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{{Dieser Artikel|erläutert die Differentialgleichung. Zur Gleichung über die Druckverhältnisse in Flüssigkeiten siehe [[Young-Laplace-Gleichung]].}}
[[Datei:Laplace's equation on an annulus.svg|miniatur|Lösung der Laplace-Gleichung auf einem Kreisring mit den Dirichlet-Randwerten u(r=2)=0 und u(r=4)=4sin(5*θ)]]

Die '''Laplace-Gleichung''' (nach [[Pierre-Simon Laplace]]) ist die elliptische [[partielle Differentialgleichung]] zweiter Ordnung

:<math>\Delta\Phi= 0</math>

für eine skalare Funktion <math>\Phi</math> in einem [[Gebiet (Mathematik)|Gebiet]] <math>\Omega\subset\R^n</math>, wobei <math>\Delta</math> den [[Laplace-Operator]] darstellt. Damit ist sie die homogene [[Poisson-Gleichung]], das heißt, die rechte Seite ist null. Die Laplace-Gleichung ist der Prototyp einer [[Elliptische partielle Differentialgleichung|elliptischen partiellen Differentialgleichung]].

== Definition ==
Das mathematische Problem besteht darin, eine skalare, zweifach [[stetig differenzierbare Funktion]] <math> \Phi </math> zu finden, welche die Gleichung

:<math>\Delta\Phi= 0</math>

erfüllt. Die Lösungen dieser [[Differentialgleichung]] <math> \Phi </math> werden als [[Harmonische Funktion|harmonische Funktionen]] bezeichnet.

Der Laplace-Operator <math> \Delta </math> ist für eine skalare Funktion allgemein definiert als

:<math>\Delta \Phi = \operatorname{div}\left(\operatorname{grad}\,\Phi\right) = \nabla^2 \Phi = \nabla \cdot \nabla \Phi</math>.

== Koordinatendarstellungen ==
Ist ein spezielles [[Koordinatensystem]] gegeben, so kann man die Darstellung der Laplace-Gleichung in diesen Koordinaten berechnen. In den am häufigsten gebrauchten Koordinatensystemen lässt sich die Laplace-Gleichung schreiben als:

;In [[Kartesisches Koordinatensystem|kartesischen Koordinaten]]

:<math>\Delta = \sum_{k=1}^n \frac{\partial^2}{\partial x_k^2}</math>,
woraus sich im dreidimensionalen Raum entsprechend:
: <math>
\frac{\partial^2 \Phi}{\partial x^2 } +
\frac{\partial^2 \Phi}{\partial y^2 } +
\frac{\partial^2 \Phi}{\partial z^2 } = 0
</math>
ergibt.

;In [[Polarkoordinaten]],

:<math> \frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial \rho}
\left( \rho \frac{\partial \Phi}{\partial \rho} \right)
+ \frac{1}{\rho^2} \frac{\partial^2 \Phi}{\partial \varphi^2} =0
</math>

;In [[Polarkoordinaten#Räumliche Polarkoordinaten: Zylinder-, Kegel- und Kugelkoordinaten|Zylinderkoordinaten]],

:<math> \frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial \rho}
\left( \rho \frac{\partial \Phi}{\partial \rho} \right)
+ \frac{1}{\rho^2} \frac{\partial^2 \Phi}{\partial \varphi^2}
+ \frac{\partial^2 \Phi}{\partial z^2 } = 0
</math>

;In [[Kugelkoordinaten]],

:<math> \frac{1}{r^2} \frac{\partial}{\partial r}
\left( r^2 \frac{\partial \Phi}{\partial r} \right)
+ \frac{1}{r^2 \sin \theta} \frac{\partial}{\partial \theta}
\left( \sin \theta {\partial \Phi \over \partial \theta} \right)
+ \frac{1}{r^2 \sin^2 \theta} \frac{\partial^2 \Phi}{\partial \varphi^2} = 0
</math>.

Weitere Darstellungen finden sich bei [[Elliptische Koordinaten]] sowie [[Ellipsoidische Koordinaten]], [[Parabolische Koordinaten]] und [[Kegelkoordinaten]]. Die allgemeine Darstellung in [[Orthogonale Koordinaten#Differentialoperatoren in drei Dimensionen|orthogonalen Koordinaten]] findet sich dort.

== Bedeutung in der Physik ==
Die Bedeutung der Laplace-Gleichung oder ''Potentialgleichung'', wie sie in der Physik häufig genannt wird, umfasst viele Teilbereiche der Physik. Erahnen lässt sich dies möglicherweise an folgenden Beispielen:

;[[Wärmeleitung]]

Ein zeitlich konstantes Temperaturgefälle kann die Laplace-Gleichung erfüllen.

