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2025-10-27T18:29:02Z

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Der '''Laplace-Operator''' ist ein mathematischer [[Operator (Mathematik)|Operator]], der zuerst von [[Pierre-Simon Laplace]] eingeführt wurde. Es handelt sich um einen linearen [[Differentialoperator]] innerhalb der [[mehrdimensionale Analysis|mehrdimensionalen Analysis]]. Er wird meist durch das Zeichen <math>\Delta</math>, den Großbuchstaben [[Delta]] des [[griechisches Alphabet|griechischen Alphabets]], notiert.

Der Laplace-Operator kommt in vielen [[Differentialgleichung]]en vor, die das Verhalten [[Feld (Physik)|physikalischer Felder]] beschreiben. Beispiele sind die [[Poisson-Gleichung]] der [[Elektrostatik]], die [[Navier-Stokes-Gleichungen]] für Strömungen von Flüssigkeiten oder Gasen und die [[Diffusionsgleichung]] für die [[Wärmeleitung]].

== Definition ==
Der Laplace-Operator ordnet einem zweimal [[Differenzierbarkeit|differenzierbaren]] [[Skalarfeld]] <math>f</math> die [[Divergenz eines Vektorfeldes|Divergenz]] seines [[Gradient (Mathematik)|Gradienten]] zu,

:<math>\Delta f = \operatorname{div}\left(\operatorname{grad}\,f\right),</math>

oder mit dem [[Nabla-Operator]] notiert

:<math>\Delta f = \nabla \cdot (\nabla f) = (\nabla \cdot \nabla)f = \nabla^2 f.</math>

Das formale „[[Skalarprodukt]]“ des Nabla-Operators mit sich selbst ergibt also den Laplace-Operator. Vor allem im englischsprachigen Raum ist für den Laplace-Operator oft die Schreibweise <math>\nabla^2</math> zu finden.

Da der Divergenz-Operator <math>\operatorname{div}</math> und der Gradient-Operator <math>\operatorname{grad}</math> unabhängig vom gewählten [[Koordinatensystem]] sind, ist auch der Laplace-Operator unabhängig vom gewählten Koordinatensystem. Die Darstellung des Laplace-Operators in anderen Koordinatensystemen ergibt sich mit der Kettenregel aus der [[Koordinatentransformation]].

Im <math>n</math>-dimensionalen [[Euklidischer Raum|euklidischen Raum]] ergibt sich in [[kartesisches Koordinatensystem|kartesischen Koordinaten]]
:<math>
\Delta f = \sum_{k=1}^n {\partial^2 f\over \partial x_k^2}.
</math>
In einer Dimension reduziert sich der Laplace-Operator somit auf die zweite Ableitung:
:<math>
\Delta f = f''
</math>

Der Laplace-Operator einer Funktion kann auch als [[Spur (Mathematik)|Spur]] ihrer [[Hesse-Matrix]] dargestellt werden:
:<math>
\Delta f = \mathrm{Spur}(H(f))
</math>

{{Anker|Vektorieller Laplace-Operator}}
Der Laplace-Operator kann auch auf [[Vektorfeld]]er angewendet werden. Mit dem [[Dyadisches Produkt|dyadischen Produkt]] „<math>\otimes</math>“ wird mit dem [[Nabla-Operator]] <math>\nabla</math>

:<math>\Delta\vec v:=(\nabla\cdot\nabla)\vec v
=\nabla\cdot(\nabla\otimes\vec v)
=\operatorname{div(grad}(\vec v)^\top)
</math>

definiert. Das Superskript <math>{}^\top</math> steht für [[Transponierte Matrix|Transponierung]]. In der Literatur findet sich auch ein Divergenz-Operator, der sein Argument gemäß <math>\operatorname{\widetilde{div}}T=\operatorname{div}(T^\top)</math> transponiert. Mit diesem Operator schreibt sich analog zum Skalarfeld:

:<math>\Delta\vec v=\operatorname{\widetilde{div}(grad}\,\vec v)</math>

Speziell in drei Dimensionen gilt mit dem [[Rotation eines Vektorfeldes|Rotationsoperator]] <math>\operatorname{rot}</math>

:<math>\Delta\vec v
=(\nabla\cdot\nabla)\vec v
= \nabla(\nabla \cdot \vec{v}) - \nabla \times (\nabla \times \vec{v})
=\operatorname{grad(div}(\vec v))-\operatorname{rot(rot}(\vec v))
,</math>

was mit der [[Graßmann-Identität]] begründet werden kann. Letztere Formel definiert den sogenannten ''vektoriellen Laplace-Operator.''<ref>{{MathWorld |id = VectorLaplacian |title = Vector Laplacian}}</ref>

== Darstellung ==
=== In zwei Dimensionen ===
Für eine Funktion <math>f</math> in [[Kartesisches Koordinatensystem|kartesischen Koordinaten]] <math>(x, y)</math> ergibt die Anwendung des Laplace-Operators
:<math>\Delta f =
\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} +
\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}.</math>

