von-Laue-Theorie'' geht man von anderen Annahmen aus:
* Beschreibe den Kristall als [[Bravaisgitter]]
* An den Gitterplätzen sitzen identische mikroskopische Objekte, die die einfallende Strahlung [[Streuung (Physik)|streuen]]
* Reflexe nur in Richtungen, für die von den Gitterpunkten gestreute Strahlung konstruktiv [[Interferenz (Physik)|interferiert]]

Die Laue-Bedingung lautet: Man erhält genau dann konstruktive Interferenz, wenn die Änderung des [[Wellenvektor]]s beim Streuprozess einem [[Reziprokes Gitter|reziproken Gittervektor]] entspricht.

Die Laue-Bedingung geht vom reinen Kristallgitter (am Gitterpunkt ein punktförmiges Streuzentrum) aus und gibt an, in welcher Richtung Beugungsreflexe beobachtet werden können. Die relative Intensität der Reflexe hängt vom Aufbau der Basis, dem Streuvermögen der Basisatome und von der thermischen Bewegung der Atome ab. Dies wird durch den [[Strukturfaktor]] beschrieben.

== Herleitung ==
[[Datei:Laue-Bedingung.png|mini|Laue-Bedingung]]
Der Abstand zweier Streuzentren (Gitterpunkte) ist ein [[Gittervektor]] <math>\vec R</math>. Der Wellenvektor der einfallenden Strahlung sei <math>\vec k</math>, der der gestreuten sei <math>\vec k'</math>. Damit ergibt sich folgender [[Gangunterschied]] (Wegdifferenz):
:<math>\Delta x=\vec{R}\cdot\frac{\vec{k}}{k}-\vec{R}\cdot\frac{\vec{k}'}{k'}</math>

Für konstruktive [[Interferenz (Physik)|Interferenz]] muss der Gangunterschied ein ganzzahliges Vielfaches der [[Wellenlänge]] <math>\lambda</math> sein:
:<math>\Delta x=m\lambda, \quad m\in\mathbb{Z}</math>

Gleichsetzen liefert:
:<math>\vec{R}\cdot\left(\frac{\vec{k}}{k}-\frac{\vec{k}'}{k'}\right)=m\lambda</math>

Geht man von elastischer Streuung aus, ist die Wellenzahl des einfallenden und des reflektierten Strahls gleich: <math>k=k'=\frac{2\pi}{\lambda}</math>. Für alle Gittervektoren <math>\vec R</math> muss gelten:
:<math>\vec{R}\cdot\left(\vec{k}-\vec{k}'\right)=2\pi m</math>   bzw. äquivalent   <math>e^{i\,\vec{R}\cdot(\vec{k}-\vec{k}')}=1</math>

Dies entspricht genau der Bestimmungsgleichung für [[Reziprokes Gitter|reziproke Gittervektoren]] <math>\vec{K}</math>:<ref name="Festkörperphysik">{{Literatur |Autor=Neil W. Ashcroft, David N. Mermin |Titel=Festkörperphysik |Datum=2007 |ISBN=978-3-486-58273-4 |Online={{Google Buch | BuchID = 2GegYucdOXoC | Linktext = Seite 124 | Seite = 124 }}}}</ref>
:<math>e^{i\,\vec{R}\cdot\vec{K}}=1</math>

Die '''Laue-Bedingung''' lautet somit:
Man erhält genau dann konstruktive Interferenz, wenn die Änderung des Wellenvektors beim Streuprozess einem reziproken Gittervektor entspricht.
:<math>\vec{k}-\vec{k}'=\vec{K}</math>   bzw.   <math>\Delta\vec{k}=\vec{K}</math>

Zur Veranschaulichung der Laue-Bedingung siehe [[Ewaldkugel]].

== Laue-Gleichungen und Laue-Indizes {{Anker|Laue-Gleichungen}} {{Anker|Laue-Indizes}} ==

Reziproke Gittervektoren lassen sich als Linearkombination der primitiven Gittervektoren des reziproken Gitters <math>\vec{b}_i</math> ausdrücken, dabei sind <math>h_i\in\mathbb{Z}</math> die Laue-Indizes (s. u.):
:<math>\vec{K}=h_{1}\vec{b}_{1}+h_{2}\vec{b}_{2}+h_{3}\vec{b}_{3}</math>

Ebenso lassen sich die Gittervektoren als Linearkombination der primitiven Gittervektoren <math>\vec{a}_i</math> darstellen mit <math>n_i\in\mathbb{Z}</math>:
:<math>\vec{R}=n_{1}\vec{a}_{1}+n_{2}\vec{a}_{2}+n_{3}\vec{a}_{3}</math>

Das [[Skalarprodukt]] aus primitiven Gittervektoren des Ortsraums <math>\vec{a}_j</math> und des reziproken Raums <math>\vec{b}_i</math> ist:
:<math>\vec{b}_i\cdot\vec{a}_j=2\pi\delta_{ij}\ ,</math>
wobei <math>\delta_{ij}</math> das [[Kronecker-Delta|Kronecker-Symbol]] ist.