Die Laplace-Gleichung an sich lässt sich auch aus der [[Wärmeleitungsgleichung]] erhalten. Im stationären Fall, also im Gleichgewichtszustand, ist die [[Zeitableitung]] in der Wärmeleitungsgleichung null. Diese Gleichung ist die Poisson-Gleichung. Sind nun weiterhin keine Quellen oder Senken vorhanden, findet also kein weiterer Wärmeaustausch – beispielsweise mit der Umgebung – als der betrachtete statt, so wird die Wärmeleitungsgleichung zur Laplace-Gleichung.

Beispiel hierfür ist ein Metallstab, unter welchem an einem Ende eine Kerze steht und dessen anderes Ende mittels Eiswasser gekühlt wird. Auf dem Stab wird sich nach einiger Zeit ein zeitlich konstantes Temperaturgefälle ausbilden, welches die Laplace-Gleichung erfüllt (Temperaturaustausch mit der Umgebung wird vernachlässigt).
Das gleiche Beispiel etwas praktischer findet sich in der Isolierung von Häusern. Die Heizung im Inneren ist dabei die Kerze und die kalte Außenluft das Eiswasser.

;[[Elektrostatik]]

In der Elektrostatik genügt das [[Elektrostatik#Potential und Spannung|elektrische Potential]] im ladungsfreien Raum der Laplace-Gleichung. Dies ist ein Spezialfall der [[Poisson-Gleichung#Elektrostatik|Poisson-Gleichung der Elektrostatik]].

Wird beispielsweise eine [[Leiter (Physik)#Elektrischer Leiter|leitende]] Kugel in ein äußeres [[elektrisches Feld]] gebracht, so ordnen sich die [[Elektron]]en auf der Oberfläche um. Ergebnis dieser Umordnung ist, dass das Potential auf der Kugeloberfläche konstant ist. Nach dem Minimum-Maximum-Prinzip (siehe [[#Minimum-Maximum-Prinzip|unten]]) ist somit das Potential innerhalb der Kugel konstant.

Dies ist das Wirkprinzip des [[Faradayscher Käfig|faradayschen Käfigs]]. Da die [[elektrische Spannung]] als Potentialdifferenz definiert ist und das Potential wie eben gesagt konstant ist, ist man im Inneren vor [[Stromunfall|Stromschlägen]] sicher.

;[[Fluiddynamik]]
Eine [[Stationäre Strömung|stationäre]], zweidimensionale, [[Inkompressibles Fluid|inkompressible]], [[Rotation (Mathematik)|wirbelfreie]] Strömung kann auch mittels einer [[Geschwindigkeitspotential|Potentialgleichung]] anstelle der vollen [[Navier-Stokes-Gleichungen]] beschrieben werden. Mit Hilfe einer solchen Potentialfunktion können einfache Strömungen wie z. B. [[laminar]]e Strömungen in Röhren analytisch ohne aufwendige Computerprogramme berechnet werden.

== Randwertprobleme ==
Es lassen sich drei Arten von [[Randwertproblem]]en unterscheiden. Das [[Dirichlet-Randbedingung|Dirichlet-Problem]], das [[Neumann-Randbedingung|Neumann-Problem]] und das gemischte Problem. Diese unterscheiden sich durch die Art der zusätzlichen Randbedingungen.

Dabei ist generell <math> \Omega \subset \R^n </math> ein beschränktes Gebiet und <math> \partial \Omega</math> der Rand von <math> \Omega</math>.

=== Dirichlet-Problem ===
Beim Dirichlet-Problem wird die stetige Abbildung <math> \varphi(y) </math> auf dem Rand <math> \partial \Omega </math> vorgegeben. Es werden mit anderen Worten die Werte vorgegeben, welche die Lösung der Laplace-Gleichung auf dem Rand annehmen soll.

Formuliert werden kann das Dirichlet-Problem dabei auf folgende Weise:

:<math>
\left\{
\begin{array}{rcll}
\Delta \Phi&=&0&\text{in}\ \Omega\\
\Phi&=&\varphi&\text{auf}\ \partial\Omega\\
\end{array}
\right.</math>

Die Lösung des Dirichlet-Problems ist eindeutig.

=== Neumann-Problem ===
Beim Neumann-Problem wird die Normalenableitung auf dem Rand <math> \partial \Omega </math> vorgegeben, welche die Lösung der Laplace-Gleichung annehmen soll.

Formuliert werden kann das Neumann-Problem dabei auf folgende Weise:

:<math>
\left\{
\begin{array}{rcll}
\Delta \Phi&=&0&\text{in}\ \Omega\\
\frac {\partial\Phi} {\partial n}&=&h&\text{auf}\ \partial\Omega\\
\end{array}
\right.</math>

wobei <math>\tfrac{\partial\Phi}{\partial n}</math> die [[Richtungsableitung]] von <math>\Phi</math> in Richtung der [[Flächennormale]] von ∂Ω bezeichnet.