In [[Polarkoordinaten]] <math>(r, \varphi)</math> ergibt sich
:<math>\Delta f =
\frac{\partial^2 f}{\partial r^2} +
\frac{1}{r}\frac{\partial f}{\partial r} +
\frac{1}{r^2}\frac{\partial^2 f}{\partial \varphi^2}</math>
oder
:<math>\Delta f =
\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}
\left( r\,\frac{\partial f}{\partial r} \right) +
\frac{1}{r^2}\frac{\partial^2 f}{\partial \varphi^2}.</math>

=== In drei Dimensionen ===
Für eine Funktion <math>f</math> mit ''drei Variablen'' ergibt sich in [[Kartesisches Koordinatensystem|kartesischen Koordinaten]] <math>(x, y, z)</math>

:<math>\Delta f =
\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} +
\frac{\partial^2 f}{\partial y^2} +
\frac{\partial^2 f}{\partial z^2}.</math>

In [[Zylinderkoordinaten]] <math>(\rho, \varphi, z)</math> ergibt sich
:<math>\Delta f = \frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial \rho}
\left( \rho\,\frac{\partial f}{\partial \rho} \right) +
\frac{1}{\rho^2}\frac{\partial^2 f}{\partial \varphi^2} +
\frac{\partial^2 f}{\partial z^2}</math>

und in [[Kugelkoordinaten]] <math>(r, \theta, \varphi)</math>
:<math>\Delta f = \frac{1}{r^2}
\frac{\partial}{\partial r} \left( r^2 \,\frac{\partial f}{\partial r} \right) +
\frac{1}{r^2 \sin \theta} \frac{\partial}{\partial \theta} \left(\sin\theta \, \frac{\partial f}{\partial \theta} \right) +
\frac{1}{r^2 \sin^2\theta} \frac{\partial^2 f}{\partial \varphi^2}.
</math>

Die Ableitungen der Produkte in dieser Darstellung können noch [[Kugelkoordinaten#Transformation des Laplace-Operators|entwickelt werden]], wobei sich der erste und zweite Term ändern. Der erste (radiale) Term kann in drei äquivalenten Formen geschrieben werden:
:<math>
\frac{1}{r^2} \frac{\partial}{\partial r} \left( r^2 \,\frac{\partial f}{\partial r} \right)
= \frac{\partial^2 f}{\partial r^2} + \frac{2}{r} \frac{\partial f}{\partial r}
= \frac{1}{r} \frac{\partial^2 }{\partial r^2} \Big( r f(r)\Big)
</math>

Entsprechend gilt für den zweiten Term:
:<math>
\frac{1}{r^2 \sin \theta} \frac{\partial}{\partial \theta} \left(\sin\theta \, \frac{\partial f}{\partial \theta} \right)
= \frac{1}{r^2} \frac{\partial^2 f}{\partial \theta^2} + \frac{\cot \theta}{r^2} \frac{\partial f}{\partial \theta}
</math>

Diese Darstellungen des Laplace-Operators in Zylinder- und Kugelkoordinaten gelten nur für den skalaren Laplace-Operator. Für den Laplace-Operator, der auf vektorwertige Funktionen wirkt, müssen noch weitere Terme berücksichtigt werden, siehe weiter unten den Abschnitt „[[#Anwendung auf Vektorfelder|Anwendung auf Vektorfelder]]“.

=== In krummlinigen Orthogonalkoordinaten ===

In beliebigen [[Krummlinige Koordinaten|krummlinigen Orthogonalkoordinaten]], zum Beispiel in [[Polarkoordinaten|sphärischen Polarkoordinaten]], [[Zylinderkoordinaten]] oder [[Elliptische Koordinaten|elliptischen Koordinaten]] gilt dagegen für den Laplace-Operator die allgemeinere Beziehung

:<math>\Delta f = {\rm{div\,\,grad\,\,}}f = \frac{1}{a_1a_2a_3}\,\,\frac{\partial}{{\partial u_1}}\left(\frac{a_2a_3\,\partial f}{a_1\,\partial u_1}\right) + \frac{1}{a_1a_2a_3}\,\,\frac{\partial}{{\partial u_2}}\left(\frac{a_1a_3\,\partial f}{a_2\,\partial u_2}\right) + \frac{1}{a_1a_2a_3}\,\,\frac{\partial}{{\partial u_3}}\left(\frac{a_1a_2\,\partial f}{a_3\,\partial u_3}\right)</math>

mit den durch

:<math>\mathrm{d}\vec r=\sum_{i=1}^3\, a_i\,\hat e_i(u_1, u_2,u_3)\, \mathrm{d}u_i</math>
:<math>{\rm{grad\,\,}} f = \sum_{i=1}^3\,\frac{\partial f}{a_i\,\partial u_i} \,\hat e_i</math>
:<math>\hat e_i\cdot \hat e_k = \delta_{i,k} = \begin{cases} 1 & \text{für } i=k \\ 0 & \text{für } i \ne k \end{cases}</math>

impliziert definierten Größen <math>a_i, u_i, \hat e_i</math>. Dabei haben nicht die <math>\mathrm{d}u_i</math>, sondern die Größen <math>\mathrm dl_i:= a_i\cdot\mathrm{d}u_i</math> die physikalische Dimension einer „Länge“, wobei zu beachten ist, dass die <math>a_i</math> nicht konstant sind, sondern von <math>u_1</math>, <math>u_2</math> und <math>u_3</math> abhängen können.