Bildet man das Skalarprodukt der obigen Laue-Bedingung <math>\Delta\vec{k}=\vec{K}</math> mit den primitiven Ortsvektoren, erhält man die drei '''Laue-Gleichungen''':
:<math>\vec{a}_1\cdot\Delta\vec{k}=2\pi h_{1}</math>
:<math>\vec{a}_2\cdot\Delta\vec{k}=2\pi h_{2}</math>
:<math>\vec{a}_3\cdot\Delta\vec{k}=2\pi h_{3}</math>

Die drei ganzen Zahlen <math>h_{1} h_{2} h_{3}</math> (normalerweise <math>h,k,l</math>, hier aber Verwechslungsgefahr mit Wellenzahl <math>k</math>, deswegen <math>h_{1},h_{2},h_{3}</math>) heißen dabei die '''Laue-Indizes'''. Die drei Gleichungen definieren jeweils einen Kegel (für ''h=0'' zu einer Ebene entartet). Damit alle Bedingungen erfüllt sind, müssen sich drei Kegelflächen in dieser Raumrichtung zusammentreffen. Dadurch werden die punktförmigen Interferenzmuster der Röntgenbeugung an Kristallgittern erklärt und indiziert.<ref>{{Literatur |Autor=André Authier |Titel=Early Days of X-ray Crystallography |Verlag=Oxford University Press |Datum=2013 |ISBN=978-0-19-965984-5 |Online={{Google Buch | BuchID=jxqkG0Sh2jAC | Seite=110 }}}}</ref><ref>{{Internetquelle |autor=Gerd Koppelmann, Gert Sinn |url=http://www.solstice.de/cms/upload/wege/band2/Zur-Interferenz-an-Raumgittern-Deutung-und%20Lichtoptische-Modellversuche.pdf |titel=Zur Interferenz an Raumgittern |titelerg=Deutung und Lichtoptische Modellversuche |werk=Wege in der Physikdidaktik |hrsg=Werner B. Schneider |datum=1991 |zugriff=2015-01-02 |format=PDF |kommentar=als Buch von Verlag Palm & Enke unter ISBN 3-7896-0100-4 derzeit vergriffen}}</ref><ref>{{Internetquelle |autor=S. König, R. Erlebach |url=http://www.personal.uni-jena.de/~p1erra/physik/referat/vortrag%20%28kristallographie%20und%20drehkristallversuch%29.pdf |titel=Kristallographie und Röntgenuntersuchung an Kristallen |zugriff=2015-01-02 |format=PDF |kommentar=undatierter Vortrag Uni Jena, insbesondere Seite 7}}</ref><ref>{{Internetquelle |autor=Paul Katolla, Tobias Krähling |url=http://www.semibyte.de/wp/download/physics/versuchsprotokolle/f-praktikum-protokolle/502-kristalluntersuchungen_mit_hilfe_von_debye-scherrer-aufnahmen.pdf |titel=Kristalluntersuchungen mit Hilfe von Debye-Scherrer-Aufnahmen |datum=2009-08-07 |zugriff=2015-01-02 |format=PDF |kommentar=Praktikumsprotokoll an der Ruhr-Uni Bochum, siehe insbesondere Seite 6 |archiv-url=https://web.archive.org/web/20150103015332/http://www.semibyte.de/wp/download/physics/versuchsprotokolle/f-praktikum-protokolle/502-kristalluntersuchungen_mit_hilfe_von_debye-scherrer-aufnahmen.pdf |archiv-datum=2015-01-03 |offline=1 }}</ref> Zeitgleich mit [[Max von Laue|Laue]] stellten [[William Henry Bragg|W.H. Bragg]] und [[William Lawrence Bragg|W.L. Bragg]] die [[Bragg-Bedingung]] <math>n\lambda = 2 d \sin\theta</math> für die Reflexion an parallelen Flächen im Abstand ''d'' auf. Auch wenn die Herangehensweisen von Laue ([[Beugung (Physik)|Beugung]] in alle Raumrichtungen) und Bragg ([[Reflexion (Physik)|Reflexion]]) verschieden sind, sind die beiden Effekte äquivalent: Hat die Schar von Netzebenen, die in der Bragg-Bedingung gerade den Abstand ''d'' haben, im Kristall die [[Millersche Indizes|Millerschen Indizes]] ''(hkl)'', so hat der Interferenzpunkt die Laue-Indizes ''nh nk nl'', die Laue-Indizes sind also gerade das ''n''-fache der Miller-Indizes. Aufgrund des Zusammenhangs mit der Bragg-Reflexion werden die Laue-Indizes gelegentlich auch als ''Bragg-Indizes'' bezeichnet.<ref>J.L. Atwood, J.W. Steed: [https://books.google.de/books?id=pcQSir2QXbMC&pg=PA873&lpg=PA873&dq=bragg+indices Encyclopedia of Supramolecular Chemistry], CRC Press, 2004, ISBN 978-0-8247-4724-4.</ref>