Die Lösung des Neumann-Problems ist bis auf eine additive Konstante eindeutig.

=== Gemischtes Problem ===
Das gemischte Randwertproblem stellt eine Kombination des Dirichlet- und des Neumann-Problems dar,

:<math>
\left\{
\begin{array}{rcll}
\Delta \Phi&=&0&\text{in}\ \Omega\\
\frac {\partial\Phi} {\partial n} + c_0 \Phi&=&h&\text{auf}\ \partial\Omega\\
\end{array}
\right.</math>

mit einer Konstanten <math>c_0</math>, wobei zur Lösung dieses Problems weitere Bedingungen, wie beispielsweise [[Anfangswertproblem|Anfangswerte]] nötig sind.

Das gemischte Problem ist ohne bekannte Zusatzbedingungen, wie z. B. Anfangswerten, nicht eindeutig lösbar. Die Eindeutigkeit dieses Problems erfordert die eindeutige Lösbarkeit der Differentialgleichung der Werte auf dem Rand:

:<math>\frac {\partial\Phi} {\partial n} + c_0 \Phi=h\ \text{auf}\ \partial \Omega</math>.

Ist diese Differentialgleichung jedoch auf Grund von weiteren Informationen eindeutig lösbar, so kann das gemischte Problem in ein Dirichlet-Problem überführt werden, welches eine eindeutige Lösung besitzt.

== Mittelwertsatz von Gauß ==
Ist <math>\Phi</math> im Gebiet <math>\Omega</math> harmonisch, so ist ihr Funktionswert <math>\Phi(x_0)</math> an der Stelle <math>x_0\in\Omega</math> gleich dem [[Mittelwert]] von <math>\Phi(y)</math> auf der Oberfläche jeder Kugel <math>B(x_0,r)</math> um <math>x_0</math> mit Radius <math>r</math>, sofern die Kugel in <math>\Omega</math> liegt und die Funktionswerte von <math> \Phi(y) </math> auf der Oberfläche stetig sind,
: <math>
\Phi(x_0) =
\frac{1}{|S(x_0,r)|}\oint_{S(x_0,r)}\!\Phi(y)\,\mathrm dS =
\frac{1}{|B(x_0,r)|} \int_{B(x_0,r)}\! \Phi(y)\, \mathrm dy\,.
</math>
Hierbei ist <math>S(x_0,r)</math> die Kugeloberfläche der Kugel <math>B(x_0,r)\subset\Omega</math> mit Mittelpunkt <math>x_0\in\Omega</math> und Radius <math>r\,,</math>

:<math> |S(x_0,r)|= \omega_n \, r^{n-1} </math>
:<math> |B(x_0,r)|= \frac{\omega_n \, r^n} {n} </math>
mit dem Flächeninhalt <math> \omega_n </math> der Oberfläche der <math>n</math>-dimensionalen [[Einheitskugel]]
:<math>\omega_n=\frac{n \pi^{n/2}}{(n/2)!}=\frac{2 \pi^{n/2}}{\Gamma(\frac {n} {2})}</math>

Hierbei ist <math> \Gamma </math> die [[Gammafunktion]], die analytische Erweiterung der [[Fakultät (Mathematik)|Fakultät]] auf nicht-natürliche Zahlen, wie sie für jedes nicht-gerade <math> n </math> auftreten.

== Minimum-Maximum-Prinzip ==
{{Hauptartikel|Maximumprinzip (Mathematik)}}

Aus dem Mittelwertsatz von Gauß ergibt sich, dass die Lösung der Laplace-Gleichung <math> \Phi(x) </math> in einem beschränkten Gebiet <math> \Omega </math> weder ihr Minimum noch ihr Maximum annimmt, sofern die Werte <math> \Phi(y) </math> auf dem Rand <math> \partial \Omega </math> stetig und nicht konstant sind.
Dies bedeutet:

:<math>\max\{\Phi(\mathbf{x}),\mathbf{x}\in\Omega\} < \max\{\Phi(\mathbf{x}), \mathbf{x}\in\overline{\Omega}\} = \max\{\Phi(\mathbf{y}),\mathbf{y}\in\partial\Omega\}\,</math>

:<math>\min\{\Phi(\mathbf{y}),\mathbf{y}\in\partial\Omega\} = \min\{\Phi(\mathbf{x}), \mathbf{x}\in\overline{\Omega}\} < \min\{\Phi(\mathbf{x}),\mathbf{x}\in\Omega\}\,.</math>

Somit liegen die Funktionswerte in <math> \Omega </math> immer zwischen dem Minimum und dem Maximum der Werte auf dem Rand:

:<math>\min\{\Phi(\mathbf{y}),\mathbf{y}\in\partial\Omega\} < \Phi(\mathbf{x}) < \max\{\Phi(\mathbf{y}),\mathbf{y}\in\partial\Omega\}\,</math> für alle <math>\mathbf{x}\in\Omega</math>.