Für noch allgemeinere Koordinaten gilt die [[Laplace-Beltrami-Operator|Laplace-Beltrami-Beziehung]].

=== Anwendung auf Vektorfelder ===
In einem kartesischen Koordinatensystem mit <math>x</math>-, <math>y</math>- und <math>z</math>-Koordinaten und Basisvektoren <math>\hat{e}_{x, y, z}</math> gilt:

:<math>\Delta\vec v
=\frac{\partial^2}{\partial x^2}\vec v+\frac{\partial^2}{\partial y^2}\vec v+\frac{\partial^2}{\partial z^2}\vec v
=\Delta v_x\hat{e}_x+\Delta v_y\hat{e}_y+\Delta v_z\hat{e}_z
=\begin{pmatrix}
\Delta v_x\\
\Delta v_y\\
\Delta v_z
\end{pmatrix}
</math>

Bei Verwendung von Zylinder- bzw. Kugelkoordinaten ist die Differentiation der Basisvektoren zu beachten. Es ergibt sich in Zylinderkoordinaten <math>(\rho, \varphi, z)</math>

:<math>
\Delta\vec v
=
\left(\Delta v_\rho
-\frac{1}{\rho^2}v_\rho
-\frac{2}{\rho^2}\frac{\partial v_\varphi}{\partial\varphi}
\right)\hat{e}_\rho
+\left(\Delta v_\varphi
-\frac{1}{\rho^2}v_\varphi
+\frac{2}{\rho^2}\frac{\partial v_\rho}{\partial\varphi}
\right)\hat{e}_\varphi
+\Delta v_z\hat{e}_z
</math>

und in Kugelkoordinaten <math>(r, \theta, \varphi)</math>

:<math>\begin{align}
\Delta\vec v
=&
\left(
\Delta v_r
-\frac{2}{r^2}v_r
-\frac{2}{r^2\sin\theta}\frac{\partial v_\varphi}{\partial\varphi}
-\frac{2}{r^2}\frac{\partial v_\theta}{\partial\theta}
-\frac{2}{r^2\tan\theta}v_\theta
\right)\hat{e}_r
\\&
+\left(
\Delta v_\theta
+\frac{2}{r^2}\frac{\partial v_r}{\partial\theta}
-\frac{2\cos\theta}{r^2\sin^2\theta}\frac{\partial v_\varphi}{\partial\varphi}
-\frac{1}{r^2\sin^2\theta}v_\theta
\right)\hat{e}_\theta
\\&
+\left(
\Delta v_\varphi
+\frac{2}{r^2\sin\theta}\frac{\partial v_r}{\partial\varphi}
-\frac{1}{r^2\sin^2\theta}v_\varphi
+\frac{2\cos\theta}{r^2\sin^2\theta}\frac{\partial v_\theta}{\partial\varphi}
\right)\hat{e}_\varphi
\,.\end{align}</math>

Die zu den Laplace-Ableitungen der Vektorkomponenten hinzu kommenden Terme resultieren aus den Ableitungen der Basisvektoren.<ref>{{Literatur |Autor=M. Bestehorn |Titel=Hydrodynamik und Strukturbildung |Verlag=Springer |Datum=2006 |ISBN=978-3-540-33796-6 |Seiten=378}}</ref>

