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2025-10-30T08:46:59Z

Nicht gleichwahrscheinliche Ereignisse

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[[Datei:Pierre-Simon Laplace.jpg|mini|hochkant|Pierre-Simon Laplace (Gemälde aus dem 19. Jahrhundert)]]
Die '''Laplace-Formel''' ist eine [[mathematische Formel]] aus der elementaren [[Wahrscheinlichkeitsrechnung]].
Hat ein [[Zufallsexperiment]] nur endlich viele [[Ereignis (Wahrscheinlichkeitstheorie)|Elementarereignisse]] und haben diese alle die gleiche [[Wahrscheinlichkeit]], so gilt für die Wahrscheinlichkeit <math>P(A)</math> eines [[Ereignis (Wahrscheinlichkeitstheorie)|Ereignisses]] <math>A</math>:

:<math>P(A) = \frac{\text{Anzahl der Ergebnisse, bei denen das Ereignis } A \text{ eintritt}}{\text{Anzahl aller möglichen Ergebnisse}}</math>

oder formeller

:<math>P(A) = \frac{\left| A \right|}{{\left|\Omega\right|}}</math>,

wenn <math>|A|</math> und <math>|\Omega|</math> die Anzahl der Elemente des Ereignisses <math>A</math> bzw. der [[Ergebnismenge]] <math>\Omega</math> bezeichnen.

Benannt ist die Formel nach dem [[Frankreich|französischen]] Mathematiker, Physiker und Astronomen [[Pierre Simon Laplace]] (1749–1827).

== Beispiele und Gegenbeispiele ==
[[Datei:13-02-27-spielbank-wiesbaden-by-RalfR-093.jpg|mini|hochkant|Rouletterad]]
[[Datei:Urn problem qtl1.svg|mini|hochkant|Urnenmodell]]
[[Datei:Würfel -- 2021 -- 4262.jpg|mini|hochkant|Spielwürfel]]
=== Roulette ===
Beim [[Roulette]] wird eine der 37 Zahlen 0 bis 36 ausgespielt. Hierbei soll aufgrund der Beschaffenheit des Roulette-Tellers und der Vorgehensweise bei den Ausspielungen gewährleistet sein, dass die Roulette-Kugel mit derselben Wahrscheinlichkeit auf jeder der 37 Zahlen liegen bleibt. Unter diesen Voraussetzungen wird jede der 37 Zahlen mit der Wahrscheinlichkeit <math>p=\tfrac{1}{37}</math> ausgespielt.

=== Ziehen aus einer Urne ===
Beim einfachen zufälligen Ziehen aus einer [[Urnenmodell|Urne]] mit <math>n</math> gleichartigen nicht unterscheidbaren Kugeln wird jede Kugel mit der Wahrscheinlichkeit <math>p=\tfrac{1}{n}</math> gezogen.

=== Doppelwurf eines Spielwürfels ===
Beim zweimaligen Werfen eines [[Spielwürfel]]s gibt es 36 mögliche Ergebnisse für die Augenzahlkombinationen

:<math>\Omega = \{(i,j) \mid i,j = 1,\dotsc,6\}</math>.

==== Gleichwahrscheinliche Ereignisse ====
Ist der Spielwürfel ein [[Laplace-Würfel]], so beträgt bei vier Ergebnissen die Augensumme 9, nämlich bei (6, 3), (5, 4), (4, 5), (3, 6), wobei alle Würfe mit der Augenzahl 9 gleich wahrscheinlich sind. Deshalb ist
:<math>P(A) = \frac{4}{36} = \frac{1}{9}</math>
die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses <math>A</math>, die Augensumme 9 zu erhalten.