Ausnahme von oben genanntem Prinzip ist der triviale Fall, dass die Randwerte konstant sind, weil in diesem Fall die Lösung insgesamt konstant ist.

== Lösung der Laplace-Gleichung ==
=== Fundamentallösung ===
Um die [[Fundamentallösung]] <math> \gamma \colon\R^n\to\R</math> der Laplace-Gleichung zu finden, bietet es sich an die Rotationsinvarianz des Laplace-Operators auszunutzen. Man setzt hierfür <math> \gamma(x)=g(|x|) </math> an, wobei <math>|x|</math> die [[euklidische Norm]] von <math>x</math> bezeichnet. Mithilfe der [[Kettenregel]] verwandelt sich die Laplace-Gleichung für <math>\gamma</math> in eine [[gewöhnliche Differentialgleichung]] zweiter Ordnung von <math>g</math>. Man erhält für die nur von <math>|x|</math> abhängige Funktion <math>\gamma</math> dann folgende dimensionsabhängige Formel:

:<math>\gamma(x) :=
\left\{
\begin{array}{rl}
-\frac {1} {2 \pi} \ln {|x|}\ ,&n = 2\\
\frac {1} {(n-2)\,\omega_n} \frac {1} {|x|^{n-2}}\ ,&n > 2\\
\end{array}
\right.
</math>

mit dem Flächeninhalt <math> \omega_n </math> der Oberfläche der <math>n</math>-dimensionalen [[Einheitskugel]]
:<math>\omega_n=\frac{n \pi^{n/2}}{\Gamma(\frac{n}{2}+1)}=\frac{2 \pi^{n/2}}{\Gamma(\frac {n} {2})}</math>.

Hierbei ist <math> \Gamma(\cdot) </math> die [[Gammafunktion]], die analytische Erweiterung der [[Fakultät (Mathematik)|Fakultät]] auf nicht-natürliche Zahlen, wie sie für jedes nicht-gerade <math> n </math> auftreten.

Zu beachten ist hierbei, dass die Fundamentallösung <math>\gamma</math> keine eigentliche Lösung der Laplace-Gleichung ist, wenn der Ursprung in <math>\Omega</math> liegt, da sie in diesem Punkt eine Singularität aufweist.

Im Folgenden wird die Lösung des Dirichlet-Problems diskutiert. Dabei ist zu beachten, dass das Neumann-Problem und das gemischte Problem durch Lösung der Differentialgleichung der Randwerte in ein Dirichlet-Problem überführt werden können.

=== Lösung mittels Greenscher Funktion ===
Kernproblem ist die Konstruktion der [[Greensche Funktion|Greenschen Funktion]], welche nicht in jedem Fall existieren muss. Die Auffindung dieser ist im Allgemeinen schwierig, zumal die Greensche Funktion vom Gebiet <math> \Omega </math>, auf welchem die Laplace-Gleichung erfüllt ist, abhängt. Ist die Greensche Funktion jedoch bekannt, so kann mit ihrer Hilfe die Lösung des Dirichlet-Problems eindeutig erfolgen.

Grundlage der Bestimmung der Greenschen Funktion ist die Fundamentallösung <math> \gamma </math> der Laplace-Gleichung.

Zusätzlich muss eine Hilfsfunktion <math> h(x,y)</math> konstruiert werden, welche in <math> \Omega </math> zweifach stetig differenzierbar ist und stetig auf <math> \partial \Omega</math> mit <math> x \in \Omega </math> folgende Bedingungen erfüllt:

:<math>
\left\{
\begin{array}{rcll}
\Delta_y h(x,y)&=&0\ ,&x \in \overline{\Omega}, \, y \in \Omega\\
h(x,y)&=&-\gamma(x,y)\ ,&x \in \Omega , \, y \in \partial \Omega\\
\end{array}
\right.</math>

Das Auffinden dieser Hilfsfunktion ist der zentrale Schritt bei der Ermittlung der Greenschen Funktion.

Die Greensche Funktion <math> G(x,y)</math> ergibt sich gemäß:

:<math> G(x,y)=h(x,y) + \gamma(x-y)</math>,

woraus sich die Lösung des Dirichlet-Problems <math> \Phi(x) </math> in <math> \Omega </math> berechnen lässt:

:<math> \Phi(x)=-\int_{\partial\Omega} \! \Phi(y) \frac {\partial G(x,y)} {\partial n(y)} \, \mathrm dS </math>