{|class="wikitable mw-collapsible mw-collapsed"
|-
| Beweis
|-
| In Zylinderkoordinaten <math>(\rho, \varphi, z)</math> werden 
<math>
\hat{e}_\rho =\begin{pmatrix}
\cos\varphi\\
\sin\varphi\\
0
\end{pmatrix},
\quad
\hat{e}_\varphi =\begin{pmatrix}
-\sin\varphi\\
\cos\varphi\\
0
\end{pmatrix},
\quad
\hat{e}_z =\begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 1\end{pmatrix}
</math> 
als orthonormale Basisvektoren genommen. Ihre Ableitungen lauten: 
<math>\hat {e}_{\rho,\varphi}=\hat {e}_\varphi
\quad\text{und}\quad
\hat {e}_{\varphi,\varphi}=-\hat {e}_\rho</math> 
Hier wie im Folgenden bedeutet ein Index nach einem Komma eine Ableitung nach der angegebenen Koordinate, beispielsweise 
<math>\hat {e}_{\rho,\varphi}:=\frac{\partial}{\partial\varphi}\hat {e}_\rho.</math> 
Die Anwendung des Laplace-Operators 
<math>\Delta=
\frac{\partial^2}{\partial\rho^2}
+\frac{1}{\rho}\frac{\partial}{\partial\rho}
+\frac{1}{\rho^2}\frac{\partial^2}{\partial\varphi^2}
+\frac{\partial^2}{\partial z^2}</math> 
auf ein Vektorfeld ergibt: 
<math>\begin{align}
&\left(\frac{\partial^2}{\partial\rho^2}
+\frac{1}{\rho}\frac{\partial}{\partial\rho}
+\frac{1}{\rho^2}\frac{\partial^2}{\partial\varphi^2}
+\frac{\partial^2}{\partial z^2}\right)
(v_\rho\hat{e}_\rho+v_\varphi\hat{e}_\varphi+v_z\hat{e}_z)
\\=&
\frac{\partial^2}{\partial\rho^2}(v_\rho\hat{e}_\rho+v_\varphi\hat{e}_\varphi+v_z\hat{e}_z)
+\frac{1}{\rho}\frac{\partial}{\partial\rho}(v_\rho\hat{e}_\rho+v_\varphi\hat{e}_\varphi+v_z\hat{e}_z)
\\&+\frac{1}{\rho^2}\frac{\partial^2}{\partial\varphi^2}
(v_\rho\hat{e}_\rho+v_\varphi\hat{e}_\varphi+v_z\hat{e}_z)
+\frac{\partial^2}{\partial z^2}(v_\rho\hat{e}_\rho+v_\varphi\hat{e}_\varphi+v_z\hat{e}_z)
\\=&
v_{\rho,\rho\rho}\hat{e}_\rho
+v_{\varphi,\rho\rho}\hat{e}_\varphi
+v_{z,\rho\rho}\hat{e}_z
+\frac{1}{\rho}(v_{\rho,\rho}\hat{e}_\rho+v_{\varphi,\rho}\hat{e}_\varphi+v_{z,\rho}\hat{e}_z)
\\&
+\frac{1}{\rho^2}\frac{\partial}{\partial\varphi}(
v_{\rho,\varphi}\hat{e}_\rho
+v_\rho\hat{e}_\varphi
+v_{\varphi,\varphi}\hat{e}_\varphi
-v_\varphi\hat{e}_\rho
+v_{z,\varphi}\hat{e}_z
)
\\&
+v_{\rho,zz}\hat{e}_\rho+v_{\varphi,zz}\hat{e}_\varphi+v_{z,zz}\hat{e}_z
\\=&
v_{\rho,\rho\rho}\hat{e}_\rho
+v_{\varphi,\rho\rho}\hat{e}_\varphi
+v_{z,\rho\rho}\hat{e}_z
+\frac{1}{\rho}(v_{\rho,\rho}\hat{e}_\rho+v_{\varphi,\rho}\hat{e}_\varphi+v_{z,\rho}\hat{e}_z)
\\&
+\frac{1}{\rho^2}(v_{\rho,\varphi\varphi}\hat{e}_\rho
+2v_{\rho,\varphi}\hat{e}_\varphi
-v_\rho\hat{e}_\rho
+v_{\varphi,\varphi\varphi}\hat{e}_\varphi
-2v_{\varphi,\varphi}\hat{e}_\rho
-v_\varphi\hat{e}_\varphi
+v_{z,\varphi\varphi}\hat{e}_z)
\\&
+v_{\rho,zz}\hat{e}_\rho+v_{\varphi,zz}\hat{e}_\varphi+v_{z,zz}\hat{e}_z
\\=&
+\left(\Delta v_\rho
-\frac{1}{\rho^2}v_\rho
-\frac{2}{\rho^2}v_{\varphi,\varphi}
\right)\hat{e}_\rho
+\left(\Delta v_\varphi
-\frac{1}{\rho^2}v_\varphi
+\frac{2}{\rho^2}v_{\rho,\varphi}
\right)\hat{e}_\varphi
+\Delta v_z\hat{e}_z
,\end{align}</math> 
also die im Text angegebene Formel.
|-
| In Kugelkoordinaten können die Basisvektoren 
<math>
\hat{e}_r =\begin{pmatrix}
\sin\theta\cos\varphi\\
\sin\theta\sin\varphi\\
\cos\theta
\end{pmatrix},
\qquad