==== Nicht gleichwahrscheinliche Ereignisse ====
Auch wenn es sich bei dem Spielwürfel um einen Laplace-Würfel handelt, sind die elf Ereignisse des Auftretens der Augensummen 2 bis 12 nicht gleich wahrscheinlich. Darüber hinaus ist es bei diesem Experiment unmöglich, gleichwahrscheinliche Augensummen durch Würfelmanipulation zu erreichen.<ref name="honsberger">[[Ross Honsberger]]: ''Gitter - Reste - Würfel'' [[Vieweg Verlag|Friedrich Vieweg & Sohn Verlagsgesellschaft mbH]], [[Braunschweig]] 1984, ISBN 978-3-528-08476-9, S. 130 und 131</ref>{{Klappbox|hintergrundfarbe=hintergrundfarbe1|Dies lässt sich mittels eines [[Widerspruchsbeweis]]es zeigen.|2=Es sei <math>p_i</math> die Wahrscheinlichkeit, dass mit dem ersten Würfel die Augenzahl <math>i</math> und <math>q_i</math> die Wahrscheinlichkeit, dass mit dem zweiten Würfel die Augenzahl <math>i</math> geworfen wird. Dann ist <math>p_1 q_1</math> die Wahrscheinlichkeit für die Augensumme 2 und <math>p_6 q_6</math> die Wahrscheinlichkeit für die Augensumme 12.

Wären alle elf Wahrscheinlichkeiten der Augensummen 2 bis 12 identisch, so müsste jede dieser Wahrscheinlichkeiten <math>\tfrac{1}{11}</math> betragen.

Für die Wahrscheinlichkeit der Augensumme 7 würde dann gelten:
:<math>\frac{1}{11}=p_1 q_6 + p_2 q_5 + p_3 q_4 + p_4 q_3 + p_5 q_2 +p_6 q_1</math>
:<math>\geq p_1 q_6 + p_6 q_1 = p_1 q_6 \left( \frac{q_1}{q_1} \right) + p_6 q_1 \left( \frac{q_6}{q_6} \right) = p_1 q_1 \left( \frac{q_6}{q_1} \right) + p_6 q_6 \left( \frac{q_1}{q_6} \right)</math>
:<math>= \frac{1}{11} \left( \frac{q_6}{q_1} \right) + \frac{1}{11} \left( \frac{q_1}{q_6} \right) = \frac{1}{11} \left( \frac{q_6}{q_1} + \frac{q_1}{q_6} \right)</math>
:<math>\Leftrightarrow \frac{q_6}{q_1} + \frac{q_1}{q_6} \leq 1</math> (*)

Wegen <math>x + \frac{1}{x} \geq 2</math> für alle reellen Zahlen <math>x>0</math> ergibt sich ein Widerspruch zu (*).

Damit ist bewiesen, dass die Augensummen 2 bis 12 niemals gleich wahrscheinlich sein können.}}

=== Geschlecht eines neugeborenen Kindes ===
Statistisch ist nachgewiesen, dass Knaben- und Mädchengeburten nur annähernd gleich wahrscheinlich sind, wenn auch in vielen stochastischen Aufgabenstellungen Gleichwahrscheinlichkeit angenommen wird.<ref name="bosch">[[Karl Bosch (Statistiker)|Karl Bosch]]: ''Statistik für Nichtstatistiker - Zufall und Wahrscheinlichkeit'' [[R. Oldenbourg Verlag]] [[München]] [[Wien]] 2007, ISBN 978-3-486-58219-2, S. 16–21</ref>

== Siehe auch ==
* [[Gleichverteilung]]
* [[Indifferenzprinzip]]

== Literatur ==
* {{Literatur|Autor=Ulrich Krengel|Titel=Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik|TitelErg=Für Studium, Berufspraxis und Lehramt|Auflage=8.|Verlag=Vieweg|Ort=Wiesbaden|Jahr=2005|ISBN=3-8348-0063-5}}

== Einzelnachweise ==
<references />

[[Kategorie:Stochastik]]
[[Kategorie:Pierre-Simon Laplace als Namensgeber]]

Laplace-Formel - Versionsgeschichte

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