=== Lösung mittels Trennung der Veränderlichen ===
Die Laplace-Gleichung lässt sich in der Ebene in allen Koordinatensystemen trennen, wenn diese eine [[konforme Abbildung]] der [[Kartesische Koordinaten|kartesischen Koordinaten]] sind.<ref name="Morse" details="665"/> Ebenso gelingt in drei-Dimensionen die ''einfache'' [[Trennung der Veränderlichen]] ({{enS|simple separation}}<ref name="Spencer" details="96"/>) in [[Orthogonale Koordinaten|orthogonalen Koordinatensystemen]], deren Koordinatenflächen [[konfokale Quadriken]] oder deren degenerierten Formen sind.<ref name="Spencer" details="7"/><ref name="Morse" details="511"/>, siehe die folgenden Abschnitte und [[Elliptische Koordinaten]] sowie [[Ellipsoidische Koordinaten]], [[Kegelkoordinaten]] oder [[Parabolische Koordinaten]]. Zudem ist eine allgemeinere Möglichkeit der Trennung der Veränderlichen ({{enS|R-separation}}<ref name="Spencer" details="96"/>) in zehn weiteren 3D Koordinatensystemen gegeben, deren [[Koordinatenfläche]]n [[Rotationsfläche]]n sind,<ref name="Spencer" details="97"/> siehe auch die [[Liste orthogonaler Koordinatensysteme]].

==== Lösung in Kartesischen Koordinaten ====
In [[Kartesische Koordinaten|Kartesischen Koordinaten]] ist die Lösung besonders einfach, weil die [[Koordinatenlinie]]n Geraden sind. Das Vorgehen wird in zwei Dimensionen vorgeführt und lässt sich ohne Probleme auf mehr Dimensionen übertragen.<ref name="Spencer" details="11"/> Es wird der [[Separationsansatz]] <math>\Phi(x,y)=X(x)\cdot Y(y)</math> gemacht und in die Laplace-Gleichung eingesetzt:

:<math>\Delta\Phi
=\frac{\part^2\Phi}{\part x^2}+\frac{\part^2\Phi}{\part y^2}
=\frac{\part^2 X}{\part x^2}Y+X\frac{\part^2 Y}{\part y^2}
=0</math>

Division durch <math>\Phi=X\cdot Y</math> liefert

:<math>\frac{\frac{\part^2 X}{\part x^2}}X
+\frac{\frac{\part^2 Y}{\part y^2}}Y
=0</math>

Weil der erste Term nur von <math>x</math> und der zweite nur von <math>y</math> abhängt, kann diese Gleichung im gesamten betrachteten Gebiet nur dann erfüllt werden, wenn beide Brüche Konstanten ergeben:

:<math>
\frac{\frac{\part^2 X}{\part x^2}}X=\alpha
\;\rightarrow\;\frac{\part^2 X}{\part x^2}-\alpha X=0
</math>

Letzteres ist eine [[gewöhnliche Differenzialgleichung]]. Die Konstante oben eingesetzt liefert eine weitere, von der ersten entkoppelte Differenzialgleichung:

:<math>\frac{\frac{\part^2 X}{\part x^2}}X
+\frac{\frac{\part^2 Y}{\part y^2}}Y
=\alpha+\frac{\frac{\part^2 Y}{\part y^2}}Y
=0
\;\rightarrow\;
\frac{\part^2 Y}{\part y^2}+\alpha Y=0
</math>

Der Spezialfall ''α''=0 liefert lineare Funktionen <math>X(x)=A+Bx</math> bzw. <math>Y(y)=C+Dy</math> mit Konstanten <math>A,B,C,D</math> als Lösungen. Im allgemeinen Fall wird die Gleichung durch einen Exponentialansatz

:<math>f(t)=Ae^{ct}
\;\rightarrow\;
\frac{{\rm d}f}{{\rm d}t}=cAe^{ct}
\;\rightarrow\;
\frac{{\rm d}^2f}{{\rm d}t^2}=c^2Ae^{ct}
</math>

gelöst, denn:

:<math>c=\sqrt{-\beta}\;\rightarrow\;
\frac{{\rm d}^2f}{{\rm d}t^2}+\beta f=(c^2+\beta)Ae^{ct}=0
</math>

Bei negativem ''β'' sind <math>e^{\pm ct}</math> oder [[Sinus hyperbolicus und Kosinus hyperbolicus]] Lösungsfunktionen mit exponentiellem Verlauf und bei positivem ''β'' führt die [[Eulersche Formel]] auf den [[Sinus und Cosinus]], die wellenförmige Kurven darstellen. Die Laplace-Gleichung wird daher auch von Funktionen der Form

:<math>\begin{align}\Phi(x,y)=&
[A\sin(\alpha x)+B\cos(\alpha x)][C\sinh(\alpha y)+D\cosh(\alpha y)]
\\&
+[E\sinh(\alpha x)+F\cosh(\alpha x)][G\sin(\alpha y)+H\cos(\alpha y)]
,\,\alpha\in\R
\end{align}</math>

erfüllt und weil sie eine [[Lineare gewöhnliche Differentialgleichung#Homogene Probleme|homogene lineare Differentialgleichung]] ist, können die Lösungen [[Superposition (Mathematik)|superponiert]] werden:<ref name="Arfken"/>