\hat{e}_\theta =\begin{pmatrix}
\cos\theta\cos\varphi\\
\cos\theta\sin\varphi\\
-\sin\theta
\end{pmatrix},
\qquad
\hat{e}_\varphi =\begin{pmatrix}
-\sin\varphi\\
\cos\varphi\\
0
\end{pmatrix}</math> 
verwendet werden. Diese Vektoren haben die Ableitungen 
<math>\begin{align}
\hat{e}_{r,\theta}=&\begin{pmatrix}
\cos\theta\cos\varphi\\
\cos\theta\sin\varphi\\
-\sin\theta
\end{pmatrix}
=\hat{e}_\theta
\,,\quad
\hat{e}_{r,\varphi}
=
\begin{pmatrix}
-\sin\theta\sin\varphi\\
\sin\theta\cos\varphi\\
0
\end{pmatrix}
=\sin\theta\hat{e}_\varphi
\\
\hat{e}_{\theta,\theta}
=&
\begin{pmatrix}
-\sin\theta\cos\varphi\\
-\sin\theta\sin\varphi\\
-\cos\theta
\end{pmatrix}
=-\hat{e}_r
\,,\quad
\hat{e}_{\theta,\varphi}
=
\begin{pmatrix}
-\cos\theta\sin\varphi\\
\cos\theta\cos\varphi\\
0
\end{pmatrix}
=\cos\theta\hat{e}_\varphi
\\
\hat{e}_{\varphi,\varphi}
=&
\begin{pmatrix}
-\cos\varphi\\
-\sin\varphi\\
0
\end{pmatrix}
=\hat{e}_z\times\hat{e}_\varphi
=-\sin\theta\hat{e}_r-\cos\theta\hat{e}_\theta
\end{align}</math> 
Anwendung des Laplace-Operators 
<math>\Delta=\frac{\partial^2}{\partial r^2}
+\frac{2}{r}\frac{\partial}{\partial r}
+\frac{1}{r^2}\frac{\partial^2}{\partial\theta^2}
+\frac{1}{r^2\tan\theta }\frac{\partial}{\partial\theta}
+\frac{1}{r^2\sin^2\theta}\frac{\partial^2}{\partial\varphi^2}</math> 
auf ein Vektorfeld ergibt: 
<math>\begin{align}
&\left(\frac{\partial^2}{\partial r^2}
+\frac{2}{r}\frac{\partial}{\partial r}
+\frac{1}{r^2}\frac{\partial^2}{\partial\theta^2}
+\frac{1}{r^2\tan\theta }\frac{\partial}{\partial\theta}
+\frac{1}{r^2\sin^2\theta}\frac{\partial^2}{\partial\varphi^2}
\right)\cdot
(v_r\hat{e}_r +v_\theta\hat{e}_\theta+v_\varphi\hat{e}_\varphi)
\\=&
\frac{\partial^2}{\partial r^2}
(v_r\hat{e}_r +v_\theta\hat{e}_\theta+v_\varphi\hat{e}_\varphi)
+\frac{2}{r}\frac{\partial}{\partial r}
(v_r\hat{e}_r +v_\theta\hat{e}_\theta+v_\varphi\hat{e}_\varphi)
+\frac{1}{r^2}\frac{\partial^2}{\partial\theta^2}
(v_r\hat{e}_r +v_\theta\hat{e}_\theta+v_\varphi\hat{e}_\varphi)
\\&
+\frac{1}{r^2\tan\theta }\frac{\partial}{\partial\theta}
(v_r\hat{e}_r +v_\theta\hat{e}_\theta+v_\varphi\hat{e}_\varphi)
+\frac{1}{r^2\sin^2\theta}\frac{\partial^2}{\partial\varphi^2}
(v_r\hat{e}_r +v_\theta\hat{e}_\theta+v_\varphi\hat{e}_\varphi)
\\=&
v_{r,rr}\hat{e}_r +v_{\theta,rr}\hat{e}_\theta+v_{\varphi,rr}\hat{e}_\varphi
+\frac{2}{r}v_{r,r}\hat{e}_r +\frac{2}{r}v_{\theta,r}\hat{e}_\theta+\frac{2}{r}v_{\varphi,r}\hat{e}_\varphi
\\&
+\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial\theta}
(
v_{r,\theta}\hat{e}_r
+v_r\hat{e}_\theta
+v_{\theta,\theta}\hat{e}_\theta
-v_\theta\hat{e}_r
+v_{\varphi,\theta}\hat{e}_\varphi
)
\\&
+\frac{1}{r^2\tan\theta}
(
v_{r,\theta}\hat{e}_r
+v_r\hat{e}_\theta
+v_{\theta,\theta}\hat{e}_\theta
-v_\theta\hat{e}_r
+v_{\varphi,\theta}\hat{e}_\varphi
)
\\&
+\frac{1}{r^2\sin^2\theta}\frac{\partial}{\partial\varphi}
(
v_{r,\varphi}\hat{e}_r
+\sin\theta v_r\hat{e}_\varphi
+v_{\theta,\varphi}\hat{e}_\theta
+\cos\theta v_\theta\hat{e}_\varphi
+v_{\varphi,\varphi}\hat{e}_\varphi
-\sin\theta v_\varphi\hat{e}_r
-\cos\theta v_\varphi\hat{e}_{\theta}
)
\\=&
v_{r,rr}\hat{e}_r +v_{\theta,rr}\hat{e}_\theta+v_{\varphi,rr}\hat{e}_\varphi