== Alternative Formulierung der Laue-Bedingung ==

Man kann die Laue-Bedingung noch in alternativer Form schreiben. Man quadriere die Laue-Bedingung <math>\vec{k}'=\vec{k}-\vec{K}</math> und benutze <math>k = k'</math> (elastische Beugung):
:<math>k^{2}=k^{2}-2\vec{k}\cdot\vec{K}+K^{2}</math>   also   <math>\vec{k}\cdot\vec{K}=\frac{1}{2}K^{2}</math>

Teile durch <math>K</math>:
:<math>\vec{k}\cdot\frac{\vec{K}}{K}=\frac{1}{2}K</math>

Für ein gegebenes <math>\vec{K}</math> ist dies eine [[Ebenengleichung]] in der [[Hesse-Normalenform]]. Die Projektion von <math>\vec{k}</math> auf die Richtung von <math>\vec{K}/K</math> ist konstant <math>K/2</math>. Ein Wellenvektor der einfallenden Strahlung <math>\vec{k}</math> erfüllt die Laue-Bedingung, wenn seine Spitze in einer ''Bragg-Ebene'' liegt. Eine Bragg-Ebene ist die mittelsenkrechte Ebene auf der Verbindungslinie zwischen dem Ursprung im reziproken Raum und einem Punkt <math>\vec{K}</math>. Diese Ebenengleichung entspricht für benachbarte Punkte im reziproken Raum der Konstruktionsvorschrift der [[Wigner-Seitz-Zelle]] des reziproken Gitters (erste [[Brillouin-Zone]]).

Daraus folgt die '''Alternative Formulierung der Laue-Bedingung''': Man erhält genau dann konstruktive Interferenz, wenn die Spitze des einfallenden Wellenvektors auf dem Rand einer Brillouin-Zone liegt.

== Äquivalenz von Laue- und Bragg-Bedingung ==

[[Datei:Laue-Bragg.png|mini|Laue- und Bragg-Bedingung]]
Geht man von <math>\vec{k}\cdot\vec{K}=K^{2}/2</math> und <math>\vec{K}=\vec{k}-\vec{k}'</math> aus, so ergibt sich:
:<math>\vec{k}\cdot(\vec{k}-\vec{k}')=\frac{1}{2}K^{2}</math>

Der Winkel zwischen <math>\vec{k}</math> und <math>\vec{k}'</math> sei <math>2\Theta\,</math>:
:<math>k^{2}\underbrace{\left(1-\cos(2\Theta)\right)}_{2\sin^{2}(\Theta)}=\frac{1}{2}K^{2}</math>

mit <math>\vec{k}^{2} = \vec{k}'^{2}</math> und [[Kosinussatz]]

Radizieren liefert:
:<math>2k\sin(\Theta)=K\,</math>

Das Skalarprodukt zwischen einem reziproken Gittervektor und einem Gittervektor ergibt:
:<math>2\pi n=\vec{K}\cdot\vec{R}=K \underbrace{R \cos(\alpha)}_{d}, \quad n\in\mathbb{Z}</math>   somit   <math>K=\frac{2\pi n}{d}</math>

Für ein gegebenes <math>\vec{K}</math> ist dies eine Ebenengleichung für eine Gitterebene, wobei <math>\vec{K}</math> senkrecht auf dieser Ebene steht. Schreibt sich <math>\vec{K}</math> als folgende Linearkombination <math>\vec{K}=h_{1}\vec{b}_{1}+h_{2}\vec{b}_{2}+h_{3}\vec{b}_{3}</math>, so steht der Vektor senkrecht auf der [[Gitterebene]] <math>(h_1,h_2,h_3)</math>. Der [[Gitterebenenabstand]] <math>d</math> ist
:<math>d=\frac{2\pi}{K}=\frac{2\pi}{|h_{1}\vec{b}_{1}+h_{2}\vec{b}_{2}+h_{3}\vec{b}_{3}|}</math>.

Mit <math>k=2\pi/\lambda</math> und <math>K=2\pi n/d</math> erhält man aus <math>2k\sin(\Theta)=K</math> die '''Bragg-Bedingung''' (n entspricht der Ordnung des Beugungsreflexes):
:<math>2d\sin(\Theta)=n\lambda\,</math>

Beugungsreflex
* nach Laue: Änderung des Wellenvektors um reziproken Gittervektor <math>\vec{K}</math>
* nach Bragg: Reflexion an Netzebenenschar des Kristallgitters, die senkrecht zu <math>\vec{K}</math> steht und deren Abstand <math>d=\frac{2\pi}{K}</math> beträgt.

== Literatur ==
*{{Literatur
|Autor=[[Martin J. Buerger]]
|Titel=Kristallographie
|Auflage=1
|Verlag=Walter de Gruyter
|Ort=Berlin
|Datum=1977
|ISBN=3-11-004286-X}}
* {{Literatur
|Autor=Neil W. Ashcroft, N. David Mermin
|Titel=Festkörperphysik
|Auflage=2.
|Verlag=Oldenbourg
|Ort=München
|Datum=2005
|ISBN=3-486-57720-4}}

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Wellenoptik]]
[[Kategorie:Kristallographie]]

Laue-Bedingung - Versionsgeschichte

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