:<math>\begin{align}
\Phi(x,y)=&M+Nx+Py+Qxy
\\&
+\sum_{n=1}^\infty\big\{
[A_n\sin(\alpha_n x)+B_n\cos(\alpha_n x)]
[C_n\sinh(\alpha_n y)+D_n\cosh(\alpha_n y)]
\\&\qquad\quad
+[E_n\sinh(\alpha_n x)+F_n\cosh(\alpha_n x)]
[G_n\sin(\alpha_n y)+H_n\cos(\alpha_n y)]\big\}
\end{align}</math>

Die vorkommenden Konstanten <math>M,N,P,Q</math> sowie <math>A_n,B_n,C_n,D_n,E_n,F_n,G_n,H_n,\alpha_n</math> für <math>n=1,2,\dots</math> dienen der Anpassung an die [[Randbedingung]]en.

==== Lösung in Polarkoordinaten ====
{{Anker|Lösung in zwei Dimensionen}} 
Grundlage bei dieser Lösung ist die Fouriermethode. Das Dirichlet-Problem wird dabei in Polarkoordinaten betrachtet

:<math>
\left\{
\begin{array}{rcll}
\Delta \Phi(r,\phi)&=&0&\text{in}\ \Omega\\
\Phi&=&\Phi(r_0, \phi_0)&\text{auf}\ \partial\Omega\\
\end{array}
\right.</math>

und die gesuchte Funktion <math> \Phi(r, \phi) </math> mittels der [[Trennung der Veränderlichen|Trennung der Variablen]] in zwei unabhängige Funktionen gespalten. Der gewählte Ansatz lautet somit:

:<math> \Phi(r,\phi)= v(r) \, w(\phi).</math>

Die Einsetzung dieses Ansatzes in die Laplace-Gleichung und Nutzung eines [[Separationsansatz]]es führt das Problem auf zwei gewöhnliche Differentialgleichungen zurück.

Die Lösungen dieser gewöhnlichen Differentialgleichungen lauten:

:<math>
\left\{
\begin{array}{rcl}
w(\phi)&=&c_{1,n} \cos(n \phi) + c_{2,n} \sin(n \phi)\ ,\\
v(r)&=&d_1 \, r^n + d_2 \, r^{-n} \ .\\
\end{array}
\right.</math>

Dabei sind <math>c_{1,n} \, </math>, <math>c_{2,n}\, </math>, <math>d_1\, </math>, <math>d_2 \,</math> Konstanten und <math> n=\sqrt\lambda </math>, wobei <math> \lambda </math> – die Konstante aus dem Separationsansatz – positiv und reell ist, wodurch (bei der Erlangung der Lösungen) die <math> 2\pi </math>-Periodizität des Winkels erfüllt wird. Diese Periodizität kann auch als die Stetigkeit der Werte von <math> \Phi(r,\phi) </math> auf dem Rand <math> \partial \Omega </math> interpretiert werden.

Wäre <math> d_2 \neq 0</math>, so würde in <math> r=0 </math> eine [[Singularität (Mathematik)|Singularität]] vorliegen, was wiederum der Stetigkeitsvoraussetzung in <math> \Omega </math> widerspricht. Somit ist <math> d_2=0 </math>.

Werden diese Lösungen in den oben gewählten Separationsansatz eingesetzt und nach dem [[Superposition (Mathematik)|Superpositionsprinzip]] über alle möglichen Lösungen aufsummiert, so ergibt sich die Lösung der Laplace-Gleichung,:

:<math> \Phi(r,\phi)= \sum_{n=0}^\infty \Phi_n(r,\phi)= \frac {1} {2} a_0 + \sum_{n=1}^\infty r^n(a_n \cos(n \phi) + b_n\sin(n \phi)). </math>

wobei <math> a_0 \,</math>, <math> a_n \, </math> und <math> b_n \, </math> die [[Fourierreihe|Fourierkoeffizienten]] der Werte von <math> \Phi(r_0, \phi_0) </math> sind.

==== Lösung in drei Dimensionen mit Kugelkoordinaten ====
In [[Kugelkoordinaten]] hat die Laplace-Gleichung die Form

:<math> \frac{1}{r^2} \frac{\partial}{\partial r}
\left( r^2 \frac{\partial \Phi}{\partial r} \right)
+ \frac{1}{r^2 \sin \theta} \frac{\partial}{\partial \theta}
\left( \sin \theta {\partial \Phi \over \partial \theta} \right)
+ \frac{1}{r^2 \sin^2 \theta} \frac{\partial^2 \Phi}{\partial \varphi^2} = 0
</math>.