+\frac{2}{r}v_{r,r}\hat{e}_r +\frac{2}{r}v_{\theta,r}\hat{e}_\theta+\frac{2}{r}v_{\varphi,r}\hat{e}_\varphi
\\&
+\frac{1}{r^2}
(
v_{r,\theta\theta}\hat{e}_r
+v_{r,\theta}\hat{e}_\theta
+v_{r,\theta}\hat{e}_\theta
-v_r\hat{e}_r
+v_{\theta,\theta\theta}\hat{e}_\theta
-v_{\theta,\theta}\hat{e}_r
-v_{\theta,\theta}\hat{e}_r
-v_\theta\hat{e}_\theta
+v_{\varphi,\theta\theta}\hat{e}_\varphi
)
\\&
+\frac{1}{r^2\tan\theta}(
v_{r,\theta}\hat{e}_r
+v_r\hat{e}_\theta
+v_{\theta,\theta}\hat{e}_\theta
-v_\theta\hat{e}_r
+v_{\varphi,\theta}\hat{e}_\varphi
)
\\&
+\frac{1}{r^2\sin^2\theta}
(
v_{r,\varphi\varphi}\hat{e}_r
+\sin\theta v_{r,\varphi}\hat{e}_\varphi
+\sin\theta v_{r,\varphi}\hat{e}_\varphi
-\sin^2\theta v_r\hat{e}_r
-\sin\theta\cos\theta v_r\hat{e}_\theta
\\&
+v_{\theta,\varphi\varphi}\hat{e}_\theta
+\cos\theta v_{\theta,\varphi}\hat{e}_\varphi
+\cos\theta v_{\theta,\varphi}\hat{e}_\varphi
-\sin\theta\cos\theta v_\theta\hat{e}_r
-\cos^2\theta v_\theta\hat{e}_\theta
\\&
+v_{\varphi,\varphi\varphi}\hat{e}_\varphi
-\sin\theta v_{\varphi,\varphi}\hat{e}_r
-\cos\theta v_{\varphi,\varphi}\hat{e}_\theta
-\sin\theta v_{\varphi,\varphi}\hat{e}_r
-\sin^2\theta v_\varphi\hat{e}_\varphi
\\&
-\cos\theta v_{\varphi,\varphi}\hat{e}_\theta
-\cos^2\theta v_\varphi\hat{e}_\varphi
)
\\=&
\Bigl(
v_{r,rr}
+\frac{2}{r}v_{r,r}
+\frac{1}{r^2}v_{r,\theta\theta}
+\frac{1}{r^2\tan\theta}v_{r,\theta}
+\frac{1}{r^2\sin^2\theta}v_{r,\varphi\varphi}
\\&\qquad
-\frac{1}{r^2}v_r
-\frac{1}{r^2}v_{\theta,\theta}
-\frac{1}{r^2}v_{\theta,\theta}
-\frac{1}{r^2\tan\theta}v_\theta
-\frac{1}{r^2}v_r
-\frac{\cos\theta}{r^2\sin\theta}v_\theta
-\frac{1}{r^2\sin\theta}v_{\varphi,\varphi}
-\frac{1}{r^2\sin\theta}v_{\varphi,\varphi}
\Bigr)\hat{e}_r
\\&
+\Bigl(
v_{\theta,rr}
+\frac{2}{r}v_{\theta,r}
+\frac{1}{r^2}v_{\theta,\theta\theta}
+\frac{1}{r^2\tan\theta}v_{\theta,\theta}
+\frac{1}{r^2\sin^2\theta}v_{\theta,\varphi\varphi}
\\&\qquad
+\frac{2}{r^2}v_{r,\theta}
-\frac{1}{r^2}v_\theta
+\frac{1}{r^2\tan\theta}v_r
-\frac{\cos\theta}{r^2\sin\theta}v_r
-\frac{\cos^2\theta}{r^2\sin^2\theta}v_\theta
-\frac{2\cos\theta}{r^2\sin^2\theta}v_{\varphi,\varphi}
\Bigr)\hat{e}_\theta
\\&
+\Bigl(
v_{\varphi,rr}
+\frac{2}{r}v_{\varphi,r}
+\frac{1}{r^2}v_{\varphi,\theta\theta}
+\frac{1}{r^2\tan\theta}v_{\varphi,\theta}
+\frac{1}{r^2\sin^2\theta}v_{\varphi,\varphi\varphi}
\\&\qquad
+\frac{2}{r^2\sin\theta}v_{r,\varphi}
+\frac{2\cos\theta}{r^2\sin^2\theta}v_{\theta,\varphi}
-\frac{\sin^2\theta+\cos^2\theta}{r^2\sin^2\theta}v_\varphi
\Bigr)\hat{e}_\varphi
\\=&
\left(
\Delta v_r
-\frac{2}{r^2}v_r
-\frac{2}{r^2}v_{\theta,\theta}
-\frac{2}{r^2\tan\theta}v_\theta
-\frac{2}{r^2\sin\theta}v_{\varphi,\varphi}
\right)\hat{e}_r
\\&
+\left(
\Delta v_\theta
+\frac{2}{r^2}v_{r,\theta}
-\frac{1}{r^2\sin^2\theta}v_\theta
-\frac{2\cos\theta}{r^2\sin^2\theta}v_{\varphi,\varphi}
\right)\hat{e}_\theta
\\&
+\left(
\Delta v_\varphi
+\frac{2\cos\theta}{r^2\sin^2\theta}v_{\theta,\varphi}
-\frac{1}{r^2\sin^2\theta}v_\varphi
+\frac{2}{r^2\sin\theta}v_{r,\varphi}
\right)\hat{e}_\varphi
\end{align},</math> 
also dasselbe Ergebnis wie im Text angegeben.
|}