Die Laplace-Gleichung in Kugelkoordinaten ist mit dem Separations-Ansatz lösbar. Der radiale Teil setzt sich aus Potenzen der Radial-Koordinate <math>r</math> zusammen und der Winkel-Teil lässt sich mit Hilfe von [[Kugelflächenfunktionen]] <math>Y_{\ell m}(\theta, \phi)</math> angeben, welche wiederum als Produkt der [[Exponentialfunktion|komplexen Exponentialfunktion]] und den [[Zugeordnete Legendrepolynome|assoziierten Legendre-Polynomen]] darstellbar sind.

:<math>\Phi(r, \theta, \phi) = \sum_{\ell=0}^{\infty} \sum_{m=-\ell}^{\ell} (A_{\ell m} r^{\ell} + B_{\ell m}r^{-\ell - 1}) Y_{\ell m}(\theta,\varphi)</math>

Bei azimutaler Symmetrie (<math>m=0</math>) vereinfacht sich die Lösung mit den [[Legendre-Polynom]]en <math>P_{\ell}(\cdot)</math>

:<math>\Phi(r, \theta, \phi) = \sum_{\ell=0}^{\infty} (A_{\ell} r^{\ell} + B_{\ell}r^{-\ell - 1}) P_{\ell}(\cos\theta)</math>.

==== Allgemeines Vorgehen in drei Dimensionen ====
Das allgemeine Vorgehen zur Trennung der Variablen im dreidimensionalen [[Euklidischer Raum|euklidischen Raum]] basiert auf der Stäckel-Matrix<ref name="Staeckel"/>, die mit den [[Orthogonale Koordinaten|orthogonalen Koordinaten]] <math>u^{1,2,3}</math> assoziiert ist:<ref name="Morse" details="509"/>

:<math>\mathbf{S}:=\begin{pmatrix}
\varphi_{11}(u^1)&\varphi_{12}(u^1)&\varphi_{13}(u^1)\\
\varphi_{21}(u^2)&\varphi_{22}(u^2)&\varphi_{23}(u^2)\\
\varphi_{31}(u^3)&\varphi_{32}(u^3)&\varphi_{33}(u^3)
\end{pmatrix}</math>

In jeder ihrer Zeilen stehen Ansatzfunktionen nur einer Variablen oder Konstanten. Die Stäckel-Determinante ist die [[Determinante]]

:<math>S:=\mathrm{det}(\mathbf{S})=\begin{vmatrix}
\varphi_{11}(u^1)&\varphi_{12}(u^1)&\varphi_{13}(u^1)\\
\varphi_{21}(u^2)&\varphi_{22}(u^2)&\varphi_{23}(u^2)\\
\varphi_{31}(u^3)&\varphi_{32}(u^3)&\varphi_{33}(u^3)
\end{vmatrix}</math>

mit den [[Minor (Lineare Algebra)|Minoren]]

:<math>M_{11}(u^2,u^3)=\begin{vmatrix}
\varphi_{22}&\varphi_{23}\\
\varphi_{32}&\varphi_{33}
\end{vmatrix}\,,\;
M_{21}(u^1,u^3)=-\begin{vmatrix}
\varphi_{12}&\varphi_{13}\\
\varphi_{32}&\varphi_{33}
\end{vmatrix}\,,\;
M_{31}(u^1,u^2)=\begin{vmatrix}
\varphi_{12}&\varphi_{13}\\
\varphi_{22}&\varphi_{23}\\
\end{vmatrix}
</math>

Die Bedingungen für die Separierbarkeit der skalaren Laplace-Gleichung sind

:<math>g_{ii}=\frac{S}{M_{i1}}Q,\,i=1,2,3,\;
\frac{\sqrt{g}}S=f_1(u^1)\cdot f_2(u^2)\cdot f_3(u^3)\cdot R^2\cdot Q
</math>

Darin sind
* <math>g_{ii}=\vec g_i\cdot\vec g_i</math> [[Orthogonale Koordinaten#Metrische Faktoren und Metrikkoeffizienten|Metrikkoeffizienten]], die das [[Betragsquadrat]] der kovarianten Basisvektoren <math>\vec g_i:=\tfrac{\part\vec r}{\part u^i}</math> des Koordinatensystems sind,
* <math>g=g_{11}\cdot g_{22}\cdot g_{33}</math>,
* <math>f_{1,2,3}</math> irgendwelche Funktionen nur einer Koordinate, und
* <math>Q(u^1,u^2,u^3), R(u^1,u^2,u^3)</math> Funktionen, die von allen drei Koordinaten abhängen können.

Die erste Bedingung bedeutet, dass es möglich sein muss, eine Stäckel-Determinante zu bilden, die in der angegebenen Weise mit den Metrikkoeffizienten und der Funktion ''Q'' zusammenhängt. Die zweite Bedingung besagt, dass <math>\tfrac{\sqrt{g}}{QR^2S}</math> ein separierbares Produkt ist. Wenn das gewährleistet ist, dann bestimmen sich die Faktoren <math>U^i(u^i)</math> für die Lösungsfunktion

:<math>\Phi(u^1,u^2,u^3)
=\frac{U^1(u^1)U^2(u^2)U^3(u^3)}{R(u^1,u^2,u^3)}</math>

und die Trennungskonstanten <math>\alpha_j</math> aus den drei entkoppelten [[Gewöhnliche Differenzialgleichung|gewöhnlichen Differenzialgleichungen]]

:<math>\frac1{f_i}\frac{\part}{\part u^i}
\left(f_i\frac{\part U^i}{\part u^i}\right)
+U^i\sum_{j=1}^3\alpha_j\varphi_{ij}=0,\; i=1,2,3</math>

Im einfachen Fall ''Q=R=1'' ({{enS|simple separation}}<ref name="Spencer" details="96"/>) ist <math>\alpha_1=0</math>, siehe auch [[Helmholtz-Gleichung#Separation der Helmholtz-Gleichung]]. Im allgemeinen Fall ''Q,R≠1'' ({{enS|R-separation}}<ref name="Spencer" details="96"/>)<ref name="Morse" details="665"/> ist

:<math>\alpha_1
=-\frac QR\sum_{i=1}^3\frac1{f_ig_{ii}}\frac{\part}{\part u^i}
\left(f_i\frac{\part R}{\part u^i}\right)=\text{const.}
</math>

[[notwendig und hinreichend]] für die Trennbarkeit der Laplace-Gleichung.<ref name="Spencer" details="96"/><ref name="Moon"/>

== Einzelnachweise ==
<references>
<ref name="Spencer">
{{Literatur
| Autor=P. Moon, [[Domina Eberle Spencer|D.E. Spencer]]
| Titel=Field Theory Handbook
| TitelErg=Including Coordinate Systems, Differential Equations and Their Solutions
| Verlag=Springer Verlag
| Ort=Berlin, Heidelberg, New York
| Auflage=2. Aufl.
| Jahr=1971
| ISBN=3-540-02732-7
| Seiten=3 ff.
}}</ref>
<ref name="Morse">
{{Literatur
| Autor=P. M. Morse, H. Feshbach
| Datum=1953
| Titel=Methods of Theoretical Physics, Part I
| Online=https://archive.org/compress/morse_feshbach1/formats=TEXT%20PDF,IMAGE%20CONTAINER%20PDF&file=/morse_feshbach1.zip
| Verlag=McGraw-Hill
| Ort=New York
}}</ref>
<ref name="Staeckel">
benannt nach [[Paul Stäckel]], der sie 1891 in seiner Habilitationsschrift {{Literatur
| Titel=Die Integration der Hamilton-Jacobischen Differentialgleichung mittels Separation der Variablen
| Jahr=1891
| Kommentar=Habilitationsschrift
| Online=[https://www.ub.uni-heidelberg.de/archiv/12758 HeiDOK]
| DOI=10.11588/heidok.00012758
}} erstmals benutzte.
</ref>
<ref name="Moon">
{{Literatur
| Autor=P. Moon, [[Domina Eberle Spencer|D.E. Spencer]]
| Titel=Field Theory For Engineers
| Verlag=D. Van Nostrand Company
| Ort=Toronto, London, New York
| Jahr=1961
| Seiten=314–317
| Online={{archive.org|fieldtheoryforen0000moon}}
}}</ref>
<ref name="Arfken">
{{Literatur
| Autor=G. B. Arfken, H. J. Weber
| Titel=Mathematical Methods for Physicists
| Auflage=6
| Verlag=Elsevier
| Ort=Amsterdam u. a.
| Datum=2005
| ISBN=0-12-059876-0
| Online=https://archive.org/details/Mathematical_Methods_for_Physicists/page/n409/mode/1up
| Seiten=536 f.}}
</ref>
</references>

== Literatur ==
* Klemens Burg, Herbert Haf, [[Friedrich Wille (Mathematiker)|Friedrich Wille]]: ''Partielle Differentialgleichungen. Höhere Mathematik für Ingenieure, Naturwissenschaftler und Mathematiker.'' 1. Auflage. = 3. überarbeitete und erweiterte Auflage. Teubner, Stuttgart u. a. 2004, ISBN 3-519-22965-X.
* [[Lawrence C. Evans]]: ''Partial Differential Equations.'' American Mathematical Society, Providence RI 1998, ISBN 0-8218-0772-2 (''Graduate studies in mathematics'' 19).

{{SORTIERUNG:Laplacegleichung}}
[[Kategorie:Partielle Differentialgleichung]]
[[Kategorie:Elektrostatik]]
[[Kategorie:Feldtheorie]]
[[Kategorie:Pierre-Simon Laplace als Namensgeber]]

Laplace-Gleichung - Versionsgeschichte

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