== Eigenschaften ==
Der Laplace-Operator ist ein [[linearer Operator]], das heißt: Sind <math>f</math> und <math>g</math> zweimal differenzierbare Funktionen und <math>a</math> und <math>b</math> Konstanten, so gilt
:<math>\Delta (a\cdot f+b\cdot g) = a\cdot (\Delta f) + b\cdot (\Delta g).</math>

Wie für andere lineare Differentialoperatoren auch, gilt für den Laplace-Operator eine [[Produktregel#Höhere partielle Ableitungen|verallgemeinerte Produktregel]]. Diese lautet
:<math>\Delta (fg) = f \Delta g + 2 \langle \nabla f , \nabla g\rangle + g \Delta f,</math>
wobei <math>f,g \colon U \to \R</math> zwei zweimal stetig differenzierbare Funktionen mit <math>U \subset \R^n</math> sind und <math>\langle \cdot , \cdot \rangle</math> das euklidische [[Standardskalarprodukt]] ist.<ref>[[Otto Forster]]: ''Analysis 2. Differentialrechnung im '''R'''n. Gewöhnliche Differentialgleichungen.'' Vieweg-Verlag, 7. Aufl. 2006, ISBN 3-528-47231-6, S. 61.</ref>

Der Laplace-Operator ist [[Rotationssymmetrie|drehsymmetrisch]], das heißt: Ist <math>f</math> eine zweimal differenzierbare Funktion und <math>R</math> eine [[Rotationsmatrix|Drehung]], so gilt
:<math>\left( \Delta f \right)\circ R=\Delta\left(f\circ R\right),</math>
wobei „<math>\circ</math>“ für die [[Komposition (Mathematik)|Verkettung]] von Abbildungen steht.

Das [[Hauptsymbol]] des Laplace-Operators ist <math>-\|\xi\|^2</math>. Er ist also ein [[elliptischer Differentialoperator]] zweiter Ordnung. Daraus folgt, dass er ein [[Fredholm-Operator]] ist und mittels des [[Satz von Atkinson|Satzes von Atkinson]] folgt, dass er modulo eines [[Kompakter Operator|kompakten Operators]] rechts- und linksinvertierbar ist.

Der Laplace-Operator
:<math>-\Delta \colon \mathcal{S}(\R^n)\rightarrow L^2(\R^n)</math>
auf dem [[Schwartz-Raum]] ist [[Wesentlich selbstadjungierter Operator|wesentlich selbstadjungiert]]. Er hat daher einen [[Abgeschlossener Operator|Abschluss]]
:<math>-\Delta \colon H^2(\R^n)\rightarrow L^2(\R^n)</math>
zu einem [[selbstadjungierter Operator|selbstadjungierten Operator]] auf dem [[Sobolev-Raum]] <math>H^2(\R^n) \subset L^2(\R^n)</math>.<ref>[[Dirk Werner (Mathematiker)|Dirk Werner]]: ''Funktionalanalysis.'' 6., korrigierte Auflage, Springer-Verlag, Berlin 2007, ISBN 978-3-540-72533-6, S. 349.</ref> Dieser Operator ist zudem nichtnegativ, sein [[Spektrum (Operatortheorie)|Spektrum]] befindet sich also auf der nichtnegativen reellen Achse, das heißt:
:<math>\sigma(-\Delta)\subset\R_0^+</math>
Die [[Eigenwertgleichung]]
:<math>-\Delta f = \lambda f</math>
des Laplace-Operators wird [[Helmholtz-Gleichung]] genannt. Ist <math>\Omega \subset \R^n</math> ein [[Beschränkte Menge|beschränktes]] Gebiet und <math>H^2_0(\Omega)</math> der Sobolev-Raum mit den Randwerten <math>f=0</math> in <math>\partial \Omega</math>, dann bilden die [[Eigenfunktion]]en des Laplace-Operators <math>-\Delta \colon H^2_0(\Omega)\rightarrow L^2(\Omega)</math> ein [[vollständiges Orthonormalsystem]] von <math>L^2(\Omega)</math> und sein Spektrum besteht aus einem rein [[Diskretes Spektrum|diskreten]], reellen [[Punktspektrum]], das nur in <math>\infty</math> einen [[Häufungspunkt]] haben kann. Dies folgt aus dem Spektralsatz für selbstadjungierte elliptische Differentialoperatoren.<ref>[[Lawrence C. Evans|Lawrence Craig Evans]]: ''Partial Differential Equations.'' American Mathematical Society, Providence 2002, ISBN 0-8218-0772-2, S. 334–335.</ref>

Anschaulich gibt <math>\Delta f(p)</math> für eine Funktion <math>f</math> an einem Punkt <math>p</math> an, wie sich der Mittelwert von <math>f</math> über konzentrische Kugelschalen um <math>p</math> mit wachsendem Kugelradius gegenüber <math>f(p)</math> verändert.

== Poisson- und Laplace-Gleichung ==
{{Hauptartikel|Poisson-Gleichung|Laplace-Gleichung}}

=== Definition ===
Der Laplace-Operator tritt in einer Reihe wichtiger Differentialgleichungen auf. Die [[Homogene Gleichung|homogene]] Differentialgleichung

:<math>\Delta\varphi = 0</math>

wird Laplace-Gleichung genannt und zweimal ''stetig'' differenzierbare Lösungen dieser Gleichung heißen [[harmonische Funktion]]en. Die entsprechende [[inhomogene Gleichung]]

:<math>\Delta\varphi = f</math>

heißt Poisson-Gleichung.

=== Fundamentallösung ===

Die [[Fundamentallösung]] <math>G(\vec{x},\vec{x}^{\,\prime})</math> des Laplace-Operators erfüllt die [[Poisson-Gleichung]]

:<math>\Delta\, G(\vec{x},\vec{x}^{\,\prime})=\delta(\vec{x}-\vec{x}^{\,\prime})</math>

mit der [[Delta-Distribution]] <math>\delta</math> auf der rechten Seite. Diese Funktion ist von der Anzahl der Raumdimensionen abhängig.

Im Dreidimensionalen lautet sie:

:<math>G(\vec{x},\vec{x}^{\,\prime})=-\frac{1}{4\pi\|\vec{x}-\vec{x}^{\,\prime}\|}+F(\vec{x},\vec{x}^{\,\prime})</math> mit <math>\Delta\, F(\vec{x},\vec{x}^{\,\prime})=0</math>

Diese Fundamentallösung wird in der [[Elektrodynamik]] als Hilfsmittel zur Lösung von [[Randwertproblem]]en benötigt.

Im Zweidimensionalen lautet sie:

:<math>G(\vec{x},\vec{x}^{\,\prime})=\frac{\ln(\|\vec{x}-\vec{x}^{\,\prime}\|)}{2\pi}+F(\vec{x},\vec{x}^{\,\prime})</math> mit <math>\Delta\, F(\vec{x},\vec{x}^{\,\prime})=0</math>

== Verallgemeinerungen ==

=== D’Alembert-Operator ===
{{Hauptartikel|D’Alembert-Operator}}

Der Laplace-Operator ergibt zusammen mit der zweiten [[Zeitableitung]] den D’Alembert-Operator:
:<math>\square = \frac{1}{c^2} \frac{\partial ^2}{\partial t^2} - \Delta</math>
Dieser Operator kann als eine Verallgemeinerung des Laplace-Operators <math>\Delta</math> auf den [[Minkowski-Raum]] betrachtet werden.

=== Verallgemeinerter Laplace-Operator ===
{{Hauptartikel|Verallgemeinerter Laplace-Operator}}

Für den Laplace-Operator, der ursprünglich stets als Operator des euklidischen Raumes verstanden wurde, gab es mit der Formulierung der [[riemannsche Geometrie|riemannschen Geometrie]] die Möglichkeit der Verallgemeinerung auf [[reguläre Fläche|gekrümmte Flächen]] und [[Riemannsche Mannigfaltigkeit|riemannsche]] beziehungsweise [[Semi-Riemannsche Mannigfaltigkeit|pseudo-riemannsche Mannigfaltigkeiten]]. Dieser allgemeinere Operator wird als verallgemeinerter Laplace-Operator bezeichnet.

== Diskreter Laplace-Operator ==

Auf eine diskrete Eingangsfunktion ''gn'' bzw. ''gnm'' wird der Laplace-Operator über eine [[Faltung (Mathematik)|Faltung]] angewendet. Dabei kann man folgende einfache Faltungsmasken verwenden:
:''1D-Filter'' <math>\quad \vec{D}^2_x \; =\begin{bmatrix}1 & -2 & 1\end{bmatrix}</math>
:''2D-Filter:'' <math>\quad \mathbf{D}^2_{xy}=\begin{bmatrix}0 & 1 & 0\\1 & -4 & 1\\0 & 1 & 0\end{bmatrix}</math>

Für zwei Dimensionen gibt es noch alternative Varianten, die zusätzlich auch diagonale Kanten berücksichtigen, beispielsweise:
:''2D-Filter:'' <math>\quad \mathbf{D}^2_{xy}=\begin{bmatrix}1 & 1 & 1\\1 & -8 & 1\\1 & 1 & 1\end{bmatrix}</math>

Diese Faltungsmasken erhält man durch die Diskretisierung der Differenzenquotienten. Dabei entspricht der Laplace-Operator einer gewichteten Summe über den Wert an benachbarten Punkten. Die [[Kantendetektion]] in der [[Bildverarbeitung]] (siehe [[Laplace-Filter]]) ist ein mögliches Anwendungsgebiet diskreter Laplace-Operatoren. Dort taucht eine Kante als Nulldurchgang der zweiten Ableitung des Signals auf. Auch bei der Diskretisierung von Differentialgleichungen oder in der Graphentheorie werden diskrete Laplace-Operatoren genutzt.

== Siehe auch ==
* [[ Biharmonische Gleichung]]
* [[Fraktionaler Laplace-Operator]]

Anwendungen
* [[Potentialströmung]]
* [[Airysche Spannungsfunktion]]
* [[Navier-Cauchy-Gleichungen]]

== Literatur ==
* Bronstein, Semendjajew, Musiol, Mühlig: ''Taschenbuch der Mathematik.'' Harri Deutsch, 1999, 4. Auflage, ISBN 3-8171-2004-4.
* [[Otto Forster]]: ''Analysis.'' Band 3: ''Maß- und Integrationstheorie, Integralsätze im'' '''R'''n ''und Anwendungen'', 8. verbesserte Auflage. Springer Spektrum, Wiesbaden, 2017, ISBN 978-3-658-16745-5.
* Russell Merris: ''Laplacian matrices of graphs: a survey.'' In: Linear Algebra and its Applications. 197–198, 143–176 (1994). ISSN 0024-3795

== Weblinks ==
* ''[https://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/article.php?sid=1193 Wie „krümme“ ich Nabla und Delta?]'' Herleitung des Nablaoperators für orthonormal krummlinige Koordinaten. Auf: ''[[Matroids Matheplanet|matheplanet.com]].''

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Differentialoperator]]
[[Kategorie:Pierre-Simon Laplace als Namensgeber]]

Laplace-Operator - Versionsgeschichte

imported>Boobarkee: - BKL